拓展课 简谐运动的规律.docx
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拓展课简谐运动的规律
拓展课 简谐运动的规律
[要点归纳]
简谐运动的五大特征
受力特征
回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大，在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等
类型1 弹簧振子模型
[试题案例]
[例1]如图所示，
一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动。
已知在t1时刻物块的动量为p、动能为Ek。
下列说法正确的是（ ）
A.如果在t2时刻物块的动量也为p，则t2－t1的最小值为T
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为T
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块运动至C点时，其加速度最小
解析 物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时动量相等，所以如果在t2时刻物块的动量也为p，t2－t1的最小值小于等于
，故A错误；物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值可小于或等于
，故B错误；图中O点是平衡位置，根据a＝－
知，物块经过O点时位移最小，则其加速度最小，故C正确；物块运动至C点时，位移最大，其加速度最大，故D错误。
答案 C
[针对训练1]如图所示，
劲度系数为k的竖直轻弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。
则物体在振动过程中（ ）
A.物体在最低点时受的弹力大小为mg
B.弹簧的最大弹性势能等于
C.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
D.物体的最大动能应等于
解析 物体从最高点先向下加速，到达平衡位置时速度达到最大，此后继续向下做减速运动，平衡位置有mg＝kx，故最低点物体受到的弹力F＝k（2x）＝2mg，A错误；小球到最低点时，动能减为零，由系统机械能守恒得到，弹性势能最大，重力势能减小量等于弹性势能的增加量，即最大弹性势能为mg（2x）＝mg
＝
，B正确；物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总量守恒，C错误；当物体运动到平衡位置时，动能最大，根据系统机械能守恒，有mgx＝Ep弹＋Ekm，又mg＝kx，故Ekm＜
，D错误。
答案 B
类型2 单摆模型
[试题案例]
[例2]如图所示，
光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A的距离远小于R。
两质点小球B和C都由静止开始释放。
要使B、C两球在A点相遇。
问B到A点距离H应满足什么条件？
解析 由题意知小球C做简谐运动，小球B做自由落体运动，C、B两球相遇必在A点，而小球C从开始释放至A点经历的时间为tC＝
（2n－1），n＝1，2，3，…
小球B到达A点经历的时间tB＝
因为相遇时tB＝tC
所以tB＝（2n－1）·
·2π
＝
所以H＝
，n＝1，2，3，…
这就是H应满足的条件。
答案 见解析
方法凝炼
（1）做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零。
（2）由于简谐运动具有周期性和对称性，因此涉及简谐运动时往往会出现多解的情况，分析时应特别注意。
位移相同时回复力大小、加速度大小、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，具体运动时间根据题意确定。
[针对训练2]（多选）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。
不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。
对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）
A.单摆的摆长约为1.0m
B.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sinπtcm
C.从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D.从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
解析 由题图乙可知单摆的周期T＝2s，振幅A＝8cm，由单摆的周期公式T＝2π
，代入数据可得l≈1m，A正确；由ω＝
可得ω＝πrad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asinωt＝8sinπtcm，B正确；从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，C错误；从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，D错误。
答案 AB
1.（弹簧振子模型）如图甲所示，上端固定的弹簧振子在竖直方向上做简谐运动。
规定向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图乙所示。
则（ ）
A.弹簧振子的振动频率f＝2.0Hz
B.弹簧振子的振幅为0.4m
C.在0～0.5s内，弹簧振子的动能逐渐减小
D.在1.0～1.5s内，弹簧振子的弹性势能逐渐减小
解析 由振动图像可知，弹簧振子的振动周期为2s，频率f＝
＝0.5Hz，A错误；弹簧振子的振幅为0.2m，B错误；在0～0.5s内，弹簧振子的位移变大，速度减小，动能逐渐减小，C正确；在1.0～1.5s内，弹簧振子离开平衡位置向下的位移变大，则弹簧的形变量变大，弹性势能逐渐变大，D错误。
答案 C
2.（弹簧振子模型）将一物体系于一竖直悬挂的轻质弹簧的下端，并用手托着物体，然后让它慢慢下降到平衡位置，这时弹簧伸长的长度为d。
已知弹簧的弹性势能Ep＝
kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，如果让该物体从弹簧原长位置自由释放，则物体在下落的过程中（ ）
A.物体的运动时间为2
B.物体的最大速度为
C.物体的最大加速度为2g
D.弹簧的最大伸长量为2d
解析 物体下落过程中做简谐运动，平衡位置在重力和弹力相等位置，即平衡位置到释放点的距离为d，根据对称性可得物体从释放点到最低点下落高度为2d，但由于过程中小球做的不是自由落体运动，故时间不是t＝
＝2
，A错误，D正确；最低点加速度最大，弹力为2mg，方向竖直向上，故此时的加速度为a＝
＝g，方向竖直向上，C错误，当弹力等于重力时，速度最大，下降过程中重力势能转化为动能和弹性势能，故在速度最大时有
mv
＝mgd－
kd2，根据题意，可得kd＝mg，联立两式得vmax＝
，B错误。
答案 D
3.（单摆模型）做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的
倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的
，则单摆振动的（ ）
A.周期不变，振幅不变
B.周期不变，振幅变小
C.周期改变，振幅不变
D.周期改变，振幅变大
解析 由单摆的周期公式T＝2π
可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知
mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因平衡位置的速度减小，则最大高度减小，即振幅减小，选项B正确，A错误。
答案 B
4.（单摆模型）如图a所示为一单摆及其振动图像，若摆球从E指向G为正方向，由图b可知，下列说法正确的是（ ）
A.图中的A点对应着单摆中的E点
B.单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向发生了变化
C.一周期内，势能增加且速度方向为正的时间范围是1.5s到2s时间段
D.一周期内，加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是1.5s到2.0s时间段
解析 图b中的A点位于正向最大位移，对应单摆中的G点，故A错误；根据加速度与位移的关系a＝－
可知，单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向不变，故B错误；势能增加说明摆球正在远离平衡位置，且速度为正，即正在由E向G运动，对应的时间为0～0.5s，故C错误；加速度为正说明回复力是向右的，则应该位于平衡位置的左侧，即位移为负，又加速度在减小，说明回复力在减小，正在靠近平衡位置，即正在由F向E运动，对应的时间为1.5s～2.0s，故D正确。
答案 D
基础过关
1.如图所示为某物体做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A.0.3s时刻与0.5s时刻物体的动能相同
B.0.3s时刻与0.5s时刻物体的速度相同
C.0.1s时刻与0.3s时刻物体的回复力方向相同
D.0.1s时刻与0.3s时刻物体的回复力大小不同
解析 由图知，物体在0.3s与0.5s时刻图线的切线斜率的绝对值相等，但斜率一负一正，说明物体在这两个时刻的速度大小相同，方向不同，所以速度不相同，动能相等，故A正确，B错误；由图可知，0.1s时刻与0.3s时刻位移大小相等，方向相反，根据回复力F＝－kx，回复力大小相等，方向相反，故C、D错误。
答案 A
2.（多选）如图所示是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，则（ ）
A.甲、乙物体的振幅分别是2m和1m
B.甲的振动频率比乙的大
C.前2s内两物体的加速度均为负值
D.第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大
解析 由图像知，甲、乙的振幅分别为2cm和1cm，A错误；8s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，B正确；前2s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，C正确；第2s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D正确。
答案 BCD
3.关于做简谐运动的物体，下列说法正确的是（ ）
A.在平衡位置所受的合外力一定为零
B.在平衡位置时势能一定为零
C.做简谐运动的物体每次经过同一位置时，一定具有相同的速度
D.做简谐运动的物体每次经过同一位置时，一定具有相同的动能
解析 回复力不一定就是合外力，举例：
在单摆中，单摆的回复力是重力沿轨迹切线方向的分力，并非是重力与绳子拉力的合力，故A错误；在平衡位置时势能不一定为零，举例：
在单摆中，在平衡位置时势能不一定为零，还与势能零点选取有关，故B错误；做简谐运动的物体，每次通过同一位置时其速度大小相等，方向不一定相同，故速度不一定相同，但动能相同，故C错误，D正确。
答案 D
4.一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（ ）
A.若Δt＝
，则在Δt时间内振子经过的路程为一个振幅
B.若Δt＝
，则在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅
C.若Δt＝
，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移一定相同
D.若Δt＝
，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的速度一定相同
解析 若Δt＝
，则Δt时间内振子经过的路程不一定等于振幅，与振子的初始位置有关，故A错误；若Δt＝
，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位置关于平衡位置对称，在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅，故B正确；若Δt＝
，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位置关于平衡位置对称，振子的位移大小相等，方向相反，故C错误；若Δt＝
，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位置关于平衡位置对称，所以这两时刻速度的大小一定相等，方向相反，故D错误。
答案 B
5.（多选）水平放置的弹簧振子做简谐振动的周期为T，t1时刻振子不在平衡位置而且速度不为零；t2时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同；t3时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相反。
若t2－t1＝t3－t2，则（ ）
A.t1时刻、t2时刻与t3时刻，弹性势能都相等
B.t1时刻与t3时刻，弹簧的长度相等
C.t3－t1＝
T n＝0，1，2……
D.t3－t1＝
T n＝0，1，2……
解析 因为t2时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，t3时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相反，且t2－t1＝t3－t2，可知t2时刻与t1时刻的振子在不同位置，由对称性可知，这两个时刻的位置关于平衡位置对称，位移等大、反向，t3时刻与t2时刻振子在同一位置，位移相同，所以这三个时刻弹性势能都相等，故A正确；t2时刻与t1时刻振子的位置关于平衡位置对称，位移等大、反向，弹簧一个时刻处于伸长状态，另一个时刻处于压缩状态，长度不同，故B错误；根据周期性和对称性可知，t3时刻与t1时刻的时间间隔最短为
，则t3－t1＝
T，n＝0，1，2……故C错误，D正确。
答案 AD
6.（多选）
在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。
现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是（ ）
A.OB越长，振动能量越大
B.在振动过程中，物块A的机械能守恒
C.物块A在C点时，由物块A与轻弹簧构成的系统势能最大，在O点时最小
D.物块A在C点时，由物块A与轻弹簧构成的系统势能最大，在B点时最小
解析 做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，所以A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，故B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，所以C正确，D错误。
答案 AC
7.图（a）是演示简谐振动图像的装置。
当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上直线OO1代表时间轴。
图（b）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为（ ）
A.T2＝T1B.T2＝2T1
C.T2＝4T1D.T2＝
T1
解析 由题意知板长为v1T1＝2v2T2，又v2＝2v1，解得T1＝4T2，故选项D正确。
答案 D
8.有一摆
长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入），P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.无法确定
解析 每相邻两次闪光的时间间隔相等，从M→P有4个频闪时间间隔，从P→N有2个频闪时间间隔，它们都是四分之一周期，因此，右侧摆动的周期是左侧摆动的周期的两倍，所以前、后摆长之比为4∶1，故钉子距悬点应为
，C正确。
答案 C
9.
一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B.t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析 由振动图像可看出，t1和t3时刻，摆球偏离平衡位置的位移最大，此时其速度为零，悬线对它的拉力最小，故A、C错误；t2和t4时刻，摆球位于平衡位置，其速度最大，悬线的拉力最大，故B错误，D正确。
答案 D
10.（多选）
置于同地点的甲、乙两单摆的振动图像如图，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙两摆的摆长相等，最大偏角相等
B.甲摆摆长大于乙摆摆长，甲最大偏角小于乙最大偏角
C.甲摆在a时刻的重力势能小于在b时刻的重力势能
D.减小摆球质量，其周期将变小
解析 由图像得到甲的周期较长，根据单摆周期公式T＝2π
，甲的摆长较大；甲乙的振幅相同，则甲的最大偏角较小，故A错误，B正确；甲摆a时刻在最低点，则甲摆在a时刻的重力势能小于在b时刻的重力势能，选项C正确；根据单摆周期公式T＝2π
可知，单摆的周期与摆球的质量无关，选项D错误。
答案 BC
能力提升
11.如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法正确的是（ ）
A.小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置
B.小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小
C.小球不可能再做简谐运动
D.小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量
解析 小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设该电场力大小为F0，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，设O1、O两点的间距为x0，弹簧劲度系数为k，则F0＝kx0。
取水平向右为正方向，当小球从O1点向右运动的位移为x时，回复力F＝－F0＋k（x0－x）＝－kx，所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，A、C错误；因为不知道A点与平衡位置O1点的位置关系，所以不能确定小球从B运动到A的过程中动能如何变化，B错误；小球做简谐运动的过程中，小球的动能和电势能及弹簧的弹性势能之和守恒，小球从B点运动到A点，弹簧的弹性势能不变，所以小球动能的增加量一定等于电势能的减少量，D正确。
答案 D
12.
如图所示为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
（1）哪些时刻振子有最大动能？
（2）哪些时刻振子有相同速度？
（3）哪些时刻振子有最大势能？
（4）哪些时刻振子有相同的最大加速度？
解析 由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为零，B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但方向相反。
A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反，由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等且最大，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反。
答案
（1）B、D、F时刻振子有最大动能。
（2）A、C、E时刻振子速度相同，B、F时刻振子速度相同。
（3）A、C、E时刻振子有最大势能。
（4）A、E时刻振子有相同的最大加速度。
13.如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。
设向右为正方向。
图乙是这个单摆的振动图像。
根据图像回答：
（1）单摆振动的频率是多大？
（2）开始时摆球在何位置？
（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求摆长。
解析
（1）由题图乙知，单摆的周期T＝0.8s，所以单摆振动频率f＝
＝1.25Hz。
（2）由题图乙知，t＝0时位移为负的最大，所以开始时摆球在B处。
（3）由T＝2π
知l＝
≈0.162m。
答案
（1）1.25Hz
（2）B处 （3）0.162m
14.如图所示，单摆摆长为1m，做简谐运动，C点在悬点O的正下方，D点与C相距为2m，C、D之间是光滑水平面，当小摆球A从右侧最大位移处无初速度释放时，小球B从D点以某一速度匀速地向C点运动，A、B两球在C点迎面相遇，求小球B的速度大小。
（取π2＝g）
解析 小球B从D点到达C点的时间t1＝
，摆球A到达C点的时间t2＝
T＝
2π
（n＝0、1、2、3…），t1＝t2，所以联立解得v＝
m/s（n＝0、1、2、3…）。
答案
m/s（n＝0、1、2、3…）
15.如图所示，
一个竖直弹簧连着一个质量为M的薄板，板上放着一木块，木块质量为m。
现使整个装置在竖直方向上做简谐运动，振幅为A。
若要求在整个过程中小木块m都不脱离薄木板，则弹簧的劲度系数k应为多大？
解析 系统振动到最高点，弹簧可能处于压缩、原长和伸长三种状态：
若弹簧处于压缩状态，M和m整体所受弹力向上且小于（M＋m）g，整体加速度小于g，则M对m有向上的弹力，M和m没脱离；若弹簧处于原长状态，M和m整体只受重力处于完全失重状态，M和m之间无相互作用力，恰好脱离，若弹簧处在伸长阶段，则M的加速度大于g，显然M和m已脱离。
设m运动到最高点恰好与M脱离，则m只受重力作用，加速度为g。
又因为M和m恰好脱离，则M的加速度也为g，弹簧对M的弹力为零，弹簧处于原长。
所以弹簧在平衡位置的弹力F＝k·A＝（M＋m）g，则k＝
。
若整个运动过程中m不脱离M，则在最高点弹簧还可处于压缩状态，则弹簧在平衡位置的弹力F′＝（M＋m）g＞kA，则k＜
。
由此可见0＜k≤
。
答案 0＜k≤
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