（1）求证：
n+4m=0；
（2）求m,n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
9.已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？
并证明你的猜想．
（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式
）．
10.如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：
y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：
用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：
A ，k ；
（2）随着三角板的滑动，当a=时：
①请你验证：
抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=-0.25x2的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
11.已知：
函数y＝ax2－（3a＋1）x＋2a＋1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，
且x2－x1＝2．
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
12.如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ；
当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；
（2）根据
（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用
（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求
的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为 ；
当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．
13.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.解：
（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=0.5x2+bx+c中，得：
0+c=-412×4-2b+c=0，解得：
b=-1c=-4∴抛物线的解析式：
y=0.5x2-x-4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：
y=0.5（x+m）2-（x+m）-4+3.5，
即：
y=0.5x2+（m-1）x+0.5m2-m-0.5；它的顶点坐标P：
（1-m，-1）；
由
（1）的抛物线解析式可得：
C（4，0）；那么直线AB：
y=-2x-4；直线AC：
y=x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：
m=2.5；
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：
m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜2.5；
又∵m＞0，∴符合条件的m的取值范围：
0＜m＜2.5．
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：
OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：
AB2=AN•AM1；易得：
AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上，AM的长为6或2．
8.
9.
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由y=x2,y=1，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由y=x2,y=x+1，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1x2=﹣1，
∴AB=
AC=
|x2﹣x1|=
=
，∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，
∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由y=x2,y=kx+1，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．
10.
11.
12.
13.
升级会员 