正弦定理与余弦定理各地高考练习题.docx

资源描述

正弦定理与余弦定理各地高考练习题.docx

《正弦定理与余弦定理各地高考练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理与余弦定理各地高考练习题.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

正弦定理与余弦定理各地高考练习题.docx

正弦定理与余弦定理各地高考练习题

试题本一

地区：

文科卷年份：

2012分值：

5.0难度：

1. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接.则

（）

A. B. C. D.

地区：

文科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

2. 在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求证：

;

（2）若，求的值．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

3. 设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）

A. B. C. D.

地区：

理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

4. 在中，角对应的边分别是．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，，求的值．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

4.0难度：

5. 中，，M是BC的中点，若，则_____________．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

14.0难度：

6. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

8. 的角的对边分别是，若，，，则（）A. B. 2C. D. 1

地区：

新课标Ⅰ文科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

9. 已知锐角的角的对边分别为，，，，则（）ABC D

地区：

文科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，

且a＞b，则∠B＝（）A. B. C. D.

地区：

理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

11. 设的角所对的边为且．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

地区：

新课标Ⅰ理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC一点，∠BPC＝90°．

（Ⅰ）若PB＝，求PA；（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

13. 在△ABC中，则＝（）

A. B. C. D.

地区：

文科卷年份：

2013分值：

13.0难度：

14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，a＝3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若点在线段上，且，问：

当取何值时，的面积最小？

并求出面积的最小值．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

4.0难度：

16. 如图中，已知点D在BC边上，ADAC，则的长为_______________．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

17. 在中，角的对边分别为，且

．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

18. 在中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

13.0难度：

19. 在中，角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．

地区：

全国理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

20. 设的角A、B、C的对边分别为a、b、c，．

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

21. 在△中，角的对边分别为若，且，则（）

A. B. C. D.

地区：

理科卷年份：

2013分值：

5.0难度：

22. 设的角所对边的长分别为．若，则则角_________．

地区：

新课标2理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

23. 在角的对边分别为，已知．

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

地区：

卷年份：

2013分值：

16.0难度：

24. 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.

现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，.

（1）求索道的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么围？

地区：

文科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

25. 在△中，角，，对应的边分别是，，．已知．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值．

地区：

文科卷年份：

2013分值：

4.0难度：

26. 已知的角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是__________．

地区：

理科卷年份：

2013分值：

12.0难度：

27. 在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值围．

全部试题答案：

1. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题考察了余弦定理的应用以及同角三角函数的基本关系.

解题思路：

首先求DE.CE，在三角形CDE中运用余弦定理与sin2α+cos2α=1求解，

解答过程：

答案为B.

规律总结：

在解三角形中，注意正余弦定理的使用得条件，以及恒等式sin2α+cos2α=1的应用.

（1）见解答过程;

（2）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查等差数列的定义、性质，三角恒等变换，余弦定理的应用，以及推理论证的能力．

解题思路：

（1）通过三角恒等变换化简已知式子，得到，进而通过正弦定理得到，即得证;

（2）由，结合余弦定理，求的值．

解答过程：

解：

（1）由已知得，

因为，所以．

由正弦定理，有，即成等差数列．

（2）由及余弦定理得，

即有，所以．

规律总结：

注意用正弦定理将角的关系转化为边之间的关系．

3. 答案：

思路分析：

考点解剖：

考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.

解题思路：

本题已经给出了边角关系，可以利用正弦定理将3sinA=5sinB转化为边的关系代换余弦定理来解答。

解答过程：

解：

由正弦定理，所以；

因为，所以，

，所以，答案选择B

规律总结：

利用正弦定理可以将边角关系进行适当的转化，直接转化为是解题的关键．

4. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用．

解题思路：

（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得，最后利用正弦定理求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由，得，

即，解得或（舍去）．

因为，所以．

（Ⅱ）由得：

．又，知．

由余弦定理得,故．

又由正弦定理得．

规律总结：

解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．

5. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查正弦定理、三角函数等基础知识．

解题思路：

利用正弦定理结合同角三角函数基本关系求解．

解答过程：

解：

设，在△中，由正弦定理得，在△中，，，即，化简得，．

规律总结：

涉及到正弦值的求解，一般有两种思路：

（1）正弦定理；

（2）同角三角关系式．

6. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积．

解题思路：

（Ⅰ）利用正弦定理求解；（Ⅱ）利用余弦定理，结合角形的面积公式求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由和正弦定理得：

，∴．∵A为锐角，∴．

（Ⅱ）由余弦定理得，∴．

∴，∴，解得．

∴．

规律总结：

解三角形常常考查正弦定理，余弦定理的应用等，常常考查角或者边的大小，以及结合三角形的面积、周长考查等．涉及到三角形的面积，常常用面积公式：

求解.

7. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题考查利用正弦定理研究三角形中的边角关系．

解题思路：

本题是求角，我们可以把边化成角，根据三角函数的值反求角度．

解答过程：

解：

由得，又，所以．故选A．

规律总结：

研究三角形中的边角关系，常用到正弦定理和余弦定理，思路是边角互化．

8. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查解三角形的应用．

解题思路：

由正弦定理结合二倍角公式求得角，进而求得角;最后运用勾股定理求解．

解答过程：

解：

由正弦定理，即，解得cosA＝，∴A＝，B＝，C＝，∴c＝．

规律总结：

涉及到解三角形问题，一般联想到两个定理：

正弦定理与余弦定理．

9. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查基本的运算能力以及转化与化归能力．

解题思路：

先利用二倍角公式求出A的余弦，再利用余弦定理求边长．

解答过程：

解：

由余弦定理知，又A为锐角，所以，又，所以，所以选D．

规律总结：

知两边及一边的对角求第三边时，可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理，相比较直接利用余弦定理反而快捷．

10. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查解三角形的应用．

解题思路：

运用正弦定理求解，运用正余弦定理结合三角形恒等公式对条件进行适当的变换．

解答过程：

解：

由asinBcosC＋csinBcosA＝b，结合正弦定理有sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，显然sinB≠0，则有sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin（A＋C）＝，则有A＋C＝或（此时B为钝角，与条件a＞b矛盾，舍去），故B＝．

规律总结：

利用公式得到sin（A＋C）的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误．

11. （Ⅰ）

（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题考查了同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、解三角形等知识．

解题思路：

对于（Ⅰ）可利用余弦定理结合给定的边长，求出的值；（Ⅱ）可先利用正弦定理求出，进而求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由cosB＝与余弦定理得，，又a＋c＝6，解得；

（Ⅱ）又a＝3，b＝2，与正弦定理可得，，，所以sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB＝．

规律总结：

三角函数类解答题是高考的重点题型．它的主要考查方式有三种：

一是以考查三角函数的图象和性质为主；二是三角形中的三角恒等变换；三是考查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具．

12. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题．

解题思路：

（Ⅰ）解直角△PBC可得∠PBC，进而在△PBA中利用余弦定理求PA长;（Ⅱ）设出∠PBA，在△PBA中利用正弦定理列式求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由∠BPC＝90°，BC＝1，PB＝，∴∠PBC＝，∴∠PBA＝30o，在△PBA中，由余弦定理得＝＝，∴PA＝．

（Ⅱ）设∠PBA＝，由已知得，PB＝，在△PBA中，由正弦定理得，化简得，∴＝，∴＝．

规律总结：

与三角形有关的边长或角的求解，常利用正余弦定理解决．

13. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查转化划归的数学思想．

解题思路：

先由余弦定理求得;再结合正弦定理求得的值．

解答过程：

解：

由余弦定理得；由正弦定理得．故选C．

规律总结：

利用正余弦定理时，关键是找好边角对应关系，确定是用正弦定理还是余弦定理．

14. （Ⅰ）；（Ⅱ）．

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，以及运算求解的能力．

解题思路：

（Ι）利用正弦定理角化边，求出边a，c，再利用余弦定理即可；（Ⅱ）由cosB可求得sinB，从而求出sin2B，cos2B，再代入两角差的正弦公式即可．

解答过程：

解：

（Ι）在中，由，可得，又由，可得，又，故．

由，可得．

（Ⅱ）由，得，进而可得

，，

所以

．

规律总结：

对于三角函数与解三角形相结合的题目来讲，主要是考查运算求解能力，解三角中，边角经常要统一，即经常用正弦、余弦定理化边为角，或是化角为边的解题过程，具体选择要依题情而确定，但用正弦定理一般有个基本要求，就是式子的两边是关于边的齐次式，这时直接把边换成对应角的正弦即可，三角函数求值时，多注意角与角的关系，选择合适的公式进行求解，要特别注意角的围．

15.

（1）或；

（2）2时的面积的最小,最小值为

思路分析：

考点解剖：

本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．

解题思路：

（1）在△OMP中，利用∠OPM=45°，，，通过余弦定理，求PM的长；

（2）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过角α的围，得到相位的围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．

解答过程：

解：

（1）在中，，，，由余弦定理得，得，解得或．

（2）设，，在中，由正弦定理，得，所以．

同理．故

．

因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．

规律总结：

利用asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．

16. 答案：

思路分析：

考点解剖：

此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义．

解题思路：

由∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAC＝90°，得到∠BAC＝∠BAD＋90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．

解答过程：

解：

∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAD＋90°，

，根据余弦定理可得

，．

规律总结：

熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

17. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理．

解题思路：

合理运用余弦公式、诱导公式、正弦定理等公式即可求出．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由

得，则．

（Ⅱ）由正弦定理，有所以．由题知a＞b，则A＞B,故B＝，根据余弦定理有，解得c＝1，或c＝－7（负值舍去）．

故向量在方向上的投影为．

规律总结：

熟练运用两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等是求解三角基本问题的前提，这些基本公式与定理所处地位相等，每年都会考，具体考哪些，谁都无法估计，本题是将这些基础容全都考查了．

18. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理．

解题思路：

设出公差后，借助方程组求出首项与公差即可完成求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由，得．则．又所以．

（Ⅱ）由正弦定理，有，即．

由题知a＞b，则A＞B，故B＝，根据余弦定理有，解得c＝1，或c＝－7（负值舍去）．

故向量在方向上的投影为．

规律总结：

19. （Ⅰ）；（Ⅱ）当时，即，取最大值3．

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦、余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

解题思路：

（Ⅰ）由，利用余弦定理得，求得的值，即可求得的大小；（Ⅱ）因为（Ⅰ）中计算出了，所以的面积利用公式，再由正弦定理把化为只含角的表达式，结合两角差的余弦公式即可求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由余弦定理，得，又因为，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又由正弦定理得

．

因此

，所以，当时，即，取最大值3．

规律总结：

解决这类与三角形结合的三角函数问题，要注意正余弦定理的应用，在求三角函数最值时，利用正余弦定理把条件全部化为角，结合三角恒等变换求解．

20. （Ⅰ）；（Ⅱ）或

思路分析：

考点剖析：

本题主要考查解斜三角形．

解题思路：

（Ⅰ）先用佘弦定理求得角B；（Ⅱ）用求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）因为，所以．由佘弦定理得，因此．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

故或，因此或．

规律总结：

通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用角和定理．

21. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查解三角形的应用．

解题思路：

运用正弦定理求解．

解答过程：

解：

由结合正弦定理有，显然，则有，即，则有或（此时为钝角，与条件矛盾，舍去），故＝．

规律总结：

利用公式得到的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误．

22. 答案：

思路分析：

考点解剖：

考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度．

解题思路：

本题已经给出了边角关系，可以利用正弦定理将转化为边的关系代换余弦定理来解答．

解答过程：

解：

由正弦定理，所以，即；因为，所以，，所以，答案是．

规律总结：

正弦定理可以将边角关系进行适当的转化是解题的关键．

23. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题考查正、余弦定理的应用．

解题思路：

（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出的值，由B为三角形的角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．

解答过程：

解：

（Ⅰ）因为，所以

，

．

因为，所以有，从而．

（Ⅱ）由余弦定理可知：

，

所以有，当且仅当取等号，

．

故面积的最大值为．

规律总结：

解决这类与三角形结合的三角函数的最值问题，要注意正余弦定理的应用，用正余弦定理把条件全部化为角，利用三角恒等变换求最值，或者用正余弦定理把条件全部化为边，利用基本不等式求最值．

24.

（1）1040；

（2）；

（2）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查了同角三角函数的基本关系式、三角两角和与差的三角函数公式、正余弦定理等．

解题思路：

（1）首先根据条件求出，然后利用正弦定理求出的长；

（2）可利用余弦定理得到甲乙之间的距离与时间的函数关系式，通过求函数的最值来求最短距离；（3）通过时间差不超过3分钟得到关于速度的不等式即可．

解答过程：

解：

（1）

（2）

设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处

则有，

根据余弦定理

即

当时，有最小值

（3）设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为

由题意

解不等式得

规律总结：

解三角形中的实际应用问题常见的类型有：

测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题等．另外对于此类问题的灵活应用的一类题目为对于测量方案的确定，这种题目体现了考生对所学知识的灵活应用的能力，是高考中考查知识和能力的典型问题.

解决此类问题的一般步骤为：

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

（2）建模：

根据已知条件与求解的目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；

（4）回归：

将数学模型的解回归到实际问题中，从而解决实际问题.

25. （Ⅰ）；（Ⅱ）

思路分析：

考点解剖：

本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用．

解题思路：

（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得，最后利用正弦定理求解．

解答过程：

解：

（Ⅰ）由，得,即，解得或（舍去）．

因为，所以．

（Ⅱ）由得．又，知．

由余弦定理得故．

又由正弦定理得．

规律总结：

解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．

26. 答案：

思路分析：

考点解剖：

本题考查余弦定理．

解题思路：

将已知等式向余弦定理转化．

解答过程：

解：

由

展开阅读全文