希望杯赛前培训100题.docx
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希望杯赛前培训100题
2013年希望杯赛前培训100题
1、5/3，过程略
2、2，过程略
3.4949/19800，过程略
4.391/1485，过程略
5、102又1021/1024，过程略
6、1/7，过程略
7.兄弟俩都有点傻,一位只有自己过一年长一岁而别人不会长.某天,哥哥对弟弟说:
”再过3年我的年龄就是你的2倍.”弟弟说:
”不对,再过3年我和你一样大.”今年,他们俩分别是______,______岁.
【解答】
哥哥比弟弟大3岁,
哥哥看来,再过3年,自己就比弟弟大3+3岁,而弟弟保持不变
弟弟:
（3+3）÷（2-1）=6岁
哥哥:
6+3=9岁
8.有一堆黑白棋子,黑棋的粒数是白棋的2倍,每次从中取出白棋3粒黑棋5粒,白棋恰好取完时黑棋还剩20粒.则原来这堆棋子共有______粒.
【解答】
如果每次取3粒白棋,3×2=6粒黑棋（保持黑是白的2倍）,则同时取完,
现在每次少取6-5=1粒,一共剩下20粒
取了:
20÷（6-5）=20次
共有:
20×3×（1+2）=180粒
9.如图1,边长12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠,若没有重叠的两空白部分的面积分别是S1,S2,则S1-S2=______.（π取3）
【解答】
S1-S2=S圆形-S正方形=3×8×8-12×12=48平方厘米
10.有一列数:
8,18,24,49,55,60,65,77,81,98,100.它们的最小公倍数是______.（以乘方形式表示,不用写出计算结果）
【解答】
质因数2:
3个
质因数3:
4个
质因数5:
2个
质因数7:
2个
质因数11:
1个
质因数13:
1个
最小公倍数:
2³××5²×7²×11×13
11.王老师将200块糖分给了甲乙丙三个小朋友,甲比乙的2倍还要多,乙比丙的3倍还要多,那么甲最少有____块糖,丙最多有____块糖.
【解答】
甲比丙的2×3=6倍多,总数就比丙的6+3+1=10倍多
200÷（2×3+3+1）=20
丙最多20-1=19块
此时甲乙至少有200-19=181块
181÷（2+1）=60…1
乙最多60块,
甲至少60×2+1=121块
12.建军路小学有钢琴,小提琴这两个兴趣班,这两个班的学员都是来自A班或者B班的.钢琴班有来自A班,小提琴班有来自B班,并且钢琴班的总人数是小提琴班总人数的倍,那么这两个兴趣班中来自B班的人数与总人数的比值是______.
【解答】
钢琴9份,小提琴7份
来自B班的,
钢琴有9×（1-1/3）=6份
小提琴有7×3/7=3份
所求比值为（6+3）:
（9+7）=9/16
13.定义:
”如果一个数有12个约数,那么称这样的数为’好数’”.则将所有的”好数”由小到大依次排列,第三个是______.
【解答】
12=1×12=2×6=3×4=2×2×3
最小:
2²×3×5=60
第二:
2³×3²=72
第三:
2²×3×7=84
14.有一口枯井,用一根绳子测井口到井底的深度,将绳对折后垂到井底,绳子超过井口9米;将绳子三折后垂到井底,绳子超过井口2米,则绳长____米,井深____米.
【解答】
绳子长:
（9-2）÷（1/2-1/3）=42米
井深:
42÷2-9=12米
另解:
井深:
（9×2-2×3）÷（3-2）=12米
绳长:
（12+9）×2=42米
15.将100个梨分给10个同学,每个同学的梨个数互不相同.分得梨个数最多的同学,至少得到____个梨.
【解答】
平均每人100÷10=10个
互不相同,则
从第一个减5个,给最后一个
从第二个减4个,给倒数第2个
……
个数最多的,至少得到10+5=15个
另解:
先10人不同,至少
1+2+3+4+…+10=55个
55+10×4=95个
每人增加4个,一共95个,还有100-95=5个
这5个可以分别分给较多的5个人,每人一个
最多的同学至少10+4+1=15个
或者:
100÷5=20=9+11=8+12=7+13=6+14=5+15
个数最多的同学至少得到15个
16.31500的约数中与6互质的共有______个.
【解答】
31500=2×2×3×3×5×5×5×7
与6互质,则不含质因数2,3（或者说只有质因数5,7）
共有:
（3+1）×（1+1）=8个
17.如图2,S△ABC=24,D是AB的中点.E在AC上,AE:
EC=2:
1.DC交BE于点O.若s△DBO=a,S△CEO=b,则a-b=______.
【解答】
a-b=s△BCD-s△BCE=（1/2-1/3）×24=4
18.已知有三个连续的自然数,它们中最小的一个是9的倍数,中间一个是7的倍数,最大的一个是5的倍数,那么这些自然数最小分别是_____________.
【解答】
5,7,9的最小公倍数是5×7×9=315
315分别减去9,7,5所得的三个数分别是9,7,5的倍数且相差2
（315-9）÷2=153
所求自然数分别是153,154,155
19.快速公交3号线行驶于安定门与宏福苑小区之间,已知它的发车间隔时间是相等的,苏老师开车从宏福苑小区到安定门,每过3分钟她的迎面就驶来一辆快速公交,每隔12分钟她就超过一辆快速公交.快速公交全程是45分钟,假设公交车和苏老师开车的速度都不变,那么苏老师开车从宏福苑小区到安定门需要____分钟.
【解答】
苏老师与公交车的速度比为（12+3）:
（12-3）=5:
3
需要45÷5×3=27分钟
另解:
相邻两辆公车之间的距离为1
苏老师与公车速度和为1/3
苏老师与公车速度差为1/12
苏老师速度（1/3+1/12）÷2=5/24
公车速度（1/3-1/12）÷2=1/8
苏老师与公车速度比5/24:
1/8=5:
3
需要:
45÷5×3=27分钟
20.将自然数1,2,3,…,依次写下去,组成一个数:
12345678910111213…,当写到2054时,这个大数除以9的余数是______.
【解答】
连续9个自然数的和是9的倍数,则数字和也是9的倍数
2054÷9的余数为2,按连续9个一组划分,余下2个
这里有个小技巧,余下的2个数,取最前面的2个,好算
（1+2）÷9=0…3
所求余数为3
21.地震时,地震中心同时向各个方向传播出纵波和横波.纵波的传播速度是3.96km/s,横波的传播速度是2.58km/s,某次地震,地震监测点用地震仪接收到地震的纵波之后,隔了18.5s,接收到这个地震的横波,那么这次地震的地震中心距离地震监测点______km.
【解答】
纵波与横波速度比为3.96:
2.58=66:
43
距离:
18.5÷（66-43）×66×2.58≈136.96千米
另解:
18.5×2.58÷（3.96-2.58）×3.96≈136.96千米
再解:
18.5÷（1/2.58-1/3.96）≈136.96千米
22.对于非零自然数n,如果能找到非零自然数a,b使得n=a+b+ab,则称n是一个”联谊数”,如:
3=1+1+1×1,则3就是一个”联谊数”,那么从1到20这20个自然数当中,”联谊数”共有______个.
【解答】
1+1+1×1=3
1+2+1×2=5
1+3+1×3=7
…
大于等于3的奇数都可以3—19,有9个
2+2+2×2=8
2+4+2×4=14
2+6+2×6=20
满足要求的偶数有3个
共有:
9+3=12个
23.甲乙丙丁四个人去购物,付账时每人都拿出一些钱,已知,乙丙丁三人付钱的总和是甲的5倍,甲丙丁三人付钱的总和是乙的4倍,甲乙丁三人付钱的总和是丙的3倍,丁付了46元,那么四个人共花了______元.
【解答】
甲占总数的1÷（1+5）=1/6
乙占总数的1÷（1+4）=1/5
丙占总数的1÷（1+3）=1/4
一共:
46÷（1-1/6-1/5-1/4）=120元
24.一个自然数,在3进制中的数字和是24.它在9进制中的数字和最小是____,最大是____.
【解答】
3进制转9进制,从右边开始,每2位一组,分别转换
数字和最小的一种情况,从右边,偶数位置都是0,奇数位置为1
3进制:
1,01,01…01,01（24个1）
9进制:
1,1,1…1（24个1）
数字和最小:
24
数字和最大的一种情况,从右边,偶数位置为1,奇数位置为0
3进制:
10,10,10…10,10（24个1）
9进制:
3,3,3,…3（24个3）
数字和最大:
3×24=72
25.设N=1×2×…×209×210,则:
（1）N的末尾一共出现_____个连续的数字”0”;
（2）用N不断除以12,知道结果不能被12整除为止,一共可以除以____次.
【解答】
1）一个因数2与一个因数相乘,会在乘积的末尾增加一个0,连续的自然数相乘,因数2足够多,只需看因数5的个数
210÷5=42
42÷5=8…2
8÷5=1…3
一共:
42+8+1=51个零
2）第二问就要看因数2与因数3的个数
210÷3=70
70÷3=23…1
23÷3=7…2
7÷3=2…1
因数3有70+23+7+2=102个
210÷2=105
105÷2=52…1
52÷2=26
26÷2=13
13÷2=6..1
6÷2=3
3÷2=1…1
因数2有105+52+26+13+6+3+1=206个
102×2＜206,所以按因数3的个数计算
一共可以除以:
102次
26.如果长方形,正方形,正三角形分别有a,b,c条对称轴,则（a+b+c）²=______.
【解答】
a=2,b=4,c=3
（a+b+c）²=（2+4+3）²=9²=81
27.在数4,11,19,73,93,118,125,238中相邻若干个数之和是3的倍数而不是9的倍数的数组共有______组.
【解答】
每个数除以9的余数分别是:
4,2,1,1,3,1,8,4
前若干数的和除以9的余数为:
4,6,7,8,2,3,2,6
余数不同（不是9的倍数）,且余数差是3的倍数的,满足要求
余数（6）,（3）,（6）,（4,7）,（6,3）,（3,6）,（8,2）,一共7组
注:
其中还有一组（8,2）,中间没有隔数,指的就是原数列中的93这个数,不符
28.A,B两校的男生,女生人数比分别是8:
7,30:
31,两校合并后男女生的人数比变成了27:
26,则A,B两校合并前人数的比是______.
【解答】
浓度三角
8+7=15
30+31=61
27+26=53
（27/53-30/61）:
（8/15-27/53）=45:
61
29.甲乙丙丁四人参加数学竞赛,赛后猜测他们之间的考试成绩情况是:
甲说:
”我考得最差.”
乙说:
”我不是考得最差的.”
丙说:
”我考得肯定是最好的.”
丁说:
”我肯定没有丙考得好,但也不是最差的.”
成绩公布后,只有一人猜错了,则这四人的实际成绩从高到低依次是________.
【解答】
如果甲错,则其余都对,那么就没有最差的,矛盾,所以甲对,即甲最差
甲对,则乙也对,
如果丙错,那么丁对,
乙＞丙＞丁＞甲
如果丙对,则丁错,丁最差,矛盾
所以就是:
乙＞丙＞丁＞甲
30.若在同一斜坡上往返,上坡速度为5m/s,下坡速度为7m/s,则往返一次的平均速度是______米/秒.
【解答】
2÷（1/5+1/7）=35/6米/秒
31.若三个连续偶数的最小公倍数是1008,则这三个自然数的和是________.
【解答】
1008=2×2×2×2×3×3×7
三个偶数分别是14,16,18
和为:
16×3=48
PS:
三个连续偶数中,有且只有一个是3的倍数,首先考虑18,然后还有一个是7的倍数,14,另一个就是16
32.某数除以7余4,除以9余6,除以11余2,那么这个数的最小可能是______.
【解答】
此数加3以后,能被7,9整除,除以11余5
7×9=63
63÷11=5….8
8×2=16,除以11余5
最小可能是:
63×2-3=123
33.某店原来将一批羽绒服按100%的利润定价出售,淡季,商家按38%的利润重新定价,这样售出了其中的40%.旺季价格有所回升,售出了余下的全部羽绒服.结果,实际获得的总利润是原定利润的45.2%,那么旺季的价格是原定价格的______%.
（注:
”按100%的利润定价”指的是”利润=成本×100%”）
【解答】
（45.2%-38%×40%）÷（1-40%）=50%
是原定价格的:
（1+50%）÷（1+100%）=75%
或者利用浓度三角
40%:
（1-40%）=2:
3
（45.2%-38%）÷3×2+45.2%=50%
（1+50%）÷（1+100%）=75%
34.统计局统计了664座城市,按空气污染情况可分为三类:
良好,轻度污染和严重污染.其中,空气质量良好的城市数比严重污染城市数的3倍多52座,轻度污染城市数是严重污染城市数的2倍.则空气严重污染城市有______座.
【解答】
（664-52）÷（3+2+1）=102座
35.图3中三个正方形的边长分别为10,20,30,那么图中阴影部分的面积是______.
【解答】
如图,分成两个三角形,
底都是20,
高分别是10+20=30和30
阴影面积:
20×（10+20+30）÷2=600
36.在1到2013这2013个数中,共有______个数与四位数5678相加时不发生进
位.
【解答】
个位0,1,
十位0,1,2
百位0,1,2,3
千位1
再加上2000,2001,2010,2011,
一共:
1+2×2+3×3×2+4×3×2+4=51个
（一位数,两位数,三位数,四位数）
37.如图4,在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点.那么,以这6个点中的
任意三个为顶点可组成的不同的三角形的个数是______.
【解答】
6个点任取3个,有6×5×4÷（1×2×3）=20种
减去三点共线的2种,一共20-2=18个
38.若整数x满足不等式,则x=______.
【解答】
都乘4,得:
2又6/13＜x＜3又19/27
所以X=3
39.如图5,三个同心圆的半径分别是1厘米,3厘米,5厘米,AB,CD,EF,GH八等分这个圆,且都过圆心O.图中阴影部分的面积与非阴影部分的面积之比是______.
【解答】
两个圆环,都被分成8等份,阴影部分都占2份
2:
（8-2）=1:
3
40.如上表,自然数以一定的规律排列,横为行,竖为列,如9在第3行第2列,记为9=（3,2）,则2013=（____,____）.
【解答】
斜着看,
奇数行从左往右,
偶数行从右向左
2013×2=4026（求和公式,然后估算）
62×63=3906
63×64=4032
2013在第63个斜行,倒数第（4032-4026）÷2+1=4个
第4行,第63+1-4=60列
2013=（4,60）
41.图6是由边长为1的25个小正方形拼成的图形,则阴影部分的面积是______.
【解答】
25-（2×2+3×1+4×1+3×1）÷2=18
整体面积减去4块空白
或者直接拼合数块数:
4+2+3×4=18
42.生活中,有人习惯用1/2表示1月2日,也有人习惯用1/2表示2月1日,这样一来,如果遇到1/2,就不能明确这究竟是1月2日还是2月1日了.一年中这种容易混淆的日期表示共有______天.
【解答】
1—12月的1—12日,减去1/1,2/2…12/12
12×12-12=132天
43.4024又2012/2013，过程略
44.在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.（答案不唯一,写出一个即可）
【解答】
1/10=12/120=（30-15-3）/120=1/4-1/8-1/40
1/10=6/60=（1+2+3）/60=1/60+1/30+1/20
分子分母同时扩大,然后把分子分成分母的因数的差或和
45.如图7,在△ABC中,,E,G分别是AD,ED的中点,若△EFG的面积为1,则△ABC的面积是______.
【解答】
△EFD是阴影的2倍,△EBD是△EFD的2+1=3倍
△ABD是△EBD的2倍,△BD是△ABC的
1×2×（2+1）×2÷2×（2+1）=18
或者:
正算,算出阴影面积占△ABC面积的分率
2/3×1/2×1/2×1/3=1/18
1÷1/18=18
46.如图8
（1）,
（2）,（3）,边长相等的三个正方形内分别紧排着9个,16个,25个等圆.设三个正方形内的阴影部分面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是______.
图8
【解答】
设正方形边长120,面积S,则小圆半径分别为20,15,12
S1=S-20²π×9=S-3600π
S2=S-15²π×16=S-3600π
S3=S-12²π×25=S-3600π
所以S1=S2=S3
或者:
三个图形中,
圆半径比为1/3:
1/4:
1/5
圆数量比为3²:
4²:
5²
圆面积比为（1/3）²×3²:
（1/4）²×4²:
（1/5）²×5²=1:
1:
1
所以阴影面积相等,S1=S2=S3
47.有甲乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径分别是20厘米,24厘米,杯中盛有适量的水.甲杯中沉没着一铁块,当取出此铁块后,甲杯中的水位下降了6厘米;然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯中的水没外溢,则这时乙杯中的水位上升了______厘米.
【解答】
直径比20:
24=5:
6
甲乙底面积之比5²:
6²=25:
36
铁块体积相同,则高的比就是36:
25
乙上升:
25×6÷36=25/6厘米
综合:
20²×6÷24²=25/6厘米
48.建筑公司计划修一条隧道.当完成任务的时,公司引进新设备,修建速度提高了20%,每天的工作时间缩短为原来的80%,实际185天完成了任务.若按原计划,则______天可完成任务.
【解答】
引进新设备后与原来,每天完成工作量是原来的:
（1+20%）×80%=96%
完成任务所需天数为原来的1/3+（1-1/3）÷96%=37/36倍
原计划需要:
185÷37/36=180天
49.如果一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差,则称这个数为”吉祥数”,如:
9=5²-4²,9是”吉祥数”.那么从1开始的自然数中,第2013个”吉祥数”是_____.
【解答】
所有的奇数都是吉祥数（1除外）
偶数中,4的倍数是吉祥数（4除外）
（由平方差公式推导）
从1开始,每4个连续自然数中,有2个奇数,1个4的倍数
所以1—4,只有一个（3）,从5开始的每4个连续自然数中,有3个吉祥数
2013÷3×4=2684
此时还差2个,2685,2687
第2013个是2687
50.有3个整数,如果第2个数的5倍是第1个数与1的差的4倍,第3个整数的5倍是第2个数与1的差的4倍,那么第1个数的最小值是______.
【解答】
第2,3两个数都是4的倍数
第2个数减去1以后,还要是5的倍数
第2个数最小为16
第1个数的最小值就是16×5÷4+1=21
51.春蕊班的每位同学都参加了课外体操班或围棋班,有的同学还同时参加了两个班.如果同时参加两个班的人数是参加围棋班的,是参加体操班人数的.那么这个班只参加体操与只参加围棋班的人数之比是______.
【解答】
体操班与围棋班人数比为2/5:
4/9=9:
10
只参加体操班与只参加围棋班的人数比为:
9×（1-4/9）:
10×（1-2/5）=5:
6
或者,利用同时参加两个班的人数相同扩比
同时参加的,与围棋班的比为2:
5=4:
10
同时参加的,与体操班的比为4:
9
则只参加体操班与只参加围棋班的比为（9-4）:
（10-4）=5:
6
52.甲乙两个硬盘的成本共1600元,甲按30%的利润定价,乙按40%的利润定价,甲按定价的90%出售,乙按定价的85%出售,供货的利润290元.那么甲的成本是__元.
【解答】
解法1.
鸡兔同笼,假设都是乙
1600×（1+40%）×85%-1600=304元
（1+40%）×85%-（1+30%）×90%=0.02元
甲成本:
（304-290）÷0.02=700元
解法2.
浓度三角
290÷1600=18.125%
（140×85%-118.125）:
（118.125-130×90%）=7:
9
甲成本:
1600÷（7+9）×7=700元
53.已知,其中a,b,c,d,e都是整数,则其中最大的数的值是____.
【解答】
225/157=1又68/157
a=1,225-157=68
157÷68=2…21
b=2,157-68×2=21
68÷21=3…5
c=3
21÷5=4….1
d=4
e=5
最大的为e=5
54.咖啡店新推出一款杯子,定价是88元/个,实际销售时降了价,结果销量比预计的增加了,收入增加了,则每个杯子被降价______元.
【解答】
降价后价格是原来的:
（1+3/20）÷（1+1/4）=23/25
每个降价:
88×（1-23/25）=7.04元
55.若三个连续自然数的平方的和等于245,则这三个连续自然数的和是_____.
【解答】
三个自然数,两个偶数,一个奇数（平方和为奇数）
245÷3≈80,比较接近的是9²=81
验证,8²+9²+10²=245,正好满足
三个自然数的和是8+9+10=27（或者9×3=27）
56.已知长方体表面积是148cm²,底面面积是30cm²,底面的周长是22cm,则这个长方体的体积是______cm³.
【解答】
利用:
侧面积=底面周长×高
高:
（148-30×2）÷22=4厘米
体积:
30×4=120立方厘米
57.用棱长为2厘米的小正方体,如图9所示层层重叠放置.则当重叠了5层时,这个立方体的表面积是______平方厘米.
【解答】
5层的时候,每个方向（上下左右前后）看,
都有1+2+3+4+5=15个小面
表面积:
2×2×15×6=360平方厘米
58.由长度分别为2,3,4,5,6的五条线段为边,可以组成______个不同的三角形.
【解答】
（2,3,4）,（2,4,5）,（2,5,6）,（3,4,5）,（3,4,6）,（3,5,6）,（4,5,6）
一共:
7个
或者,5条线段任选3条,有5×4×3÷（1×2×3）=10个
减去（2,3,5）,（2,3,6）,（2,4,6）这3个,一共:
10-3=7个
PS:
题意不清,没说明线段不能组合使用
改一下,由长度分别为2,3,4,5,6的五条线段”中选出3条”为边,这样较好
59.若字母a,b,c分别表示不同的非零数字,则由a,b,c组成的各个数位上数字不同的三位数共有______个,若除三位数外,其余几个的和为2874,则
【解答】
能组成的三位数共有:
3×2×1=6个
并且这6个三位数的和是a+b+c的222倍（每个数字在每个数位都出现2次）
在100—999之间,所以总和在2874+100=2974到2874+999=3873之间
2974÷222＞13
3873÷222＜18
222×14-2874=234,2+3+4=9≠14,不符
222×15-2874=456,4+5+6=15,符合
222×16-2874=678,6
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