二、填空题
13．（2018·湖南张家界模拟）定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝2，公积为10，则a2018＝________．
答案 5
解析 已知数列{an}是等积数列且a1＝2，公积为10，可得a2＝5，a3＝2，a4＝5，a5＝2，…，由此奇数项为2，偶数项为5，所以a2018＝5．
14．设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn（n，an）对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1＝（1，2），则数列{an}的前n项和Sn＝________．
答案 n2
解析 ∵Pn（n，an），∴Pn＋1（n＋1，an＋1），∴PnPn＋1＝（1，an＋1－an）＝（1，2），∴an＋1－an＝2，∴{an}是公差d为2的等差数列．又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴Sn＝n＋×2＝n2．
15．（2018·湖北荆州中学模拟一）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：
1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a2020＝M，则S2018＝________．（用M表示）
答案 M－1
解析 ∵数列为：
1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，
∴an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋1，则S2018＝a2020－1＝M－1．
16．（2018·衡水金卷压轴卷二）已知曲线C1的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝1，过平面上一点P1作C1的两条切线，切点分别为A1，B1，且满足∠A1P1B1＝．记P1的轨迹为C2，过平面上一点P2作C2的两条切线，切点分别为A2，B2，且满足∠A2P2B2＝．记P2的轨迹为C3，按上述规律一直进行下去，…，记an＝|AnAn＋1|min，且Sn为数列{an}的前n项和，则满足Sn－5n>0的最小正整数n为________．
答案 5
解析 由题设可知轨迹C1，C2，C3，…，Cn分别是半径为1，2，4，8，16，32，…，2n的圆．因为an＝|AnAn＋1|min，所以a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，…，an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1．由Sn－5n>0，得2n－1－5n>0⇒2n>5n＋1，故最小的正整数n为5．
三、解答题
17．（2018·山西考前适应训练）已知等比数列{an}中，an>0，a1＝，－＝，n∈N*．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝（－1）n·（log2an）2，求数列{bn}的前2n项和T2n．
解
（1）设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
因为－＝，所以－＝，
因为q>0，解得q＝2，
所以an＝×2n－1＝2n－7，n∈N*．
（2）bn＝（－1）n·（log2an）2＝（－1）n·（log22n－7）2
＝（－1）n·（n－7）2，
设cn＝n－7，则bn＝（－1）n·（cn）2．
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝－c＋c＋（－c）＋c＋…＋（－c）＋c
＝（－c1＋c2）（c1＋c2）＋（－c3＋c4）（c3＋c4）＋…＋（－c2n－1＋c2n）（c2n－1＋c2n）
＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n
＝
＝n（2n－13）＝2n2－13n．
18．（2018·山东青岛统测）已知等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为2，且anbn＝n·2n．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．
解
（1）∵anbn＝n·2n，
∴⇒
解得a1＝2，b1＝1，
∴an＝2＋2（n－1）＝2n，bn＝2n－1．
（2）∵an＝2n，bn＝2n－1，
∴cn＝＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn
＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－
＝1＋－－
＝－＋<，
∴Tn<．
19．（2018·广东三校联考二）设数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）（n∈N*）在直线2x－y－2＝0上．
（1）求证：
数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设直线x＝an与函数f（x）＝x2的图象交于点An，与函数g（x）＝log2x的图象交于点Bn，记bn＝·（其中O为坐标原点），求数列{bn}的前n项和Tn．
解
（1）证明：
∵点（an，Sn）在直线2x－y－2＝0上，
∴2an－Sn－2＝0．①
当n＝1时，2a1－a1－2＝0，∴a1＝2．
当n≥2时，2an－1－Sn－1－2＝0，②
①－②，得an＝2an－1．
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an＝2n．
（2）由
（1）及已知易得An（2n，4n），Bn（2n，n），
∴bn＝·，∴bn＝（n＋1）·4n．
则Tn＝2×41＋3×42＋4×43＋…＋（n＋1）·4n，③
4Tn＝2×42＋3×43＋4×44＋…＋（n＋1）·4n＋1，④
③－④，得
－3Tn＝8＋42＋43＋…＋4n－（n＋1）·4n＋1
＝8＋－（n＋1）·4n＋1，
∴Tn＝＋·4n＋1－．
20．（2018·湖南六校联考）已知函数f（x）＝x2＋x＋c（c为常数），且x∈－，0时，f（x）的最大值为－，数列{an}的首项a1＝，点（an，an＋1）在函数f（x）的图象上，其中n≥1，n∈Z．
（1）证明：
数列lgan＋是等比数列；
（2）记Rn＝a1＋·a2＋·…·an＋，求Rn．
解
（1）证明：
依题意，f（x）＝x2＋x＋c，c为常数，
当x∈－，0时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
所以f（x）max＝f（0）＝c＝－，
所以f（x）＝x2＋x－．
又点（an，an＋1）在函数f（x）的图象上，
所以an＋1＝a＋an－，
即an＋1＋＝an＋2，
由于a1＝，易知an＋>0，
所以lgan＋1＋＝2lgan＋，
又lga1＋＝lg2≠0，
所以数列lgan＋是首项为lg2，公比为2的等比数列．
（2）由
（1）知lgan＋＝2n－1·lg2＝lg22n－1，
所以an＋＝22n－1，
所以Rn＝220·221·222·…·22n－1＝220＋21＋22＋…＋2n－1
＝22n－1．
21．（2019·宁夏六盘山高级中学模拟）已知函数y＝f（x）．对任意x∈R，都有f（x）＋f（1－x）＝2．
（1）求f和f＋f（n∈N*）的值；
（2）数列{an}满足an＝f（0）＋f＋f＋…＋f＋f
（1）（n∈N*），求证：
数列{an}是等差数列．
解
（1）由题设条件知f＋f＝2，故f＝1．而＋＝1，故f＋f＝2．
（2）证明：
依题有an＝f（0）＋f＋…＋f＋f
（1），n∈N*，
同理有an＝f
（1）＋f＋…＋f＋f（0），n∈N*，
上述两式对应相加得2an＝[f（0）＋f
（1）]＋f＋f＋…＋f＋f＋[f（0）＋f
（1）]＝2（n＋1），从而an＝n＋1，n∈N*，而an＋1－an＝1，故{an}为等差数列．
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