最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测 1.docx
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最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测1
自我小测
2.3.1等差数列的前n项和
（一）
夯基达标
1.（2009福建高考,理3）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3＝6,a3＝4,则公差d等于（）
A.1B.
C.2D.3
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3＝9,S6＝36,则a7＋a8＋a9等于（）
A.63B.45C.36D.27
3.在等差数列{an}中,d＝2,an＝11,Sn＝35,则a1为（）
A.5或7B.3或5C.7或－1D.3或－1
4.等差数列{an}中,a1＋a2＋a3＝－24,a18＋a19＋a20＝78,则此数列前20项和等于____________.
5.已知一个等差数列共有2005项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是_______.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n＋1,问:
此数列是否为等差数列?
请说明理由.
能力提升
7.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）
A.13项B.12项C.11项D.10项
8.定义“等和数列”：
在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1＝2,公和为5,那么a18的值为___________,这个数列的前n项和Sn的计算公式为___________.
9.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7＝7,S15＝75,Tn为数列
的前n项和,求Tn.
10.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
11.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（1）若a11＝0，S14＝98,求数列{an}的通项公式；
（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式.
拓展探究
12.已知f（x）＝x2－2（n＋1）x＋n2＋5n－7.
（1）若f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:
{an}为等差数列;
（2）若f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和.
参考答案
1解析:
∵
而a3＝4,∴a1＝0.
∴
.
答案:
C
2解析:
由于a7＋a8＋a9＝S9－S6,而由等差数列的性质可知S3,S6－S3,S9－S6成等差数列,
所以有S3＋（S9－S6）＝2（S6－S3）,
即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案:
B
3解析:
∵
∴
.①
∵an＝a1＋（n－1）d,
∴11＝a1＋（n－1）×2.②
由①②解得a1＝3或－1.
答案：
D
4解析:
∵a1＋a2＋a3＝－24,a18＋a19＋a20＝78,将两式相加得3（a1＋a20）＝54.
∴a1＋a20＝18,
.
答案：
180
5解析:
∵
∴
.
答案：
6解:
当n＝1时,a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2,
当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n＋1）－［3（n－1）2－2（n－1）＋1］＝6n－5,
∴
又当n≥2时,有an＋1－an＝［6（n＋1）－5］－6n＋5＝6,
而a2－a1＝（6×2－5）－2＝5≠6,
∴此数列不是等差数列.
7解析：
依题意
两式相加,得（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＝180.
∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
∴3（a1＋an）＝180.∴a1＋an＝60.
由
，可得30n＝390，
∴n＝13.
答案：
A
8答案:
3
9解:
设等差数列{an}的公差为d,则
∵S7＝7,S15＝75,
∴
∴a1＝－2,d＝1.
∴
.
∵
∴数列
是等差数列,其首项为－2,公差为
.
∴
.
10解：
设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50.
则
.
令25n2＋225n≥4750，
即n2＋9n－190≥0.而n是正整数，
∴n≥10.
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
11解：
（1）由S14＝98得2a1＋13d＝14,
又a11＝a1＋10d＝0,解得d＝－2,a1＝20.
∴{an}的通项公式是an＝22－2n,n＝1,2,3,….
（2）由
即
由①＋②,得－7d＜11,即
.
由①＋③,得13d≤－1,即
.
∴
.
又∵d∈Z,故d＝－1.
将④代入①②得10＜a1≤12.
又∵a1∈Z,∴a1＝11或12.
∴{an}所有可能的通项公式为an＝12－n和an＝13－n,n＝1,2,3,….
12解:
（1）证明:
因为f（x）＝［x－（n＋1）］2＋3n－8,
所以an＝3n－8.
因为an＋1－an＝3,
所以{an}为等差数列.
（2）解:
由
（1）可知bn＝|3n－8|,
当1≤n≤2时,bn＝8－3n,b1＝5,
.当n≥3时,bn＝3n－8,
Sn＝5＋2＋1＋4＋…＋（3n－8）
所以
2.3.2等差数列的前n项和
（二）
夯基达标
1.已知等差数列{an}的公差为1,且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99,则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99等于（）
A.99B.66C.33D.0
2.设数列{an}是等差数列，且a2＝－5,a10＝5,Sn是数列{an}的前n项和，则（）
A.S5＜S6B.S5＝S6C.S7＜S6D.S7＝S6
3.已知等差数列前n项和Sn＝n2－17n,则使Sn最小的n值是（）
A.8B.9C.10D.8或9
4.若{an}是等差数列,首项a1＞0,a2003＋a2004＞0,a2003·a2004＜0,则使前n项的和Sn＞0成立的最大自然数n是（）
A.4005B.4006C.4007D.4008
5.在数列{an}中,a1＝－60,an＋1＝an＋3（n∈N*）,若对这个数列各项加绝对值,得到一个新数列,则这个新数列的前30项的和为____________.
6.已知数列an的前n项和公式为Sn＝n2－23n－2（n∈N*）.
（1）写出该数列的第3项;
（2）判断74是否在该数列中;
（3）确定Sn何时取最小值,最小值是多少?
能力提升
7.给出数阵:
01…9
12…10
9………
其中每行、每列均为等差数列,则此数阵中所有数的和为（）
A.495B.900C.1000D.1100
8.（2009宁夏、海南高考,理16）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－am2＝0,S2m－1＝38,则m＝__________.
9.已知等差数列{an}中,S3＝21,S6＝24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
10.已知f（x＋1）＝x2－4,在递增的等差数列{an}中,a1＝f（x－1）,
a3＝f（x）.
（1）求x的值;
（2）求通项an;
（3）求a2＋a5＋a8＋…＋a26的值.
11.求数列1,－22,32,－42,…,（－1）n－1n2,…的前n项和.
拓展探究
12.已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足:
（1）求证:
{an}是等差数列;
（2）若
求数列{bn}的前n项和的最小值.
参考答案
1解析：
由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99,得
.
∴a1＝－48.∴a3＝a1＋2d＝－46.
又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列,
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
.
答案：
B
2解析：
由a2＝－5,a10＝5,可求得
∴a6＝0,则S5＝S6.
答案：
B
3解析:
∵本题条件已经给出了Sn表达式是n的二次函数,
∴直接求n是多少时Sn有最小值就行了.
∵顶点的横坐标
∴n＝8或9时,Sn最小.
答案：
D
4解析:
由a1＞0,a2003＋a2004＞0,a2003·a2004＜0可得a2003＞0,a2004＜0,
故S4005＝4005a2003＞0,S4007＝4007a2004＜0,S4006＝2003（a2003＋a2004）＞0,
从而Sn＞0成立的最大自然数n是4006.
答案:
B
5解析:
由题意知{an}是公差为3的等差数列,且前n项和为Sn,an＝3n－63.
当n≤20时,an＜0,
∴新数列的前30项的和S30－2S20＝765.
答案:
765
6解:
（1）a3＝S3－S2＝－18.
（2）n＝1时,a1＝S1＝－24,
n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n－24,
即
由题设得2n－24＝74（n≥2）,得n＝49.
∴74在该数列中.
（3）
∴当n＝11或n＝12时,（Sn）min＝－134.
7解析:
设行的总和构成数列{an},其中
d＝10,
.故选B.
答案：
B
8解析:
∵am－1＋am＋1＝2am,
∴2am－am2＝0.∴am＝0或am＝2.
∵
∴am＝2.
∴（2m－1）×2＝38,解得m＝10.
答案:
10
9解:
将新数列{|an|}向原有等差数列{an}靠拢转化,从而利用等差数列的性质、公式.设数列{an}的公差为d,则有
∴an＝9＋（n－1）×（－2）＝－2n＋11.
由an＝－2n＋11＞0得
故{an}的前5项为正,其余各项为负.
①当1≤n≤5时,Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n;
②当n≥6时,Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝（a1＋a2＋…＋a5）－（a6＋a7＋…＋an）＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn＝n2－10n＋50,
∴
10解:
（1）令t＝x＋1,则x＝t－1,得f（t）＝（t－1）2－4,即f（x）＝（x－1）2－4.
由a1,a2,a3成等差数列,得f（x－1）＋f（x）＝－3,即2x2－6x＝0,得x＝0或x＝3.
当x＝0时,a1＝f（－1）＝0,公差
舍去.
当x＝3时,a1＝f
（2）＝－3,公差
故所求的x的值为3.
（2）因为x＝3,所以首项a1＝－3,公差
.
所以
（n∈N*）.
（3）因为数列{an}为等差数列,
故a2,a5,a8,…,a26也成等差数列,且公差为
所以a2＋a5＋a8＋…＋a26
即a2＋a5＋a8＋…＋a26的值为
.
11解：
（1）当n为偶数时,
Sn＝（1－22）＋（32－42）＋…＋［（n－1）2－n2］
＝（1－2）（1＋2）＋（3－4）（3＋4）＋…＋［（n－1）－n］［（n－1）＋n］
＝－［1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＋n］
.
（2）当n为奇数时,则n－1为偶数,
∴
.
综合
（1）
（2）可知
12
（1）证明:
由
①
则
.②
当n≥2时,
整理得（an＋an－1）（an－an－1－4）＝0.
∴an－an－1＝4,
即{an}为等差数列.
（2）解:
∵
∴
解得a1＝2.
∴
.令bn＜0,得
.
∴S15为前n项和的最小值,
S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2（1＋2＋…＋15）－15×31＝－225.
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