第六章 实数 三维目标教案 新版人教七年级数学下册.docx
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第六章实数三维目标教案新版人教七年级数学下册
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第六章实数
单元(章)教学计划
1、地位与作用:
本章<实数>是人教版八年级数学上册第三十章内容。
学习算术平方根,平方根,立方根之后,为学习实数打下基础;由于实际计算中需要引入无理数,使数的范围从有理数扩充到了实数,完成了初中阶段数的扩展。
运算方面,在乘方的基础上以引入了开方运算,使代数运算得以完善。
因此,本章是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
2、目标与要求:
知识与技能
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根并会用符号表示;会用计算器求算术平方根;使学生理解平方根的概念,了解平方与开平方的关系。
学会平方根的表示法和求非负数的平方根;进一步认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想,通过学习不仅是完善了学生的知识结构,而且让学生领会到数形结合的思想,培养了学生的分类意识,使学生养成用多角度思维的思考习惯
过程与方法
通过了解平方与开平方的关系,培养学生逆向思维能力;能对具体情景中的数学信息作出合理的解释和推断、解决问题,能由实际问题抽象成数学问题,让学生讨论、类比提出自己的见解,并在探索的同时较好的获得新知;经历在具体例子中抽象出概念的过程,培养学习的主动性,提高数学运算能力。
情感态度与价值观
通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考,独立思考的好习惯,并且同时培养学生的团队合作精神。
3、重点与难点:
重点:
算术平方根、平方根、立方根的概念和运算;实数的认识。
难点:
算术平方根与平方根联系与区别;有理数与无理数的区别。
4、教法与学法:
教师启发引导,学生自主探究,分类比较法,统一归纳法,自学讨论法,小组互动法等教学方法.
5、活动步骤:
一、创设导入;二、探索归纳;三、应用;四、练习;五、课堂总结;六、布置作业;
6、时间安排:
6.1平方根3课时
6.2立方根1课时
6.3实数2课时
复习与小结2课时
6.1.1平方根(第一课时)
【教学目标】
知识与技能:
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根并会用符号表示;
过程与方法:
通过生活中的实例,总结出算术平方根的概念,通过计算非负数的算术平方根,真正掌握算术平方根的意义。
情感态度与价值观:
通过学习算术平方根,认识数与人类生活的密切联系,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,为学生以后学习无理数做好准备。
教学重点:
算术平方根的概念和求法。
教学难点:
算术平方根的求法。
教具准备:
三块大小相等的正方形纸片;学生计算器。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
【教学过程】
一、情境引入:
问题:
学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为的正方形画布,画上自己得意的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
二、探索归纳:
1.探索:
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式:
边长的平方等于面积,求出正方形画布的边长为。
接下来教师可以再深入地引导此问题:
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、,那么正方形的边长分别是多少呢?
学生会求出边长分别是1、3、4、6、,接下来教师可以引导性地提问:
上面的问题它们有共同点吗?
它们的本质是什么呢?
这个问题学生可能总结不出来,教师需加以引导。
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题。
2.归纳:
⑴算术平方根的概念:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。
⑵算术平方根的表示方法:
a的算术平方根记为,读作“根号a”或“二次很号a”,a叫做被开方数。
三、应用:
求下列各数的算术平方根:
⑴⑵⑶⑷⑸
解:
⑴因为所以的算术平方根是,即;
⑵因为,所以的算术平方根是,即;
⑶因为,所以的算术平方根是,即;
⑷因为,所以的算术平方根是,即;
⑸因为,所以的算术平方根是,即。
注:
①根据算术平方根的定义解题,明确平方与开平方互为逆运算;
②求带分数的算术平方根,需要先把带分数化成假分数,然后根据定义去求解;
③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题:
你能求出-1,-36,-100的算术平方根吗?
任意一个负数有算术平方根吗?
归纳:
一个正数的算术平方根有1个;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。
即:
只有非负数有算术平方根,如果有意义,那么。
注:
且这一点对于初学者不太容易理解,教师不要强求,可以在以后的教学中慢慢渗透。
求下列各式的值:
(1)
(2)(3)(4)
分析:
此题本质还是求几个非负数的算术平方根。
解:
(1)
(2)(3)(4)
求下列各数的算术平方根:
⑴⑵⑶⑷
解:
(1)因为,所以;
⑵因为,所以;
⑶因为,所以;
⑷因为,所以。
根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结:
1、由,,可得
2、由,,可得
教师需强调时对两种情况都成立。
四、随堂练习:
1、算术平方根等于本身的数有_____。
2、求下列各式的值:
,,,
3、求下列各数的算术平方根:
,,,,
4、已知求的值。
五、课堂小结
1、这节课学习了什么呢?
2、算术平方根的具体意义是怎么样的?
3、怎样求一个正数的算术平方根?
六、布置作业课本第47页习题6.1第1、2题
6.1.2平方根(第2课时)
【教学目标】
知识与技能:
会用计算器求算术平方根;了解无限不循环小数的特点;会用算术平方根的知识解决实际问题。
过程与方法:
通过折纸认识第一个无理数,并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。
用计算器计算算术平方根,使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根,再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律,最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。
情感态度与价值观:
通过探究的大小,培养学生的估算意识,了解两个方向无限逼近的数学思想,并且锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情。
教学重点:
①认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。
②会用算术平方根的知识解决实际问题。
教学难点:
认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
教学过程:
一、通过实验引入:
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形。
你知道这个大正方形的边长是多少吗?
设大正方形的边长为,则,由算术平方根的意义可知,
所以大正方形的边长为。
二、讨论的大小:
由上面的实验我们认识了,它的大小是多少呢?
它所表示的数有什么特征呢?
下面我们讨论的大小。
因为<<,所以<<.
因为,,所以<<。
因为,,所以<<
因为,,所以<<
……
如此进行下去,我们发现它的小数位数无限,且小数部分不循环,像这样的数我们成为无限不循环小数。
=……
注:
这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想,学生第一次接触,不好理解,教师在讲解时速度要放慢,可能需要讲两遍。
=……,是个无限不循环小数,但是很抽象,没有办法全部表示出来它的大小,类似这样的数还有很多,比如等,圆周率π也是一个无限不循环小数。
三、用计算器求算术平方根:
大多数计算器都有“”键,用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。
用计算器求下列各式的值:
;(精确到
解:
(1)依次按键,显示:
56.所以
(2)依次按键2=,显示:
,这是一个近似值。
所以
注:
不同品牌的计算器,按键的顺序可能有所不同。
四、探索规律:
(1)利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?
…
…
…
…
(2)用计算器计算(结果保留4个有效数字),并利用你发现的规律写出,,的近似值。
你能根据的值求出的值吗?
学生通过计算器可求出
(1)的答案,依次是:
。
从运算结果可以发现,被开方数扩大或缩小100倍时,它的算术平方根就扩大或缩小10倍。
由可得
,由的值不能求出的值,因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时,它的算术平方根才扩大或缩小10倍,而3到30扩大的是10倍,所以不能由此规律求出。
此题学生可独立完成。
五、实际应用:
例1、小丽想用一块面积为的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为
的长方形纸片,使它的长与宽之比为:
,不知道能否裁出来,正在发愁,小明见了说:
“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。
”你同意小明的说法吗?
小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
分析:
学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。
通过计算和讲解纠正这种错误的认识。
解:
设长方形纸片的长为,宽为。
根据边长与面积的关系可得:
,,,
∴长方形纸片的长为。
因为﹥,所以﹥,从而﹥
即长方形纸片的长应该大于,而已知正方形纸片的边长只有,这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。
答:
不能同意小明的说法。
小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
六、随堂练习:
1.用计算器求下列各式的值:
(1)
(2)(3)(精确到)
2、估计大小:
(1)与
(2)与
3、已知,求,,,的值。
七、课堂小结
1、被开方数增大或缩小时,其相应的算术平方根也相应地增大或缩小,因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值;
2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值;
3、被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是怎样的呢?
4、怎样的数是无限不循环小数?
八、布置作业
课本第47页习题6.1第5、6题
教学反思:
6.1.3平方根(第三课时)
【教学目标】
知识与技能
了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根
过程与方法
通过学习平方根,进一步建立数感和符号感,发展抽象思维。
通过对正数平方根特点的探究,了解平方根与算术平方根的区别和联系,体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用,提高学生对问题的迁移能力。
情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情。
教学重点:
了解开方和乘方互为逆运算,弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。
教学难点:
平方根与算术平方根的区别和联系。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
教学过程
一、情境导入
如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
讨论:
这样的数有两个,它们是3和-3.注意中括号的作用.
又如:
,则x等于多少呢?
二、探索归纳:
1、平方根的概念:
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即:
如果=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
例如:
3的平方等于9,9的平方根是3,所以平方与开平方互为逆运算.
2、观察:
课本P73的图14.1-2.
图14.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程,揭示了开平方运算的本质.并根据这个关系说出1,4,9的平方根.
例4求下列各数的平方根。
(1)100
(2)(3)0.25
3、按照平方根的概念,请同学们思考并讨论下列问题:
正数的平方根有什么特点?
0的平方根是多少?
负数有平方根吗?
一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算,符号:
正数a的算术平方根可用表示;正数a的负的平方根可用-表示.
例5求下列各式的值。
(1),
(2)-,(3)(4),
归纳:
平方根和算术平方根两者既有区别又有联系.区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
三、练习
课本P75小练习1、2、3
四、小结:
1、什么叫做一个数的平方根?
2、正数、0、负数的平方根有什么规律?
3、怎样求出一个数的平方根?
数a的平方怎样表示?
五、作业
P47习题6.1第3、8题。
教学反思
6.2立方根
【教学目标】
知识与技能:
1了解立方根的概念和表示方法,并会求一个数的立方根;
2会用计算器求一个数的立方根。
过程与方法:
从具体的计算出发归纳出立方根的概念,然后讨论立方与开立方的关系,研究立方根的特征,最后介绍实用计算器求立方根的方法。
情感态度与价值观:
通过探索立方根的特征,培养学生独立思考和小组交流的能力;通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想;通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系,可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题,培养学生的转化思想。
教学重点:
立方根的概念和求法
教学难点:
立方根的求法。
教学过程:
一、情景引入:
要制作一种容积为的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?
二、探索归纳:
1.探索:
设这种包装箱的边长为,则,
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为,所以,即这种包装箱的边长应为。
2.归纳:
1立方根的概念:
一般地,如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根或三次方根。
2立方根的表示方法:
如果,那么叫做的立方根。
记作,读作三次根号。
其中是被开方数,3是根指数,中的根指数3不能省略。
3开立方的概念:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算,可以根据这种关系求一个数的立方根。
3、探索立方根的特点:
根据立方根的意义填空,思考正数、0、负数的立方根各有什么特点?
(1)因为,所以8的立方根是();
(2)因为,所以的立方根是();
(3)因为,所以0的立方根是();
(4)因为,所以的立方根是();
(5)因为,所以的立方根是()。
学生独立完成后,教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳:
正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.
4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系:
填空:
因为___,___,所以___;
因为___,___,所以___
由上面两个例子可归纳出:
一般地,。
注:
这个关系对于正数、负数、零都成立。
求负数的立方根时,可以先求出这个负数的
绝对值的立方根,然后再确它的相反数。
三、应用:
例1、求下列各式的值:
(1)
(2)(3)
分析:
根据立方根的意义求解。
解:
(1)
(2)(3)
例2、求下列各式中的值:
分析:
此题的本质还是求立方根
(1)
(2)(3)
解:
(1)∵∴∴
(2)∵∴∴
(3)∵∴∴
例3、用计算器计算,,,,的值,你发现了什么?
并总结出来。
利用你前面发现的规律填空:
已知,则___,___。
分析:
在用计算器求立方根时按键顺序是:
、被开立方的数字、=,
这样即可显示出计算结果
解:
,,,,
由此发现:
一个数扩大或缩小1000倍时,它的立方根扩大或缩小10倍。
,。
四、随堂练习:
1、立方根等于本身的数是___,如果则___。
2、的立方根是____,的立方根是____。
3、已知的立方根是4,求的算术平方根。
4、已知,求的值。
5、比较大小:
(1)__,
(2)__,(3)3__
五、课堂小结
1.立方根和开立方的定义.
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同.
六、布置作业
课本第51页习题6.2第1、2、3题;
教学反思:
6.3.1实数
第一课时
【教学目标】
知识与技能:
1了解无理数和实数的概念以及实数的分类;
2知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法:
在数的开方的基础上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩充到实数的范围,从而总结出实数的分类,接着把无理数在数轴上表示出来,从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。
情感态度与价值观:
1通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用;
2敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点:
1了解无理数和实数的概念;
2对实数进行分类。
教学难点:
对无理数的认识。
【教学过程】
一、复习引入无理数:
利用计算器把下列有理数写成小数的形式,它们有什么特征?
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
即:
归纳:
任何一个有理数(整数或分数)都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,
反过来,任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习,我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数,
把无限不循环小数叫做无理数。
比如等都是无理数。
…也是无理数。
二、实数及其分类:
1、实数的概念:
有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类:
按照定义分类如下:
实数
按照正负分类如下:
实数
3、实数与数轴上点的关系:
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗?
活动1:
直径为1个单位长度的圆其周长为π,把这个圆放在数轴上,圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达另一个点,这个点的坐标就是π,由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
活动2:
在数轴上,以一个单位长度为边长画一个正方形,则其对角线的长度就是以原点为圆心,正方形的对角线为半径画弧,与正半轴的交点就表示,与负半轴的交点就是。
事实上通过这种做法,我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来,即数轴上有些点表示无理数。
归纳:
①实数与数轴上的点是一一对应的。
即没一个实数都可以用数轴上的点来表示;
反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
②对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
三、应用:
例1、下列实数中,无理数有哪些?
,,,,,,,π,。
解:
无理数有:
,,π
注:
①带根号的数不一定是无理数,比如,它其实是有理数4;
②无限小数不一定是无理数,无限不循环小数一定是无理数。
比如。
例2、把无理数在数轴上表示出来。
分析:
类比的表示方法,我们需要构造出长度为的线段,从而以它为半径画弧,与数轴正半轴的交点就表示。
解:
如图所示,
由勾股定理可知:
以原点为圆心,以长度为半径画弧,
与数轴的正半轴交于点,则点就表示。
四、随堂练习:
1、判断下列说法是否正确:
⑴无限小数都是无理数;
⑵无理数都是无限小数;
⑶带根号的数都是无理数;
⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数;
⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的所有的点都表示实数。
2、把下列各数分别填在相应的集合里:
,,,,,,,,。
3、比较下列各组实数的大小:
(1),
(2)π,(3)(4)
五、课堂小结
1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系.
六、布置作业
P57习题6.3第1、2、3题;
教学反思:
6.3.2实数
第二课时
【教学目标】
知识与技能:
1掌握实数的相反数和绝对值;
2掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法:
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,并通过例题和练习题加以巩固,适当加深对它们的认识。
情感态度与价值观:
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识,让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性,让学生充分感受数的不断发展。
教学重点:
1会求实数的相反数和绝对值;
2会进行实数的加减法运算;
3会进行实数的近似计算。
教学难点:
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。
【教学过程】
一、复习引入:
有理数的一些概念和运算性质运算律:
1、相反数:
有理数的相反数是。
2、绝对值:
当≥0时,,当≤0时,。
3、运算律和运算性质:
有理数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算,有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。
二、实数的运算:
1.实数的相反数:
数的相反数是。
2.一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
3、实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非负实数的开方运算,还有任意实数的开立方运算,在进行实数的运算中,交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。
三、应用:
例1、
(1)求的绝对值和相反数;
(2)已知一个数的绝对值是,求这个数。
解:
(1)因为,所以,
(2)因为,所以绝对值为的数是或。
例2、计算下列各式的值:
(1);
(2)。
分析:
运用加法的结合律和分配律。
解:
(1)
;
(2)
例3、计算:
(1)(精确到)
(2)(结果保留3个有效数字)
解:
(1)
;
(2)
。
四、随堂练习:
1、计算:
(1);
(2);
(3);(4)。
2、计算:
(1)(精确到0.01);
(2)(精确到十分位)。
3、在平面内有四个点,它们的坐标分别是
。
(1)依次连接,围成的四边形是一个什么图形?
(2)求这个四边形的面积。
(3)将这个四边形向下平移个单位长度,四个顶点的坐标变为多少?
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。
2、实数的相反数和绝对值的意义
六、布置作业
课本P57习题6.3第5、6、7题;
教学反思:
本章复习
本章的知识网络结构:
知识梳理
一.数的开方主要知识点:
【1】平方根:
1.如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:
。
因此:
2.当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;
3.当a>0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:
。
当a<0时,也即a为负数时,它不存在平方根。
例1.
(1)的平方是64,所以64的平方根是;
(2)的平方根是它本身。
(3)若的平方根是±2,则x= ;的平方根是
(4)当x时,有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?
这个正数是多少?
【算术平方根】:
1.如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:
“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。
特别规定:
0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质:
具有双重非负性,即:
。
3.算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:
。
例2.
(1)下列说法正确的是()
A.1的立方根是B.C.的平方根是D.0没有平方根;
(2)下列各式正确的是()
A.B.C.D.
(3)的算术平方根是。