高一数学重点零点问题的解题方法.docx

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高一数学重点零点问题的解题方法

课题

谈函数与方程（零点问题）的解题方法

——解题技能篇

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

（1）函数零点的定义

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．

（2）零点存在性定理（函数零点的判定）

若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）＜0，则在区间（a，b）内，函数y＝f（x）至少有一个零点，即相应方程f（x）＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解．

也可以说：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

[提醒]　此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

（3）几个等价关系

函数y＝f（x）有零点⇔方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与函数y＝0（即x轴）有交点．

推广：

函数y＝f（x）－g（x）有零点⇔方程f（x）－g（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）－g（x）的图象与y＝0（即x轴）有交点．

推广的变形：

函数y＝f（x）－g（x）有零点⇔方程f（x）＝g（x）有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）有交点．

1．函数的零点是函数y＝f（x）与x轴的交点吗？

是否任意函数都有零点？

提示：

函数的零点不是函数y＝f（x）与x轴的交点，而是y＝f（x）与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f（x）＝0有根的函数y＝f（x）才有零点．

2．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，一定有f（a）·f（b）<0吗？

提示：

不一定，如图所示，f（a）·f（b）>0．

3．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内，有f（a）·f（b）<0成立，那么y＝f（x）在（a，b）内存在唯一的零点吗？

提示：

不一定，可能有多个．

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

与x轴的交点

（x1，0），（x2，0）

（x1，0）

无交点

零点个数

2

1

0

对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：

1．函数零点的求解与所在区间的判断；

2．判断函数零点个数；

3．利用函数的零点求解参数及取值范围．

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断

1．（2015·温州十校联考）设f（x）＝lnx＋x－2，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

【解析】法一：

∵f

（1）＝ln1＋1－2＝－1＜0，f

（2）＝ln2＞0，∴f

（1）·f

（2）＜0，∵函数f（x）＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f（x）的零点所在的区间是（1，2）．

法二：

函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝lnx，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）．

【答案】B

2．（2015·西安五校联考）函数y＝ln（x＋1）与y＝

的图象交点的横坐标所在区间为（　　）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

【解析】函数y＝ln（x＋1）与y＝

的图象交点的横坐标，即为函数f（x）＝ln（x＋1）－

的零点，∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f

（1）＝ln2－1＜0，f

（2）＝ln3－

＞0，∴f（x）的零点所在区间为（1，2）．

【答案】B

3．函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间（n，n＋1）（n∈N）内，则n＝________．

【解析】求函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f

（2）＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f

（2）＜0，f（3）＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f（3）＞0，所以函数f（x）的零点位于区间（2，3）内，故n＝2．

【答案】2

4．（2015·长沙模拟）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　）

A．（a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内

C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞，a）和（c，＋∞）内

【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－b）（c－a）＞0，因此由零点的存在性定理知f（x）的零点位于区间（a，b）和（b，c）内．

【答案】A

5．（2014·高考湖北卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}

C．{2－

，1，3}D．{－2－

，1，3}

【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－3（－x）]＝－x2－3x．求函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点等价于求方程f（x）＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－

．

【答案】D

确定函数f（x）零点所在区间的方法

（1）解方程法：

当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．

（2）利用函数零点的存在性定理：

首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0．若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．

（3）数形结合法：

通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

1．已知函数f（x）＝

－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A．（0，1）　　　　　　B．（1，2）C．（2，4）D．（4，＋∞）

【解析】因为f

（1）＝6－log21＝6＞0，f

（2）＝3－log22＝2＞0，f（4）＝

－log24＝－

＜0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4）．

【答案】C

2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为（　　）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

【解析】法一：

方程log3x＋x＝3的根即是函数f（x）＝log3x＋x－3的零点，由于f

（2）＝log32＋2－3＝log32－1<0，f（3）＝log33＋3－3＝1>0且函数f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数．

∴函数f（x）的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为（2，3）．

法二：

方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为（2，3）．

【答案】C

3．（2015·武汉调研）设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f（x）＝

＋

＋

的两个零点分别位于区间（　　）

A．（－∞，λ1）和（λ1，λ2）内B．（λ1，λ2）和（λ2，λ3）内

C．（λ2，λ3）和（λ3，＋∞）内D．（－∞，λ1）和（λ3，＋∞）内

【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈（λ1，λ2）时，函数图象连续，且x→λ1，f（x）→＋∞，x→λ2，f（x）→－∞，所以函数f（x）在（λ1，λ2）上一定存在零点；同理当x∈（λ2，λ3）时，函数图象连续，且x→λ2，f（x）→＋∞，x→λ3，f（x）→－∞，所以函数f（x）在（λ2，λ3）上一定存在零点，故选B．

【答案】B

考向二、判断函数零点个数

1．已知函数f（x）＝

满足f（0）＝1，且f（0）＋2f（－1）＝0，那么函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．

【解析】∵f（0）＝1，∴c＝1，又∵f（0）＋2f（－1）＝0，∴f（－1）＝－1－b＋1＝－

，∴b＝

．∴当x＞0时，g（x）＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g（x）＝－x2＋

x＋1，令g（x）＝0得x＝－

或x＝2（舍去），

综上可知，g（x）＝f（x）＋x有2个零点．

【答案】　2

2．（2013·高考天津卷）函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

【解析】由f（x）＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0．5x|＝

x．

设g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝

x，在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f（x）有2个零点．

【答案】B

3．（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝

函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（　　）

A．2　　B．3

C．4D．5

【解析】分别画出函数f（x），g（x）的草图，观察发现有2个交点．

【答案】A

4．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log3|x|的零点个数是________．

【解析】由题意知，f（x）是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f（x）及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f（x）－log3|x|有4个零点．

【答案】4

判断函数零点个数的方法

（1）解方程法：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

（3）数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．（2015·淄博期末）函数f（x）＝x－ln（x＋1）－1的零点个数是________．

【解析】函数f（x）＝x－ln（x＋1）－1的零点个数，即为函数y＝ln（x＋1）与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln（x＋1）与y＝x－1的图象，如图，

由图可知函数f（x）＝x－ln（x＋1）－1的零点个数是2．

【答案】2

2．若定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2，函数g（x）＝

则方程f（x）－g（x）＝0在区间[－5，5]上的解的个数为（　　）

A．5B．7

C．8D．10

【解析】依题意得，函数f（x）是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象，

结合图象得，当x∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f（x）－g（x）＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．

【答案】C

考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围

1．（2014·合肥检测）若函数f（x）＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为（　　）

A．0B．－

C．0或－

D．2

【解析】当a＝0时，函数f（x）＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f（x）＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－

．综上，当a＝0或a＝－

时，函数仅有一个零点．

【答案】C

2．（2014·洛阳模拟）已知方程|x2－a|－x＋2＝0（a＞0）有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，4）B．（4，＋∞）

C．（0，2）D．（2，＋∞）

【解析】依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图，则

＞2，即a＞4．

【答案】B

3．已知函数f（x）＝log2x－

x，若实数x0是方程f（x）＝0的解，且0

A．恒为负B．等于零

C．恒为正D．不小于零

【解析】在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝

x的图象，由图象知f（x1）＜0．

【答案】A

4．（2014·高考江苏卷）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝

．若函数y＝f（x）－a在区间[－3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．

【解析】当x∈[0，3）时，f（x）＝

＝

，由f（x）是周期为3的函数，作出f（x）在[－3，4]上的图象，如图．

函数y＝f（x）－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f（x），x∈[－3，4]与y＝a的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象如图，可知当0＜a＜

时满足题意．

【答案】

5．（2015·湖北八校联考）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝

－a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（　　）

A．

∪

B．

∪

C．

∪

D．

∪

【解析】当0＜x＜1时，f（x）＝

－a＝－a；当1≤x＜2时，f（x）＝

－a＝

－a；当2≤x＜3时，f（x）＝

－a＝

－a；…．f（x）＝

－a的图象是把y＝

的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝

的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈

∪

．

【答案】A

已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用的方法：

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

1．（2015·莱芜一模）已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）

A．

，0　　　　　　　　　B．－2，0

C．

D．0

【解析】当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，解得x＝

，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f（x）的零点只有0．

【解析】D

2．已知函数f（x）＝

若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

【解析】画出f（x）＝

的图象，如图．

由函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，结合图象得：

0＜m＜1，即m∈（0，1）．

【答案】（0，1）

3．已知函数f（x）＝

有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

【解析】要使函数f（x）有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一根，此时0＜a≤1；当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根，即方程x2－3ax＋a＝0有2个不等正实根，于是

∴a＞

，故

＜a≤1．

【答案】

必记结论　有关函数零点的结论

（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

1．（2015·高考安徽卷）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A．y＝cosxB．y＝sinx

C．y＝lnxD．y＝x2＋1

【解析】y＝cosx是偶函数，且存在零点；y＝sinx是奇函数；y＝lnx既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．

【答案】A

2．函数f（x）＝2x－

－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，3）B．（1，2）

C．（0，3）D．（0，2）

【解析】由题意知f

（1）·f

（2）＜0，即a（a－3）＜0，∴0＜a＜3．

【答案】C

3．（2016·东城期末）函数f（x）＝ex＋

x－2的零点所在的区间是（　　）

A．

B．

C．（1，2）D．（2，3）

【解析】∵f

＝

－

＜

－

＜0，f

（1）＝e－

＞0，∴零点在区间

上．

【答案】B

4．（2014·昆明三中、玉溪一中统考）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　）

A．

B．（－∞，－1）∪

C．

D．（－∞，－1）

【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f

（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞

．

【答案】B

5．f（x）是R上的偶函数，f（x＋2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则函数y＝f（x）－|log5x|的零点个数为（　　）

A．4B．5C．8D．10

【解析】由零点的定义可得f（x）＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．

【答案】B

6．（2014·开封模拟）偶函数f（x）满足f（x－1）＝f（x＋1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋1，则关于x的方程f（x）＝lg（x＋1）在x∈[0，9]上解的个数是（　　）

A．7B．8C．9D．10

【解析】依题意得f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与y＝lg（x＋1）的图象（如图所示），

观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0，9]时，方程f（x）＝lg（x＋1）的解的个数是9．

【答案】C

7．（2014·南宁模拟）已知函数f（x）＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．

【解析】∵f

（2）＝ln2＋6－8＝ln2－2<0，f（3）＝ln3＋9－8＝ln3＋1>0，且函数f（x）＝lnx＋3x－8在（0，＋∞）上为增函数，∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3．∴a＋b＝5．

【答案】5

8．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（－x＋2）＝f（－x），当x∈[－1，1]时，f（x）＝|x|，则y＝f（x）与y＝log7x的交点的个数为________．

【解析】因为f（－x＋2）＝f（－x），所以y＝f（x）为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝f（x）和y＝log7x的图象如图，

当x＝7时，f（7）＝1，log77＝1，故y＝f（x）与y＝log7x共有6个交点．

【答案】6

9．若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝f（x）且x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2；函数g（x）＝lg|x|，则函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．

【解析】函数y＝f（x）以2为周期，y＝g（x）是偶函数，画出图象可知有8个交点．

【答案】8

10．（2015·高考湖南卷）已知函数f（x）＝

若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，则a的取值范围是________．

【解析】令φ（x）＝x3（x≤a），h（x）＝x2（x＞a），函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象（图略）可得a＜0或φ（a）＞h（a），即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）．

【答案】（－∞，0）∪（1，＋∞）

1．（2014·高考山东卷）已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A．

　　　B．

C．（1，2）D．（2，＋∞）

【解析】先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，

当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为

，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的范围为

．

【答案】B

2．若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．

C．（1，＋∞）D．（0，1）

【解析】函数f（x）＝ax－x－a（a＞0且a≠1）有两个零点，就是函数y＝ax（a＞0且a≠1）与函数y＝x＋a（a＞0且a≠1）的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax（a＞1）的图象与y轴交于点（0，1），而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点（0，1）的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1．

【答案】C

3．（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝

函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R．若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

【解析】函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，即方程f（x）－g（x）＝0，即b＝f（x）＋f（2－x）有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点．又y＝f（x）＋f（2－x）＝

作出该函数的图象如图所示，由图可得，当

＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）有4个交点．

【答案】D

4．已知函数f（x）满足f（x）＋1＝

，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（－1，1]内，函数g（x）＝f（x）－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．

　　　　　B．

C．

D．

【解析】当x∈（－1，0]时，x＋1∈（0，1]．因为函数f（x）＋1＝

，所以f（x）＝

－1＝

－1＝－

.即f（x）＝

函数g（x）＝f（x）－mx－m在区间（－1，1]内有两个零点等价于方程f（x）＝m（x＋1）在区间（－1，1]内有两个根，令y＝m（x＋1），在同一坐标系中画出函数y＝f（