届高三数学高考真题与模拟题分类汇编 计数原理概率与统计.docx
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届高三数学高考真题与模拟题分类汇编计数原理概率与统计
2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编
计数原理、概率与统计
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（ ）
A．20B．16C．15D．14
答案 D
解析 高三年级的人数是×50＝14（人）．故答案为D.
2．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8
答案 C
解析 ∵甲组数据的中位数为15，
∴x＝5，乙组数据的平均数为16.8，
∴＝16.8，
∴y＝8，选C.
3．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是（ ）
A．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
B．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C．线性回归直线＝x＋必过点（，）
D．对于任意两个事件A和B，都有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
答案 D
解析 对于A，根据概率的定义可得，若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故A正确；对于B，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B正确；对于C，线性回归直线＝x＋必过点（，），故C正确；对于D，对于任意两个事件A和B，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），只有当事件A和B是互斥事件时，才有P（A∪B）＝P（A）＋P（B），故D不正确．故选D.
4．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：
30,8：
00,8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为.
5．[2016·吉大附中一模]两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A＝{至少有一枚骰子6点向上}，B＝{两枚骰子都是6点向上}，则P（B|A）＝（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 至少有一枚骰子6点向上的概率为1－×＝，两枚骰子都是6点向上的概率为×＝，故至少有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是＝.故选D.
6．[2016·全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24B．18C．12D．9
答案 B
解析 由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
7．[2016·河北名校联考]菜市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至16时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为（ ）
A．120万元B．100万元C．80万元D．60万元
答案 D
解析 该商场11月11日8时至22时的总销售额为＝200万元，所以10时至12时的销售额为200×（0.150×2）＝60万元，故选D.
8．[2017·四川巴中质检]正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部基本事件构成的区域为符合题意的区域为
如右图所示，由几何概型可知，所求概率为P＝1－＝，故答案为D.
9．[2016·浙江重点高中模拟]（1－x2）45的展开式中的系数为（ ）
A．5B．11C．－21D．－29
答案 D
解析 （1－x2）45＝（1－x2）45，
（1－x2）45的展开式中的x－1的系数是以下几部分的和；
（1－x2）4的常数项与5的展开式中含x－1的系数的乘积；
（1－x2）4含x2项的系数与5的展开式中含x－3的系数的乘积；
（1－x2）4含x4项的系数与5的展开式中含x－5的系数的乘积．
∵（1－x2）4、5的展开式的通项分别为Tr＋1＝C（－x2）r，Tk＋1＝Ck，
∴（1－x2）45的展开式中x－1的系数为CC－CC＋CC＝－29.
10．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 设由构成的正方形的面积为S，x＋y<1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝，故选C.
11．[2016·河北模拟]袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（ ）
A．0.0324B．0.0434C．0.0528D．0.0562
答案 B
解析 第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，所以第4次恰好取完所有红球的概率为：
×2×＋×××＋2××＝0.0434，故选B.
12．[2016·武邑中学强化训练]已知5－5的展开式中含x2与x3的项的系数的绝对值之比为1∶6，则a2＋b2的最小值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
答案 C
解析 5－5的展开式中含x2项的系数为C3a2－C3b2＝，
含x3的项的系数为C2a3－C2b3＝10（a－b），则由题意，得＝，即|ab|＝6，则a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|ab|＝12，故选C.
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．[2017·山西四校联考]已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x2＋2x＋ξ＝0有实数解的概率为，若P（ξ≤2）＝0.75，则P（0≤ξ≤2）________．
答案 0.5
解析 ∵方程x2＋2x＋ξ＝0有实数解的概率为，
∴P（Δ≥0）＝，即P（ξ≥1）＝，故正态曲线的对称轴是x＝1，如图，∵P（ξ≤2）＝0.75，∴P（ξ≤0）＝0.25.∴P（0≤ξ≤2）＝1－（0.25＋0.25）＝0.5.
14．[2017·河南郑州质检]在区间[0,1]内任取三个数，则这三个数的平方和小于1的概率是________．
答案
解析 记这三个数分别为x，y，z，则0≤x≤1,0≤y≤1，0≤z≤1.在空间直角坐标系中点（x，y，z）构成在第一卦限的单位正方体，{（x，y，z）|x2＋y2＋z2<1}表示的单位球体在第一卦限的部分的体积是×π＝.故所求的概率是.
15．[2016·安庆二模]将3展开后，常数项是________．
答案 －160
解析 展开后的通项是CCxm·n·（－4）3－m－n，当m＝n时为常数．
于是CCxm·n·（－4）3－m－n＝CCxm·m·（－4）3－2m.
若m＝0，则（－4）3＝－64；若m＝1，则CC·4·（－4）＝－96.
故常数项是－64－96＝－160.
或：
3＝6展开后的通项是
C（）6－k·k＝（－2）kC（）6－2k.
令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C（－2）3＝－160.
16．[2017·安徽四校联考]甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为________．
答案 64
解析 5日到9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种．第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2＝4种．第二类不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2＝4种，共计4＋4＝8种．根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64种．故填64.
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．[2016·湖北八校联考]（本小题满分10分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：
（平均每天锻炼的时间单位：
分钟）
平均每天锻炼的时间（分钟）
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均课外体育运动时间在[40,60）上的学生评价为“课外体育达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
女
20
110
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
参考公式：
K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解
（1）
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
（3分）
K2＝＝≈6.060<6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（5分）
（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，
∴X～B，
∴E（X）＝3×＝，D（X）＝3××＝.（10分）
18．[2016·南开中学月考]（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：
小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．
（1）图中a的值为________；
（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时间；
（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解
（1）由频率分布直方图的性质得：
（a＋0.0875＋0.1＋0.125＋0.15）×2＝1，计算得a＝0.0375.（2分）
（2）由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：
＝3×0.05＋5×0.15＋7×0.35＋9×0.35＋11×0.1＝7.6（小时）．（6分）
（3）因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为＝40（人），故甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间（10,12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．
乙班学习时间在区间（10,12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．（8分）
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（12分）
19．[2016·云南师大附中月考]（本小题满分12分）某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．
（1）设所选3人中女教师的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．
解
（1）X的所有可能取值为0,1,2,3，
且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（6分）
故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（8分）
（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
所以P（B|A）＝＝.（12分）
20．[2017·湖北黄冈期末]（本小题满分12分）菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：
千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：
微克）的统计表：
x
1
2
3
4
5
y
58
54
39
29
10
（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y是正相关还是负相关？
（2）若用解析式＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量x的回归方程，令ω＝x2，计算平均值和，完成以下表格，求出与x的回归方程．（c，d精确到0.1）
ω
1
4
9
16
25
y
58
54
39
29
10
ωi－
yi－
（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？
（精确到0.1，参考数据≈2.236）
（附：
线性回归方程＝x＋中系数计算公式分别为：
＝，＝－.）
解
（1）作出散点图如下图：
由散点图可以知道变量x与y负相关；（3分）
（2）＝＝11，＝＝38
ω
1
4
9
16
25
y
58
54
39
29
10
ωi－
－10
－7
－2
5
14
yi－
20
16
1
－9
－28
c＝＝－＝－2.008≈－2.0，
d＝－c＝38＋2.0×11＝60.0，＝－2.0ω＋60.0＝－2.0x2＋60.0.（8分）
（3）当<20时，－2.0x2＋60.0<20，x>2≈4.5
∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克的蔬菜．（12分）
21．[2017·湖南长沙模拟]（本小题满分12分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图（如图）．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数（按这个月总共30天计算）；
（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
解
（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝，从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18.（4分）
（2）由
（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.（5分）
P（ξ＝0）＝3＝，P（ξ＝1）＝C2＝，
P（ξ＝2）＝C2＝，
P（ξ＝3）＝3＝，故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
（9分）
显然ξ～B，（11分）
E（ξ）＝3×＝1.8.（12分）
22．[2017·河南质监]（本小题满分12分）小李参加一种红包接龙游戏：
他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的帐户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．
（1）求A恰好获得4元的概率；
（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；
（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．
解
（1）A恰好获得4元的概率为××＝.（2分）
（2）X的可能取值为0,4,6,12，
P（X＝4）＝，P（X＝0）＝××＝，
P（X＝6）＝×＝，P（X＝12）＝，（5分）
所以X的分布列为：
X
0
4
6
12
P
（6分）
（3）Y的可能取值为0,4,6；Z的可能取值为0,4.
因为P（Y＝0）＝＋××＝，
P（Y＝4）＝××＝，
P（Y＝6）＝×＝，（8分）
P（Z＝0）＝＋×＋××＝，
P（Z＝4）＝××＝，（9分）
所以E（Y）＝0×＋4×＋6×＝，E（Z）＝0×＋4×＝，
所以E（Y）＋E（Z）＝，
又E（X）＝0×＋4×＋6×＋12×＝，（11分）
由于E（X）>E（Y）＋E（Z），所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．（12分）
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