第六章 四边形.docx

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第六章四边形

四边形

一、四边形

1：

定义

四边形：

在同一平面内由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形

强调：

必须“在同一平面内”

2：

四边形的表示：

按照一定的顺序，用各个顶点的字母来表示，

3：

凸四边形：

把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边也都在延长所得直线的同旁，这样的四边形叫做凸四边形。

4：

四边形的对角线：

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

5：

四边形的内角：

四边形相邻两边所组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角。

二、四边形内角和定理

四边形内角和等于360°

三、四边形的外角和定理

1、四边形的外角：

四边形的角的一边与另一边的延长线所组成的角叫做四边形的外角。

四边形的外角与它有公共顶点的内角互为邻补角

2：

定理：

四边形的外角和等于360°

四、四边形具有不稳定性

四边形的不稳定性在实际生活中有时要克服，有时要利用。

二;平行四边形

1:

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2:

平行四边形性质：

（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三,菱形

1；菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2：

菱形的性质：

边：

四条边都相等，对边分别平行

角：

对角线相等

对角线：

互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角.

3：

菱形的判定：

（1）．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）．四条边都相等的四边形是菱形

（要注意的是：

菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形.）

菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等.所以菱形是具备：

“①平行四边形，②一组邻边相等”.这两个条件的四边形.

（菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直.）

四，矩形

1：

定义：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

2：

矩形的性质

（1）矩形的四个角都是直角.

矩形的对边平行且相等；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形.

归纳矩形的判别方法：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

对角线相等的平行四边形是矩形.

五，正方形

1：

定义：

有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

2：

正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，

所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质

正方形性质定理1：

正方形的四个角都是直角，四条边平行相等。

正方形性质定理2：

正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

六梯形

底

1、梯形：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

高

腰

腰

一些基本概念（如图）：

底、腰、高。

底

2、等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3、直角梯形：

一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

4：

等腰梯形性质①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。

②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。

怎样判定等腰梯形呢？

我们这节课就来探讨等腰梯形的判定.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.

求证：

梯形ABCD是等腰梯形.

法一：

证明：

把腰DC平移到AE的位置，这时，四边形AECD是平行四边形，则AE∥CD.

AE=CD，因为AE∥CE，所以∠AEB=∠C

又因为∠B=∠C，所以∠AEB=∠B

由在一个三角形中，等角对等边，得

AB=AE，所以AB=CD

因此梯形ABCD是等腰梯形.

法二：

还可以作梯形ABCD的高AE、DF，如图，因为梯形的上、下两底平行，即AD∥BC.所以由平行线间的垂线段处处相等，得AE=DF.

又因为∠AEB=90°，∠DFC=90°，则：

∠AEB=∠DFC，又因为∠B=∠C

所以Rt△ABE≌△Rt△DCF

因此得：

AB=DC

所以由定义可知：

梯形ABCD是等腰梯形.

由此可知：

1.要判定一个四边形是等腰梯形，一般是先判定这个四边形是梯形，然后再用定义，即“两腰相等的梯形”或“同一底上的两个内角相等”来判定它是等腰梯形.

2.判定一个四边形是梯形时，要判定一组对边平行，而另一组对边不平行或判定一组对边平行但不相等.

1.等腰梯形与等腰三角形有哪些联系？

答：

延长一个等腰梯形的两腰，可以得到一个等腰三角形；过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线，可以得到一个等腰梯形.

2.有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗？

为什么？

答：

是等腰梯形.理由是：

这两个70°的内角的位置仅有三种可能：

①相邻：

顶点是同一条腰的两个端点；②相邻：

顶点是同一底边的两个端点.③相对.

当顶点是一条腰的两个端点时，两个角应该是互补的；两角相对时，可以推得此时的四边形是平行四边形.因此，这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角，因此这个梯形是等腰梯形.

七多边形

1：

多边形的定义：

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：

①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图

（2））图

（1）的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：

组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：

每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

对角线：

在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

内角：

多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.

如图

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。

（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n－3）条对角线，这时n边形被分割成（n－2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n－2）·180°）

1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：

正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.

2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.

1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

3.正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

1．.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：

一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.

2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：

矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.

3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n－2）·180°,所以，正n边形的每个内角为：

·180°.

因此，正三角形的内角是：

；

正方形的内角是：

·180°=90°

那什么是多边形的外角、外角和呢？

我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角.另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.

一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角.

那多边形的外角和是多少呢？

我们来回忆一下：

三角形的外角和为多少？

（360°）

刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：

如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？

（学生讨论，得出结论）

（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）

那么能不能由此得出：

多边形的外角和都等于360°呢？

能得证吗？

因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°,因此，外角和为：

n·180°－（n－2）·180°=360°.

性质：

多边形的外角和都等于360°

由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.下面大家来想一想、议一议：

利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？

（因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°）.

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：

这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.

（让学生动手解答）

解：

设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°,外角和等于360°，所以：

（n－2）·180°=3×360°

解得：

n=8

这个多边形是八边形.

2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？

为什么？

解：

这种正多边形是正六边形，理由是：

设：

这个正多边形的一个内角为x°，

则由题图得：

3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：

n×120°=（n－2）×180°.解得n=6

八平面图形的密铺

平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：

各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：

（1）用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？

（2）用同一种四边形可以密铺吗？

用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.

（3）在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？

它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

（4）在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？

（学生动手制作、教师强调：

大家要注意：

三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.）

（学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导）

1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.

从用三角形密铺的图案中，观察到：

每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角（其中有三组分别相等），它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.

2．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：

每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.

3．从拼接活动中，我们知道了：

要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.

通过探索活动，我们得知：

用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？

下面大家来想一想，议一议：

（1）正六边形能否密铺？

简述你的理由.

（2）分析如下图，讨论正五边形不能密铺.

（3）还能找到能密铺的其他正多边形吗？

（学生分析、讨论、归纳）

小节：

要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：

这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：

在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.

试一试：

同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？

用硬纸板为材料进行实验.答案：

可以密铺

（1）正三角形与正方形

正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：

60x+90y=360

即：

2x+3y=12

又x、y是正整数

解得：

x=3,y=2

即：

每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.（如下图）

（2）正三角形与正六边形

正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：

60x+120y=360°

即x+2y=6

x、y是正整数

解得：

即：

每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图.

（3）正三角形和正十二边形

与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形

由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.

结论：

由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

（1）n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°;

（2）n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.

1.如图，在一个正方形的内部按图示

（1）的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图

（2）所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？

说说理由.

2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？

根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.

答案：

可以密铺.

九中心对称图形

1、对特殊的旋转的定义

定义：

在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

对比轴对称图形与中心对称图形：

（列出表格，加深印象）

轴对称图形

中心对称图形

有一条对称轴——直线

有一个对称中心——点

沿对称轴对折

绕对称中心旋转180O

对折后与原图形重合

旋转后与原图形重合

下面哪个图形是中心对称图形？

2、探讨研究中心对称图形的的性质：

在轴对称中，如等腰梯形ABCD中,OP为对称轴，

则点A与点D是一对对应点，那么A、D两点

连线与对称轴的关系为：

被对称轴垂直且平分

提出问题：

左图是一幅中心对称图形，请你找出点A绕点O旋转180O

后的对应点B,点C的对应点D呢？

你是怎么找的？

现在你能很快地找到点E的对应点F吗？

从上面的操作过程，你能发现中心对称图形上的一对对应点与

对称中心的关系吗？

即：

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

3、做一做（提出问题）

（1）猜想：

平行四边形是中心对称图形吗？

如果是，对称中心是什么？

（引导学生思考、猜想结论）演示动画。

巩固学生对平行四边形中心对称性的理解。

得出结论：

平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点。

巩固知识：

正方形是中心对称图形吗？

正方形绕两条对角线的交点旋转多少度能与原来的图形重合？

能由此验证正方形的一些特殊性质吗？

4、想一想（再次深入研究讨论。

）

（1）三角形是中心对称图形吗？

（2）正五边形是中心对称图形吗？

（3）正六边形是中心对称图形吗？

（4）除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？

归纳：

中心对称的图形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。

数学源于生活，服务于生活，那么在生活中有那些中心对称图形的例子？

十相似多边形的性质

1：

所有对应边都成比例

2：

所有对应角度都相等

3：

相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方.

十一总结几种特殊四边形的性质：

一、四边形与特殊四边形的关系