与图形旋转有关的问题.docx
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与图形旋转有关的问题
与函数相联系的图形旋转问题举例
图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。
其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题,来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。
一、与一次函数相联系的图形旋转问题
A.三角形作旋转
例1(06沈阳).如图1-①,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点A在第二象限内,点B、点C在x轴的负半轴上,∠CAO=30°,OA=4。
(1)求点C的坐标;
(2)如图1-②,将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置,其中A’C交直线OA于点E,A’B’分别交直线OA、CA于点F、G,则除△A’B’C≌△AOC外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案;(不再另外添加辅助线)
(3)在
(2)的基础上,将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转,当△COE的面积为
时,求直线CE的函数表达式。
分析:
(1)要求点C的坐标只需求出OC长即可;
(2)根据旋转性质:
旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形;(3)问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”,所以“当△COE的面积为
时”要注意多解。
解:
(1)
在
中,
,
.
点的坐标为
.
(2)
,
,
.
(3)如图1-③,过点
作
于点
.
,
.
∵在
中,
,
,
.
∵点
的坐标为
.直线
的
.
同理,如图1-④所示,点
的坐标为
.
设直线
.
例2(08金华)如图2,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(
0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图2-① 图2-②
分析:
(1)要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可,点A坐标已知,由已知△AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标;
(2)因为△ABD是由△AOP旋转而得到的,易证△ADP是等边三角形,所以DP的长即为AP的长;求点D坐标,一般可过点D作DH⊥x轴于点H,但此题不易直接求得线段OH、DH的长,因而可过点B作BG⊥DH于点G,并反向延长BG交y轴于点
K.(3)由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为(t,0),所以分当t>0、
<t≤0、t≤
时三种情况讨论。
解:
(1)如图2-③,过点B
作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得BF=OE=2,OF=
=
∴点B的坐标是(
,2)设直线AB的解析式是y=kx+b,
则有
解得
∴直线AB的解析式是y=
x+4
(2)如图2-④,∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP,∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴DP=AP=
.……(2分)
如图,点B作BG⊥DH于点G,并反向延长BG交y轴于点K.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD·cos60°=
×
=
. DG=BD·sin60°=
×
=
.
∴OH=KG=
DH=
∴点D的坐标为(
)
(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
.
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①t>0时,如图2-⑤,BD=OP=t,DG=
t,
∴DH=2+
t.∵△OPD的面积等于
,∴
,
解得
(舍去).∴点P1的坐标为(
0)
②当
<t≤0时,如图2-⑥,BD=OP=-t,BG=-
t,
∴DH=GF=2-(-
t)=2+
t.∵△OPD的面积等于
,
∴
,解得
.
∴点P2的坐标为(
0),点P3的坐标为(
0).
③当t≤
时,如图,BD=OP=-t,DG=-
t,
∴DH=-
t-2.
∵△OPD的面积等于
,∴
,
解得
(舍去),
∴点P4的坐标为(
0)
综上所述,点P的坐标分别为P1(
0)、P2(
0)、P3(,0)、P4(
0)
B.角作旋转
例3(06南通) 如图3-①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点为,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60°.
(1)求直线CB的解析式;
(2)求点M的坐标;
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α (30°<α<60°)后,得到∠D1MC1(点D1,C1依次与点D,C对应),射线MD1交直线DC于点E,射线MC交直线CB于点F ,设DE=m,BF=n.求m与n的函数关系式.
图3-①
分析:
(1)要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可;求点C坐标只需过点C作CG⊥x轴于点G。
(2)求点M的坐标只需求出线段OM的长度,由△ODM∽△BMC 即可求得。
(3)由于∠DMC绕点M顺时针旋转,点M有两种情况,因而需分情况讨论。
解:
(1)BC解析式:
y=
(2)略证△ODM∽△BMC
设OM=x,2×2=x(5-x),x=1或4M(1,0)或(4,0)
(3)当M(1,0)时,△DME∽△CMF,
CF=2+n,DE=m,∴2+n=2m,即m=1+
当M(4,0) 时
∴m=2(2-n),即m=4-2n
图3-② 图3--③
二、与反比例函数相联系的图形旋转问题
A.矩形旋转
例4(06吉林.如图4-①,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在
轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.
(1)判断△OGA和△OMN是否相似,并说明理由;
(2)求过点
的反比例函数解析式;
(3)设
(2)中的反比例函数图象交EF于点B,求直线AB的解析式;
(4)请探索:
求出的反比例函数的图象,是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由.
分析:
(1)由∠OGA=∠OMN=90度,∠AOG=∠AOG易知
;
(2)求过点
的反比例函数解析式只需求出点A坐标,因为矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP,所以OM=OE=4,OG=EF=MN=2,又
,所以求AG的长即可;(3)由点B横坐标为4,根据
(2)中结论易求点B坐标,即可求出直线AB的解析式;(4)看矩形OEFG的对称中心(4,1)是否满足
(2)中所求解析式即可。
解:
(1)
.
(2)由
(1)得
.
(3)
.
(4)设矩形OEFG的对称中心为Q,则点Q坐标为(2,1).把
代入
,得
.
反比例函数的图象经过矩形
的对称中心.
B.三角形旋转
例5(06天门))如图5-①,边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上,B点位于第一象限。
将△OAB绕点O顺时针旋转30°后,恰好点A落在双曲线
上。
(1)求双曲线
的解析式;
(2)等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后,A点再次落在双曲线上?
图5-①
分析:
(1)根据题意,只需求出△OAB绕点O顺时针旋转30°后点A1坐标即可(过A1作A1C⊥X轴于C,由直角△OA1C中∠A1OC=30度,OA1=OA=2求出OC、CA1);
(2)可设A点次落在双曲线的A2处坐标为(a,
),然后过A2作A2D⊥y轴于D,在直角△OA1D中利用勾股定理求出a的值,再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。
解:
(1)设旋转30°后,A点到A1,过A1作A1⊥X于C,在直角△OA1C中,得OC=
,AA1=1,
所以A1(
,-1),所以反比例函数的解析式为y=
(2)设A点次落在双曲线的A2处,设A2(a,
),过A2作A2⊥y于D,
在直角△OA1D中,则a2+
解得a1=1
a2=
(舍),所以
∠A2OD=
∠A2OD=30°所以∠A1OA2=30°
继续按顺时针旋转30°后,A点再次落在双曲线上。
例6.(08义乌)已知:
等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6-①,点A的坐标为(
),点B的坐标为(-6,0).
(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O
,请直接写出A、B的对称点
的坐标;
(2)若将三角形
沿x轴向右平移a个单位,此时点A恰好落在反比例函数
的图像上,求a的值;
(3)若三角形
绕点O按逆时针方向旋转
度(
).
①当
=
时点B恰好落在反比例函数
的图像上,求k的值.
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上,若能,求出
的值;若不能,请说明理由.
分析:
(1)关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数,纵坐标不变,所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点
的坐标;
(2)三角形
沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变,由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标,即可求出a的值;
(3)当
=
时,易求点B坐标即可求k的值。
解:
(1)
(2)∵
∴
∴
∴
(3)①∵
∴相应B点的坐标是
∴
②能当
时,相应
点的坐标分别是
,
经检验:
它们都在
的图像上∴
C.直线旋转
例7(06北京)在平面直角坐标系
中,直线
绕点
顺时针旋转
得到直线
.直线
与反比例函数
的图象的一个交点为
,试确定反比例函数的解析式.
分析:
由直线
绕点
顺时针旋转
得到直线
,易知直线
的解析式为
,
由图象的意义易求出点A的坐标,即可求出反比例函数的解析式。
解:
依题意得,直线
的解析式为
. 因为
在直线
上,
则
.即
.又因为
在
的图象上,
又因为
在
的图象上可求得
.所以反比例函数的解析式为y=
例8.(07福州)如图8-①,
已知直线L:
与双曲线
交于
两点,且点
的横坐标为4.
(1)求
的值;
(2)若双曲线
上一点
的纵坐标为8,求
的面积;
(3)直线
绕点O旋转与交双曲线
于
两点(
点在第一象限),若由点
为顶点组成的四边形面积为
,求点
的坐标.
分析:
(1)由图象意义根据直线L、点
的横坐标为
易求点A坐标,继而求出
的值;
(2)由点
的纵坐标为8,可求点
坐标,求
的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差:
可过点C、A分别作
轴的垂线,垂足为E、F,所以
的面积=△OEC的面积+梯形AFEC-△AOF的面积;
(3)可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。
因为不与点A重合因而分0<
<4和
>4讨论,由于
为顶点组成的四边形是平行四边形,因而由所给面积可求点P坐标。
解:
(1)∵点A横坐标为4, ∴当
=4时,
=2. ∴点A的坐标为(4,2).
∵点A是直线
与双曲线
(k>0)的交点, ∴k=4×2=8.
(2)解:
如图8-②,过点C、A分别作
轴的垂线,垂足为E、F,
∵点C在双曲线
上,当
=8时,
=1.
∴点C的坐标为(1,8).图8-②
∵点C、A都在双曲线
上,
∴S△COE=S△AOF=4。
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=
×(2+8)×3=15, ∴S△COA=15.
(3)①当L绕点O逆时针旋转时∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB.
∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=
S平行四边形APBQ=
×24=6.
设点P的横坐标为
(
>0且
),得P(
).
过点P、A分别作
轴的垂线,垂足为E、F,
∵点P、A在双曲2线上,∴S△POE=S△AOF=4. 则0<
<4,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.图8--③
∴
.解得
=2,
=-8(舍去).∴P(2,4).
②当L绕点O顺时针旋转时,则
>4,如图8-④,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴S梯形PEFA=S△POA=6. ∴
,
解得
=8,
=-2(舍去). ∴P(8,1).
∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
三、与二次函数相联系的图形旋转问题
A.矩形旋转
例9(08沈阳).如图9-①所示,在平面直角坐标系中,矩形
的边
在
轴的负半轴上,边
在
轴的正半轴上,且
,
,矩形
绕点
按顺时针方向旋转
后得到矩形
.点
的对应点为点
,点
的对应点为点
,点
的对应点为点
,抛物线
过点
.
(1)判断点
是否在
轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在
轴的上方是否存在点
,点
,使以点
为顶点的平行四边形的面积是矩形
面积的2倍,且点
在抛物线上,若存在,请求出点
,点
的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:
(1)连接AO,由
,
,易求得
,因为矩形
绕点
按顺时针方
向旋转
后得到矩形
,所以
,因而确定点
在
轴上;
(2)求抛物线的函数表达式,只需求点
三点坐标;(3)点
必须满足在
轴的上方和在抛物线上两个条件;此平行四边形顶点没有顺序,因而需分情况讨论:
以
为顶点的平行四边形面积为
.由题意可知
为此平行四边形一边,点
,点
的位置可以调换;由面积关系可求得OB边上的高为2,所以可求出点P坐标,从而求出点Q的坐标。
解:
(1)点
在
轴上,理由如下:
连接
,如图9-②所示,
在
中,
,
,
,
由题意可知:
∵点
在
轴上,∴点
在
轴上.
(2)过点
作
轴于点
,
在
中,
,
∵点
在第一象限,∴点
的坐标为
由
(1)知
,点
在
轴的正半轴上 ∴点
的坐标为
∴点
的坐标为
∵抛物线
经过点
,
由题意,将
,
代入
中得
解得
∴所求抛物线表达式为:
(3)存在符合条件的点
,点
.理由如下:
∵矩形
的面积
∴以
为顶点的平行四边形面积为
.
由题意可知
为此平行四边形一边,又
边上的高为2
依题意设点
的坐标为
∵点
在抛物线
上
解得,
,
,
∵以
为顶点的四边形是平行四边形,
,
,
∴当点
的坐标为
时,点
的坐标分别为
,
;
当点
的坐标为
时,
点
的坐标分别为
,
.
例10.(08吉林).如图10-①,在平面直角坐标系中,矩形
的顶点
、
.将矩形
绕原点
顺时针方向旋转
,得到矩形
.设直线
与
轴交于点
、与
轴交于点
,抛
物线经过点
、
、
.解答下列问题:
(1)设直线
表示的函数解析式为
,求
;
(2)求抛物线表示的二次函数的解析式;
(3)在抛物线上求出使
的所有点
的坐标.
分析:
(1)求直线
表示的函数解析式只需求出点B、B’坐标即可;
(2)求抛物线表示的二次函数的解析式只需求得点
和直线
交
轴、
轴的两点
、
坐标即可;(3)由
易求出点
到
的距离为2.则
点的纵坐标为3或
.代入二次函数的解析式即可求出点
的坐标。
解:
(1)∵四边形
是矩形,
.根据题意,得
.把
,
代入
中,
解得
.
(2)由
(1)得
,
.
设二次函数解析式为
,把
代入得,
解得
∴二次函数解析式为
.
(3)
,
.
又
,∴点
到
的距离为2.则
点的纵坐标y为3或-1.
当
时,
,即
.解得
.
.
当
时,
,即
.解得
.
.
点坐标
,
.
例11(06吉林).如图11-①,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图11-①).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是_____________;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图11--②).请探究:
经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
图11-① 11-②
分析:
(1)当α=60°时,易求得∠BCD=60°,由于矩形COAB绕点C顺时针旋转α角得到矩形CFED所以BC=CD,所以△CBD的形状是等边三角形;
(2)求直线FC的解析式只需知道点C、点H坐标即可,由AH=HC及直角三角形BHC、A(0,4),C(6,0)即可求得点H坐标;(3)求出经过点D,且以点B为顶点的抛物线解析式,看点M坐标是否满足抛物线解析式。
解:
(1)等边三角形.
(2)设
,
,即
,
解得
. .
.
(3)
(或
).
依题可得,点
坐标为
,把
代入
,
得
.∴抛物线经过矩形
的对称中心
.
B. 三角形旋转
例12.(07绍兴)如图12-①,在平面直角坐标系中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1,
).将
绕AC的中点旋转1800,点O落到点B的位置.抛物线
经过点A,点D是该抛物线的顶点.
(1)求点B坐标;
(2)若点P是线段OA上一点,且
,求点P的坐标;
(3)若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上.写出点P的坐标(直接写出答案即可).
分析:
(1)因为抛物线
经过点A(2,0),所以a值可求;由
条件知OABC为平行四边形,所以点C纵坐标即为点B纵坐标,即可求出点B坐标;
(2)要求点P的坐标,只需求出OP的长,而由D、A、B坐标易求∠OAD=∠AOB=60O,再由
可证△APD∽△OAB即可求出OP的长。
(3)由于A、D两点为定点所以线段AD既可以作为平行四边形的一边又可以作为对角线进行分类讨论。
解:
(1)
=0
又由条件知OABC为平行四边形,
=
=
,
=3
(2)
∠OAD=
,
∠AOB=
,
∴∠OAD=∠AOB=60°,∠APD=∠OAB,
∴△APD∽△OAB,
,AP=
(3)点P的坐标为(-1,0)或(1,0)或(3,0)
例13.(08武汉)如图13-①,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x
轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;(3)如图13-②,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
图13-① 图13-②
分析:
(1)由图象的意义易求此抛物线的解析式;
(2)由
(1)可知四边形ABCD为等腰梯形,直线y=kx-1(k≠0)将其面积二等分,则此直线必过线段AB、CD中点M、N所连接的线段MN的中点P,而点P坐标可求,即可求出k的值;
(3)将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ知道以点A、E、M、N组成的四边形为平行四边形所以MN∥AE,MQ∥AF,根据△AEF≌△MNQ,易求点M,N的坐标。
答案:
⑴
;⑵
;⑶M(3,2),N(1,3)
图13-③ 图13-④ 图13-⑤