备战中考数学大题押题以圆为载体的压轴综合问题30题临考押题号.docx

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备战中考数学大题押题以圆为载体的压轴综合问题30题临考押题号

备战2022中考数学大题押题以圆为载体的压轴综合问题30题-2021年临考押题号

大题押题7以圆为载体的压轴综合问题（共30题）

〖真题回顾〗

一．解答题（共10小题）

1．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是

上一点，∠ADC＝∠G．

（1）求证：

∠1＝∠2．

（2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1

，求⊙O的半径．

2．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．

（1）求证：

△BEF是直角三角形；

（2）求证：

△BEF∽△BCA；

（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

3．（2020•宁波）定义：

三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．

（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，

，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：

∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．

①求∠AED的度数；

②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

4．（2020•杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：

PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

5．（2019•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：

y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2

为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求证：

直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：

是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2019•金华）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．

（1）求

的度数．

（2）如图，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

7．（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．

（1）求证：

四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD

AB时，求⊙O的直径长．

8．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求证：

OD

OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：

m﹣n+2＝0．

9．（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．

（1）求证：

BD＝BE．

（2）当AF：

EF＝3：

2，AC＝6时，求AE的长．

（3）设

x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连接OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

10．（2018•宁波）如图1，直线l：

y

x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC

）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

（2）如图2，连接CE，当CE＝EF时，

①求证：

△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．

〖押题冲关〗

一．解答题（共20小题）

1．（2021•上城区校级一模）如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．

（1）求证：

PC为⊙O的切线；

（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．

①求证：

△OMP∽△ONC；

②若CM＝10，MN＝4

，求ON的长．

2．（2021•余杭区二模）如图，AB是⊙O的直径．CD⊥AB于点E，G是BC上任意一点，连接GD交AB于点F，连接AD，AG．

（1）求证：

∠ADC＝∠AGD．

（2）若CD＝AG，

①求证：

△ADG是等腰三角形．

②连接BG，若BF＝2，BG＝3，求⊙O的半径．

3．（2021•北仑区二模）定义：

有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．

（1）如图1，若▱ABCD的一组邻边AB＝4，AD＝7，且它的面积为14

．求证：

▱ABCD为半矩形．

（2）如图2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD内）到AB的距离为1，⊙O的半径＝5，求AD的长．

（3）如图3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD＝BD＝4．

①求证：

CD是△ABD外接圆的切线；

②求出图中阴影部分的面积．

4．（2021•萧山区一模）如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，DB＝2．

（1）求直径AB的长．

（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？

请说明理由．

5．（2021•宁波模拟）如图①，线段AB，CD交于点O，连接AC和BD，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．

（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AB⊥BD，△COD为等边三角形．求证：

△AOB，△COD为倍优三角形．

（2）如图③，已知边长为2的正方形ABCD，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合），连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP和△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．

（3）如图④，四边形ABCD内接于⊙O，△BCP和△ADP是倍优三角形，且∠ADP为倍优角，延长AD，BC交于点E．

①若AB＝8，CD＝5，求⊙O的半径；

②记△BCD的面积为S1，△ABE的面积为S2，

y，cosE＝x，当BE＝3BC时，求y关于x的函数表达式．

6．（2021•龙湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．

（1）求证：

AE＝DH；

（2）连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；

（3）连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．

7．（2021•杭州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是对角线BD上一动点，PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得N点落在射线PD上，点O是边CD上一点，且OD：

BP＝3：

4．

（1）联结DQ，当DQ平分∠BDC时，求PQ的长；

（2）证明：

点O始终在QM所在直线的左侧；

（3）若以O为圆心，半径长为0.8作⊙O，当QM与⊙O相切时，求BP的长．

8．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E，DE与OB交于点F．

（1）求证：

BE＝CE．

（2）若∠A＝45°，求

的值．

9．（2021•宁波模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，以AD为半径作⊙A，分别交边CA及其延长线于点E，G，DE交BC的延长线于点H．

（1）如图1．当∠BAC＝30°时，连接CD，

①求∠BHD的度数；

②若CD恰好是⊙A的切线，求证：

CD＝CH．

（2）如图2，BC＝3，AC＝4，CD交⊙A于另一点F，连接FG，

①若FG∥AB，求⊙A的半径长．

②在点D的运动过程中，当DE•EH达到最大时，直接写出此时CD•DF的值．

10．（2021•余姚市一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，2），B是x轴正半轴上一动点，以AB为直径画⊙C交x轴于点D，连接AO，过点A作AE⊥AO交⊙C于点E，连接BE，DE．

（1）求∠DBE的度数．

（2）求证：

△ADE∽△OAB．

（3）如图2，连接CE，过点C作CF⊥BE于点F，过点F作FG∥CE交DE的延长线于点G，设点B的横坐标为t．

①用含t的代数式表示DE2．

②记S＝DE•EG，求S关于t的函数表达式．

11．（2021•鄞州区模拟）【提出问题】

如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．

【特殊位置探究】

（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；

【一般规律探究】

（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，

y．

①求证：

∠ACQ＝∠CPA；

②求y与x之间的函数关系式；

【解决问题】

（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）

12．（2021•临安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．

（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；

（2）求证：

∠BAC＝∠CEF；

（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

13．（2021•镇海区模拟）已知△ABC，经过点A、B作圆交AC边于点D，交BC边于点E，点P是圆内一点，且满足∠APD＝∠BPE＝90°，∠ADP＝∠PBE，连接AE和BD交于点F．

（1）求证：

△APD∽△EPB；

（2）探索AE和BD的位置关系，并说明理由；

（3）若BD＝4，且AB

DE，

①当DE＝2

时，求EF的长度；

②当DE最小时，请直接写出tan∠ADP的值．

14．（2021•龙港市一模）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．

（1）求证：

．

（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．

（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？

如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．

15．（2021•西湖区一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．

（1）求证：

△ACE≌△BCD．

（2）若CD＝2，BD＝3

，求⊙O的半径．

（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）

16．（2021•下城区一模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．

（1）若CE＝DF，求证：

四边形AEBF是菱形．

（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．

①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．

②若点E是OC的中点，求

的值．

17．（2021•宁波模拟）如图，圆O为锐角△ABC的外接圆，点D为弧BC的中点，过点D作AC的平行线交AB于点E，连接EO并延长交AC边于点F．

（1）如图1，①求证：

DE＝AE；②判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

（2）如图2，当∠A＝60°时，DE，DF分别交BC于点M，N．设△BEM，△DMN，△CFN的面积分别为S1，S2，S3．

①求证：

FC＝OE；

②若FO＝2OE＝4，求

的值；

③若S1＝S2+S3，圆O的半径为1，求AB的长．

18．（2021•萧山区模拟）如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，点D在劣弧BC上，且∠COD＝∠ABC，半径OD与弦BC交于点E．设∠ABC＝α，∠OCB﹣∠OCA＝β（β＞0）．

（1）若∠OCA＝20°，求α的度数；

（2）求证：

∠BAC＝α﹣β；

（3）若α＝75°，β＝30°，设△ABC的面积为S1，△COE的面积为S2，求

的值．

19．（2021•萧山区模拟）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设

α．

（1）求∠EAG的度数．

（2）当α

时，求tan∠AEG．

（3）用α的代数式表示

，并说明理由．

20．（2021•宁波模拟）定义：

三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“奇点”．

（1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有　　（填写正确的序号）．

①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点．

（2）如图②，△ABC中，BC＝11，tanB

，tanC

，点D是BC边上的“奇点”，求线段BD的长．

（3）如图③，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC上一点，连接OD，AD，若OD⊥AD．

①求证：

点D是△ABC中BC边上的“奇点”；

②若AD是△ABC的角平分线，求

的值．