在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。
在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。
常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。
齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题
（1）解的存在性问题和
（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。
行列式的特点：
有n!
项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。
通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。
总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。
线性代数知识点框架
（二）
在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。
数域上的n元有序数组称为n维向量。
设向量a=（a1,a2,...,an），称ai是a的第i个分量。
n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也可以写为一列，称为列向量。
要注意的是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素的写法不同。
矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。
对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。
线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。
利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。
同时要注意这个结论的双向作用。
从简单例子（如几何空间中的三个向量）可以看到，如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3线性表出，则这三个向量共面，反之则不共面。
为了研究向量个数更多时的类似情况，我们把上述两种对向量组的描述进行推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。
通过一些简单例子体会线性相关和线性无关（零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等）。
从多个角度（线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性相关和线性无关的本质。
部分组线性相关，整个向量组线性相关。
向量组线性无关，延伸组线性无关。
回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,...,an线性表出？
如果这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立即得到答案：
b,a1,a2,...,an线性相关。
如果这个向量组本身是线性相关的，则需进一步探讨。
任意一个向量组，都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组，这个部分组的特点是：
本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。
如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出，则称A能被B线性表出。
如果A和B能互相线性表出，称A和B等价。
一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。
注意到一个重要事实：
一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。
这是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。
一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为向量组的秩。
向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。
等价的向量组有相同的秩。
有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：
若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。
向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个非常深刻而重要的概念，故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。
线性代数知识点框架（三）
为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。
矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。
对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：
A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。
总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。
因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。
非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：
系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。
当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
线性代数知识点框架（四）
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。
矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。
矩阵的另外一个重要应用：
线性变换（最典型例子是旋转变换）。
即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。
矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。
如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。
矩阵乘法的特点：
若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数相同；C的行数是A的行数，列数是B的列数。
需要主义的是矩阵乘法不满足交换律，满足结合律。
利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简单的表示为：
Ax=b。
对于C=AB，还可作如下分析：
将左边的矩阵A写成列向量组的形式，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B写成行向量组的形式，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。
关于矩阵乘积的另外一个重要结论：
矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。
一些特殊的矩阵：
单位阵、对角阵、初等矩阵。
尤其要注意，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。
每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。
若AB=E，则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵一定是方阵。
第一种求逆阵的方法：
伴随阵。
这种方法的理论依据是行列式的按行（列）展开。
矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间的充分必要性。
单位阵和初等矩阵都是可逆的。
若矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难理解的，因为初等矩阵满秩，故最后化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。
进一步，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：
可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。
可逆矩阵作为因子不会改变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩。
由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方法：
初等变换。
需要注意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。
矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体，对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵，运算法则仍然适用。
将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式。
然后是一些线性代数核心知识点的相关思维训练
学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。
现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。
1、任何一个向量α=（a1,a2,...,an）都能由单位向量ε1=（1,0,...,0）、ε2=（0,1,...,0）、……、εn=（0,0,...,1）线性表出，且表示方式唯一。
2、向量组α1，α2，…，αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。
3、判断下列说法正确性：
（1）“向量组α1，α2，…，αn，如果有全为零的数k1,k2,...,kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，则α1，α2，…，αn线性无关。
”
（2）“如果有一组不全为零的数k1,k2,...,kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，则α1，α2，…，αn线性无关。
”（3）“若向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。
”
4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。
5、n+1个n维向量必线性相关。
6、如果向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也线性无关。
7、如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关。
8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αn线性无关。
9、设向量组α1，α2，…，αn线性无关，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。
如果对于某个ki≠0，则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α（i-1），β，α（i+1），…，αn也线性无关。
10、由非零向量组成的向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性无关的充分必要条件是每一个αi（111、设α1，α2，…，αn线性无关，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。
12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。
14、如果n维向量构成的向量组α1，α2，…，αn线性无关，那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。
15、如果任意的n维向量都可以由α1，α2，…，αn线性表出，那么α1，α2，…，αn线性无关。
16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。
17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。
18、如果向量组α1，α2，…，αn和向量组α1，α2，…，αn，β有相同的秩，则β可以由α1，α2，…，αn线性表出。
19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。
20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。
22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。
23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？
24、设η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1，η2，…，ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。
25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A（kl）不为零，则向量（A（k1）,A（k2）,...,A（kn））是这个齐次线性方程组的一个基础解系。
28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a（s1）*x1+a（s2）*x2+…+a（sn）*xn=0的解，其中a（ij）是矩阵A的元素，则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。
29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。
30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齐次线性方程组的解，并且有一组数u1，u2，…，un满足u1+u2+...+un=1，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解。
31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2，…，ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。
32、设A是s*n矩阵，如果对于任意列向量η，都有Aη=0，则A=0。
33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。
34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。
35、对任一s*n矩阵A，AA'和A'A都是对称矩阵。
36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵，一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。
37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换。
38、对任一n级矩阵，A+A'都是对称矩阵，A-A'都是反对称矩阵。
39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0，则A=0。
41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。
42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的，则称为行（列）满秩矩阵。
如果一个s*n的矩阵A的秩为r，则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC。
43、设A是n级矩阵，若AA'=E，则A的行列式为1或-1。
44、如果矩阵A可逆，则A*也可逆，求A*的逆阵。
45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。
46、如果A^k=0，则A-E可逆，求其逆阵。
47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵，如果AB=0，则r（A）+r（B）≤n。
48、设A是n级矩阵，且A≠0，则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零。
49、如果n级矩阵A满足A*A=E，则r（A+E）+r（A-E）≤n。
50、设A是一个s*n矩阵，β是任意一个s维向量，则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。
51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1，则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。
52、设A是n级矩阵（n≥2），则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。
53、设A是n级矩阵（n≥2），则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时，r（A*）=1；当r（A）54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A,B）。
55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵，则r（AB）≥r（A）+r（B）-n。
56、设C是s*r的列满秩矩阵，D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r。
其中55题难度较大，不作强求。
另外补充说明一下，可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导，但熟悉了以后再重看的话，应该是可以仅凭头脑中的推理完成的，换句话说，我们的最终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚，所以前面提到是“思维的训练”，做到这一点的话，线代基本就可算是学到家了
线性代数解题的八种思维定势
1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3、若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4、若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7、若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
最后是考试重点及复习策略
在此，提醒广大考生：
应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。
总结起来就是抓联系，找规律，重应用。
行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。
矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。
特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。
这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。
A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。
关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。
证明（或判断）向量组的线性相关（无关）性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。
向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。
用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。
在R?
中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过度矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，必须概念清楚，计算熟练。
关于特征值，特征向量，对具体给定的数值矩阵，要会求特征值，特征向量。
对抽象给出的矩阵，要把式子AX=X大胆运算。
关于相似矩阵和对角化的条件，实对称矩阵定能对角化，且可由正交变换化为对角阵。
反之，又可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A。
如果A为实对称矩阵，由于其不同的特征值所对应的特征向量相互正交，还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。
对角化以后的形式，常可以求A的行列式或有关的行列式值。
关于二次型，一是化标准形（正交变换、可逆变换）这和把实对称矩阵化为对角矩阵是一个问题的两种提法。
二是正定性问题（可用顺序主子式来判定），应熟悉二次型正定的有关充分条件和必要条件，利用标准形，特征值来证明相关矩阵的正定性。
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