华师大版中考数学总复习10一元二次方程1及答案13页.docx

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华师大版中考数学总复习10一元二次方程1及答案13页

方程与不等式——一元二次方程1

一．选择题（共8小题）

1．若x=﹣2是关于

x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4

2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　）

A．2B．0C．0或2D．0或﹣2

3．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）

A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=2

4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（　　）

A．x1=x2=1B．x1=1+

，x2=﹣1﹣

C．x1=1+

，x2=1﹣

D．x1=﹣1+

，x2=﹣1﹣

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）

A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=2

6．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≤1

7．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（　　）

A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0

8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则

+

的值为（　　）

A．﹣1B．﹣

C．

D．1

二．填空题（共8小题）

9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为　_________　．

10．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　_________　．

11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=　_________　．

12关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　_________　．

13．方程x2﹣3x=0的根为　_________　．

14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

设通道的宽为xm，由题意列得方程　_________　．

15．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　_________　．

16某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　_________　．

三．解答题（共8小题）

17．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，求k的值．

18．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩

形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

19．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．

（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？

20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

21．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固

定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　_________　万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的

矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？

定价为多少元？

24某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．

（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；

（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？

方程与不等式——一元二次方程1

参考

答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4

考点：

一元二次方程的解．

专题：

计算题．

分析：

将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．

解答：

解：

∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，

∴4+5a+a2=0，

∴（a+1）（a+4）=0，

解得a1=﹣1，a2=﹣4，

故选：

B．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．

2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　

）

A．2B．0C0或2D．0或﹣2

考点：

一元二次方程的解．

分析：

直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．

解答：

解：

∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，

∴4﹣4m+4=0，

∴m=2．

故选：

A．

点评：

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

3．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）

A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=2

考点：

解一元二次方程-直接开平方法．

专题：

计算题．

分析：

利用直

接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±

，则﹣h﹣

=﹣3，﹣h+

=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±

，所以x1=0，x2=5．

解答：

解：

解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±

，

而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，

所以﹣h﹣

=﹣3，﹣h+

=2，

方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±

，

所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．

故选：

B．

点评：

本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：

形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±

；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±

．

4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（　　）

A．x1=x2=1B．x1=1+

，x2=﹣1﹣

C．x1=1+

，x2=1﹣

D．x1=﹣1+

，x2=﹣1﹣

考点：

解一元二次方程-配方法．

专题：

计算题．

分析：

方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．

解答：

解：

方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：

x2﹣2x=1，

配方得：

x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，

开方得：

x﹣1=±

，

解得：

x1=1+

，x2=1﹣

．

故选：

C．

点评：

此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）

A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=2

考点：

解一元二次方程-因式分解法．

专题：

因式分解．

分析：

直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根

解答：

解：

x2﹣x﹣2=0

（x﹣2）（x+1）=0，

解得：

x1=﹣1，x2=

2．

故选：

D．

点评：

此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

6．

一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≤1

考点：

根的判别式．

分析：

根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．

解答：

解：

∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，

∴△≥0，

即4﹣4m≥0，

∴﹣4m≥﹣4，

∴m≤1．

故选：

D．

点评：

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（　　）

A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0

考点：

根与系数的关系．

分析：

解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和

是否为3及两根之积

是否为2即可．

解答：

解：

两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．

A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；

B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；

C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；

D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，

故选：

B．

点评：

验算时要注意方程中各项系数的正负．

8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则

+

的值为（　　）

A．﹣1B﹣

C．

D．1

考

点：

根与系数的关系．

专题：

计算题．

分析：

先根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣1，再利用通分把

+

变形为

，然后利用整体代入的方法计算．

解答：

解：

根据题意得m+n=1，mn=﹣1，

所以

+

=

=

=﹣1．

故选：

A．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣

，x1•x2=

．

二．填空题（共8小题）

9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为　20×（1+x）2=25　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

增长率问题．

分析：

2009年绿化投资=2007年的绿化投资×（1+两年绿化投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可求解．

解答：

解：

∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，

∴2008年的绿化投资为20×（1+x），

∴2009年的绿化投资为20×（1+x）×（1+x）=20×（1+x）2，

∴可列方程为20×（1+x）2=25，

故答案为：

20×（1+x）2=25．

点评：

本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决本题的关键．

10一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．

考点：

一元二次方程的定义．

专题：

计算题

；待定系数法．

分析：

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．

解答：

解：

∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，

∴a+1≠0

且a2﹣1=0，

∴a=1．

故答案为：

1．

点评：

本题考查了一元二次方程的定义：

含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=　2　．

考点：

一元二次方程的

解．

专题：

待定系数法．

分析：

把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．

解答：

解：

依题意，得

2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，

解得，k=2．

故答案是：

2．

点评：

本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方

程，通过解新方程可以求得k的值．

12关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　6　．

考点：

根的判别式．

专题：

计算题．

分析：

根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜

，然后在此范围内找出最大整数即可．

解答：

解：

根据题意得△=（﹣5）2﹣4k＞0，

解得k＜

，

所以k可取的最大整数为6．

故答案为6．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相

等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

13．方程x2﹣3x=0的根为　x1=0，x2=3　．

考点：

解一元二次方程-因式分解法．

分析：

根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．

解答：

解：

因式分解得，x（x﹣3）=0，

解得，x1=0，x2=3．

故答案为：

x1=0，x2=3．

点评：

本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

设通道的宽为xm，由题意列得方程　（30﹣2x）（20﹣x）=6×78　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

几何图形问题．

分析：

设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

解答：

解：

设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，

故答案为：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．

15．现

有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　x2﹣70x+825=0　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

方程思想．

分析：

本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．

解答：

解：

由题意得：

（80﹣2x）（60﹣2x）=1500

整理得：

x2﹣70x+825=0，

故答案为：

x2﹣70x+825=0．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．

16．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

本题需先设

出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

解答：

解：

设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解得：

x1=20%，x2=﹣220%（舍去）

故答案为：

20%．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键

．

三．解答题（共8小题）

17．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，求k的值．

考点：

根的判别式；一元二次

方程的定义．

分析：

根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．

解答：

解：

∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）

=0，

整理得，k2﹣3k+2=0，

即（k﹣1）（k﹣2）=0，

解得：

k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．

∴k=2．

点评：

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

18．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈

，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

考点：

一

元二次方程的应用．

专题：

应用题．

分析：

设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程

．

解答：

解：

设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．

根据题意得（100﹣4x）x=400，

解得x1=20，x2=5．

则100﹣4x=20或100﹣4x=80．

∵80＞25，

∴x2=5舍去．

即AB=20，BC=20．

答：

羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

19．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．

（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：

1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．

（2）根据

（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．

解答：

解：

（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，

根据题意列方程：

150（1+x）2=216，

解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．

答：

求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．

（2）二月份的销量是：

150×（1+20%）=180（辆）．

所以该经销商1至3月共盈利：

（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．

点评：

本题考主要查了一元二次方程

的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

应用题．

分析：

首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游

的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．

解答：

解：

设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000﹣20（x﹣25）元

由题意得x[1000﹣20（x﹣25）]=27000

整理得x2﹣75x+1350=0，

解得x1=45，x2=30．

当x=45时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．

当x=30时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．

答：

该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．

点评：

考查了一元二次方

程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实

际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解

．

21某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　2.6（1+x）2　万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；

（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．

解答：

解：

（1）由题意，得

第3年的可变成本为：

2.6（1+x）2，

故答案为：

2.6（1+x）2；

（2）由题意，得

4+2.6（1+x）2=7.146，

解得：

x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：

可变成本平均每年增长的百分率为10%．

点评：

本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数