推荐精选学年九年级数学上册 第21章 一元二次方程 一元二次方程中的面积问题课时专练 新版.docx

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一元二次方程中的面积问题

一．选择题（共22小题）

1．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）

A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32

2．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：

七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）

A．（7+x）（5+x）×3=7×5B．（7+x）（5+x）=3×7×5

C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5D．（7+2x）（5+2x）=3×7×5

3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．（20﹣x）（32﹣x）=540B．（20﹣x）（32﹣x）=100C．（20+x）（32﹣x）=540D．（20+x）（32﹣x）=100

4．同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（　　）

A．x（10﹣x）=50B．x（30﹣x）=50C．x（15﹣x）=50D．x（30﹣2x）=50

5．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（　　）

A．2x（10﹣7x）=3.52B．

C．

D．2x2+2x（10﹣9x）=3.52

6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（　　）

A．x（x﹣20）=300B．x（x+20）=300C．60（x+20）=300D．60（x﹣20）=300

7．用长为4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米，若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（　　）

A．x（4﹣x）=25B．2x（2﹣x）=25C．

D．

8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．（30﹣3x）（24﹣2x）=480B．（30﹣3x）（24﹣x）=480

C．（30﹣2x）（24﹣2x）=480D．（30﹣x）（24﹣2x）=480

9．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（　　）

A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm2

10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32x+2×20x﹣2x2=570B．32x+2×20x=32×20﹣570

C．（32﹣2x）（20﹣x）=32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）=570

11．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（　　）

A．x（13﹣x）=20B．x•

=20C．x（13﹣

x）=20D．x•

=20

12．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB=x米，则可列方程（　　）

A．x（81﹣4x）=440B．x（78﹣2x）=440C．x（84﹣2x）=440D．x（84﹣4x）=440

13．某广场绿化工程中有一块长2km，宽1km的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的空地如图），且保留空地的面积与绿地面积相等．设保留空地的宽度为xkm，则下面列出的方程中正确的是（　　）

A．（2﹣3x）（1﹣2x）=

B．（2﹣3x）（1﹣2x）=

C．

（2﹣3x）（1﹣2x）=1D．（2﹣3x）（1﹣2x）=1

14．用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米．若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（　　）

A．x（28﹣x）=25B．2x（14﹣x）=25C．x（14﹣x）=25D．

15．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（　　）

A．4cmB．8.5cmC．4cm或8.5cmD．5cm或7.5cm

16．用22cm的铁丝围成一个面积为30cm2的矩形，则这个矩形的两边长是（　　）

A．5cm和6cmB．6cm和7cmC．4cm和7cmD．4cm和5cm

17．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）

A．x（26﹣2x）=80B．x（24﹣2x）=80C．（x﹣1）（26﹣2x）=80D．x（25﹣2x）=80

18．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　　）

A．

B．

C．

D．

19．有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．4x2=3600B．100×50﹣4x2=3600

C．（100﹣x）（50﹣x）=3600D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600

20．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（　　）

A．x（27﹣3x）=75B．x（3x﹣27）=75C．x（30﹣3x）=75D．x（3x﹣30）=75

21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟

22．如图，△ABC中，∠C=90，AB=10cm，AC=8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（　　）秒后四边形APQB是△ABC面积的

．

A．2B．4.5C．8D．7

二．解答题（共6小题）

23．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．

（1）求各通道的宽度；

（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？

24．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上修建两横竖通道，横竖通道的宽度比为2：

1，其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的

．

（1）求横、竖通道的宽各为多少？

（2）若修建1m2道路需投资750元，种植1m2花草需投资250元，此次修建需投资多少钱？

25．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．

（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；

（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？

如果不能，请说明理由；

（3）如图3，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x、n满足的关系式　

　．

　26．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？

若能，请举例说明；若不能，请说明理由．

（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？

请说明理由．

27．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？

（3）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？

28．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，

（1）当x为何值时，点P、N重合；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

参考答案

一．选择题（共22小题）

1．B．2．D．3．A．4．C．5．B．6．A．7．C．8．A．9．D．10．D．

11．B．12．D．13．D．14．C．15．C．16．A．17．A．18．B．19．D．20．C．

21．B．22．A．

二．解答题（共7小题）

23．解：

（1）设各通道的宽度为x米，

根据题意得：

（90﹣3x）（60﹣3x）=4536，

解得：

x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．

答：

各通道的宽度为2米．

（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，

根据题意得：

﹣

=2，

解得：

y=400，

经检验，y=400是原方程的解，且符合题意．

答：

该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．

24．解：

（1）设竖通道的宽为xm，则横通道的宽为2xm．

根据题意得：

（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣

），

整理得：

x2﹣20x+19=0，

解得：

x1=1，x2=19（不合题意，舍去），

∴2x=2．

答：

横通道宽2m，竖通道宽1m．

（2）30×20×

×750+30×20×

×250，

=114000+112000，

=226000（元）．

答：

此次修建需要投资226000元．

25．解：

（1）根据题意得，

AB=

m，

则

•x=40，

∴x1=20，x2=4，

因为20＞15，

所以x1=20舍去

答：

BC的长为4米；

（2）不能围成花圃，

根据题意得，

，

方程可化为x2﹣24x+150=0△=（﹣24）2﹣4×150＜0，

∴方程无实数解，

∴不能围成花圃；

（3）∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，

∴AB=

，

而正方形的边长也为

，

∴关系式为：

．

26．解：

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，

根据题意得：

x（32﹣2x）=126，

解得：

x1=7，x2=9，

∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，

根据题意得：

y（36﹣2y）=170，

整理得：

y2﹣18y+85=0．

∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

27．解：

（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，

则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，

根据梯形的面积公式得

（16﹣3x+2x）×6=33，

解之得x=5，

（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，

作QE⊥AB，垂足为E，

则QE=AD=6，PQ=10，

∵PA=3t，CQ=BE=2t，

∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，

由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6．

（3）过点P作PM⊥CD于M，QN⊥AB于N

则DM=AP=3cm．CQ=BN=2tcm

分三种情况；

∴当DP=DQ时，则DM=MQ=3tcm．

∵3t+3t+2t=16．

∴t=2；

②当DQ=PQ时，在直角△PNQ中，由勾股定理得：

（16﹣2t）2=62+（16﹣3t﹣2t）2

整理，得7t2﹣32t+12=0，

解得t1=

，t2=

；

③当DP=DQ时，在直角△DAP中，由勾股定理得：

（16﹣2t）2=62+（3t）2

解得t1=

，t2=

（舍去）

综上所述，经过2秒、

秒、

秒或

秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．

答：

（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．

（3）经过2秒、

秒、

秒或

秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．

28．解：

（1）∵P，N重合，

∴2x+x2=20，

∴

，

（舍去），

∴当

时，P，N重合；

（2）因为当N点到达A点时，x=2

，此时M点和Q点还未相遇，

所以点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，依题意得

20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），

解得x1=0（舍去），x2=2，

当x=2时四边形PQMN是平行四边形；

②当点P在点N的右侧时，依题意得

20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，

解得x1=﹣10（舍去），x2=4，

当x=4时四边形NQMP是平行四边形，

所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．