学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例Word.docx

1、学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例Word预习课本P2732，思考并完成以下问题(1)如何求两个数的最大公约数？(2)秦九韶算法的原理是什么？1“更相减损之术”更相减损之术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大公约数2割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注九章算术中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率的方法3秦九韶算法把一元n次多项式函数P(x)anxnan1xn1a1xa0改写：P(x)anxnan1xn1

2、a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0，令vk(anxan1)xan(k1)xank，则递推公式为其中k1,2，n.这样求一元n次多项式P(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，这种求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法1用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为()A4 B5C6 D7解析：选C(98,63)(35,63)(35,28)(7,28)(7,21)(7,14)(7,7)，共进行6次减法2225与150的最大公约数是()A15 B30C45 D75解析：选D因为(225,150)

3、(75,150)(75,75)，所以225与150的最大公约数是75.3已知多项式f(x)4x53x42x3x2x，用秦九韶算法求f(2)等于()A B. C. D解析：选Af(x)(4x3)x2)x1)x1)x，f(2).4用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是_的实际值解析：用割圆术法求出的是的不足近似值答案：小于求最大公约数典例求261和319的最大公约数解31926158，(261,319)(261,58)(203,58)(145,58)(87,58)(29,58)(29,29)，所以319与261的最大公约数是29.“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤第一步，给定两个

4、正整数m，n(mn)第二步，计算mn所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示第四步，若mn，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步活学活用1用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是_解析：(135,36)(99,36)(63,36)(36,27)(27,9)(18,9)(9,9)，故共进行了6次减法运算答案：62求378与90的最大公约数解：法一：37890288，28890198，19890108，1089018，901872，721854，541836，361818，378与90的最大公约数是18.法二：37890418，90185，37

5、8与90的最大公约数是18.用秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)8x75x63x42x1，当x2时的值解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)8x75x60x53x40x30x22x1(8x5)x0)x3)x0)x0)x2)x1.而x2，所以有v08，v182521，v2212042，v3422387，v48720174，v517420348，v634822698，v7698211 397.所以当x2时，多项式的值为1 397.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题(1)要正确将多项式的形式进行改写(2)计算应由内向外依次计算(3)当多项式函数中间出现空项时

6、，要以系数为零的齐次项补充 活学活用用秦九韶算法写出当x3时，f(x)2x54x33x25x1的值解：因为f(x)(2x0)x4)x3)x5)x1，v02，v12306，v263414，v3143345，v44535130，v513031391，所以f(3)391.层级一学业水平达标178与36的最大公约数是()A24 B18C12 D6解析：选D(78,36)(42,36)(36,6)(6,6)2用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x11的值时应把f(x)变形为()Ax3(3x2)x11B(x3)x2(2x11)C(x1)(x2)x11D(x3)x2)x11解析：选Df(x)x33x22

7、x11(x3)x2)x11.3已知函数f(x)x32x25x6，则f(10)的值为_解析：由秦九韶算法，得f(x)x32x25x6(x22x5)x6(x2)x5)x6.当x10时，f(10)(102)105)106(8105)10675106756.答案：7564求168,54,264的最大公约数解：为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.由更相减损之术，先求84与27的最大公约数842757,572730,30273，27324,24321,21318,18315，15312,1239,936,633，故84与27的最大公约数是3.再求3与132的最大公约数易知132344，所以

8、3与132的最大公约数就是3.故84,27,132的最大公约数是3，即168,54,264的最大公约数是6.层级二应试能力达标1用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为()A4 B5C6 D7解析：选B459357102,357102255,255102153,15310251,1025151，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次2用秦九韶算法求多项式f(x)0.5x54x43x2x1, 当x3时的值时，先算的是()A33 B0.535C0.534 D(0.534)3解析：选C把多项式表示成如下形式：f(x)(0.5x4)x0)x3)x1)x1, 按递推方法，

9、由内往外，先算0.5x4的值34 830与3 289的最大公约数为()A23 B35C11 D13解析：选A4 83013 2891 541；3 28921 541207；1 541720792；20729223；92423；23是4 830与3 289的最大公约数4根据递推公式其中k1,2，n，可得当k2时，v2的值为()Av2anxan1Bv2(anxan1)xan2Cv2(anxan1)xDv2anxan1x解析：选B根据秦九韶算法知v0an，v1anxan1，v2v1xan2(anxan1)xan2.5用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为_解析：先求12848的值，

10、即1284880.答案：12848806117与182的最大公约数等于_解析：(117,182)(117,65)(52,65)(52,13)(39,13)(26,13)(13,13)，所以其最大公约数为13.答案：137阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0，当xx0时，框图中A处应填入_解析：f(x)anxnan1xn1a1xa0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)(anxan 1)xan2)xa1)xa0.f1an；k1，f2f1x0an1；k2，f3f2x0an2；归纳得第k次fk1fkx0ank.故A处应填ank.答案：ank8用秦九韶算法计算

11、多项式f(x)x612x560x4160x3240x2192x64，当x2时的值解：将f(x)改写为f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64，v01，v1121210，v21026040，v340216080，v480224080，v580219232，v6322640.所以f(2)0，即x2时，原多项式的值为0.9现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数使用更相减损之术：(5.6,2.4)(3.2,2.4)(0.8,2.4)(0

12、.8,1.6)(0.8,0.8)因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列赋值语句正确的是()Asa1 Ba1sCs1a Dsa1解析：选A赋值语句的格式为“变量表达式”，“”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确2在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：(98,56)(56,42)(42,14)(28,14)(14,14)由此可知两数的最大公约数为()A98 B56C14 D42解析：选C由更相减损术可知两数最

13、大公约数为14.3阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是()A该框图只含有顺序结构、条件分支结构B该框图只含有顺序结构、循环结构C该框图只含有条件分支结构、循环结构D该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构解析：选D阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，故选D.4如图是计算函数y框图，在处应分别填入的是()Ayln(x)，y0，y2xByln(x)，y2x，y0Cy0，y2x，yln(x)Dy0，yln(x)，y2x解析：选B当x2不成立时，有x2，则处填入yln(x)；当x2成立时，若x3成立，则y2x，则处填入y2x；若x3不成立，即2x3，则y0，则处填入

14、y0.5由下面循环语句可知输出的结果是()A5 B6C7 D8解析：选C程序执行的功能是S123i，当i6时，S20，终止循环，此时输出的i7.6执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为1.2, 第二次输入的a的值为1.2, 则第一次、第二次输出的a的值分别为()A0.2, 0.2 B0.2, 0.8C0.8, 0.2 D0.8, 0.8解析：选C当a1.2时，执行第一个循环体，a1.210.20再执行一次第一个循环体，a0.210.8, 第一个循环体结束，输出；当a1.2时，执行第二个循环体，a1.210.2, 输出7已知函数f(x)写fff(2)的算法时，下列哪些步骤是正确的()

15、S1由20，得f(2)0；S2由f(0)1，得ff(2)f(0)1；S3由10，得f(1)110，即fff(2)f(1)0.AS1 BS2CS3 D三步都对解析：选D以上三步遵循由内向外的计算顺序，计算结果正确，所以三步都对8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为()A7 B6C5 D4解析：选B第一次运行：S0(1)1113；第二次运行：n2，S1(1)2213；第三次运行：n3，S1(1)3323；第四次运行：n4，S2(1)4423；第五次运行：n5，S2(1)5533；第六次运行：n6，S3(1)663，满足S3.故输出n的值为6，故选B.9若如图所示的程序框图输出的S

16、的值为126，则条件为()An5 Bn6Cn7 Dn8解析：选B由题知，第一次循环后，S2，n2；第二次循环后，S6，n3；第三次循环后，S14，n4；第四次循环后，S30，n5；第五次循环后，S62，n6；第六次循环后，S126，n7，满足了S126，循环结束，所以条件为n6.10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“”处应填写的是()Ann1 Bnn2Cnn1 Dnn2解析：选C因为起始n1，输出的n4，所以排除A、B.若“”处填nn1.则S1，n2，判断12，继续循环；S，n3，判断2，继续循环；S2，n4，判断22，则输出n的值为4，故选C.1

17、1用秦九韶算法求多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6的值，当x4时，v4的值为()A57 B124C845 D220解析：选D依据秦九韶算法有v0a63，v1v0xa53(4)57，v2v1xa47(4)634，v3v2xa334(4)7957，v4v3xa257(4)(8)220，故选D.12执行如图所示的程序框图，若输出S，则输入整数n()A8 B9C10 D8或9解析：选D在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S，i4；执行第二次循环后，S，i6；执行第三次循环后，S，i8；执行第四次循环后，S，i10.若n8或n9，此时10n不成立，退出循环，输出S，因此n8或n9

18、，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13下列程序运行后输出的结果为_解析：当x5时，y20317，所以最后输出的xy5(17)22.答案：2214用秦九韶算法求多项式P(x)8x417x37x2，当x21的值时，需把多项式改写为_解析：根据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P(x)(8x17)x0)x7)x2.答案：P(x)(8x17)x0)x7)x215定义某种运算，Sab的运算原理如下图所示，则0(1)_；设f(x)(0x)x2x，则f(1)_.解析：因为01，故S0(1)|1|1.又因为，01，故010.而21，故211.故f(1)(0

19、1)121011.答案：1116执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为，那么判断框中实数a的取值范围是_解析：当1a2时，输出的S值为；当2a3时，输出的S值为；当3a4时，输出的S值为；当2 015a2 016时，输出的S值为.答案：2 015,2 016)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求72,120,168的最大公约数解：由更相减损之术，得16812048,1204872,724824，482424，故120和168的最大公约数是24.而722448,482424，故72和24的最大公约数也是24，所以72

20、,120,168的最大公约数是24.18(本小题满分12分)编写一个程序，输出使147i300成立的最小的正整数i.解：程序如下：19(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x，当x3时的值解：f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，所以当x3时，v173627，v2273586，v38634262，v426233789，v5789322 369，v62 369317 108，v77 108321 324，故x3时，多项式f(x)的值为21 324.20(本小题满分12分)某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10 000元

21、之内的年终提成5%；若推销产品价值在10 000元以上(包括10 000元)，则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f(x)的算法的程序框图解：程序框图如下图所示：21.(本小题满分12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动设点P运动的路程为x，APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图解：函数关系式为y程序框图如图所示：22(本小题满分12分)给出30个数1,2,4,7,11，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)(1)请在图中处和处填上合适的语句，使之能完成算法功能；(2)根据程序框图写出程序解：(1)处应填i30，处应填ppi.(2)程序如下：