高二数学下学期第二次阶段考试试题.docx

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高二数学下学期第二次阶段考试试题

2017-2018学年度第二学期第二次阶段考试

高二数学试题

一．选择题（共8小题）

1．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，若f（﹣1）=1，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2015）=（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

3．若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且f

（1）=0，则f（x）在区间（0，5]上具有零点的最少个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则，f（2016）的值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

5．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+

）=﹣f（x），则f

（1）+f

（2）+f（3）=（　　）

A．0B．﹣1C．3D．2

6．对任意的x∈R，定义在R上的奇函数f（x）满足：

f（x+3）=﹣f（x+4），则f（1000）=（　　）

A．﹣1B．1C．0D．1000

7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（　　）

A．1B．0C．﹣2D．2

8．已知定义在R上的函数f（x）满足：

f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），f

（1）=2．则f（﹣2）=（　　）

A．2B．4C．8D．16

二．填空题（共2小题）

9．定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2016）﹣f（2015）=　　．

10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x+4），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣17），f（27），f（64）的大小关系从小到大的排列顺序为　　．

三．解答题（共4小题）

11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]时，f（x）=

．

（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；

（2）判断f（x）在[0，2]上的单调性，并给予证明；

（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？

12．若函数f（x）对任意实数x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f

（1）=﹣2；

（1）求证：

f（x）为奇函数：

（2）求证：

f（x）是R上的减函数：

（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值：

（4）解不等f（x﹣4）+f（2﹣x2）≤16．

13．若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．

（1）求证：

f（x）＞0；

（2）求证：

f（x）为R上的减函数；

（3）当

时，对a∈[﹣1，1]时恒有

，求实数x的取值范围．

14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）

（1）求证：

f（

）=f（x）﹣f（y）；

（2）证明：

函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；

（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a﹣1）+2，求a的取值范围．

一．选择题（共8小题）

1．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，若f（﹣1）=1，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2015）=（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．

【解答】解：

定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，

可得f（x）=f（3+x），所以函数的周期为3．

定义在R上的奇函数f（x），可知f（0）=0，

又f（﹣1）=1，

∴f

（2）=f（﹣1）=1，f

（1）=﹣f（﹣1）=﹣1．

f

（1）+f

（2）+f（3）=﹣1+1+0=0；

∴f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2015）=671（f

（1）+f

（2）+f（3））+f

（1）+f

（2）=0﹣1+1=0．

故选：

B．

【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

【分析】由已知函数为奇函数，求出函数的周期为4可得f（0）=0⇒f（4）=f（8）=0，由f（3）=0⇒（7）=0，又f（﹣3）=0⇒f

（1）=f（5）=f（9）=0，从而可得结果．

【解答】解：

由已知可知f（3）=0，

因为f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣3）=﹣f（3）=0，f（0）=0，

又因为函数的周期为4，即f（x+4）=f（x），

所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（﹣3）=f

（1）=f（5）=f（9）=0，

所以方程f（x）=0在x∈（0，10）的根有1，3，4，5，7，8，9，共7个．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力．

3．若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且f

（1）=0，则f（x）在区间（0，5]上具有零点的最少个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

【分析】根据函数的奇偶性和周期性之间的关系，即可确定函数零点的个数．

【解答】解：

∵f（x）=f（x+2），

∴函数f（x）的周期是2．

∵f

（1）=0，

∴f

（1）=f（3）=f（5）=0，

∵f（x）定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，即f（0）=f

（2）=f（4）=0，

∴在区间（0，5]上的零点至少有1，2，3，4，5，

故选：

A．

【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．

4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则，f（2016）的值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，进而由f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2016）=f（4×504）=f（0），即可得答案．

【解答】解：

根据题意，f（x）为R上的奇函数，则有f（0）=﹣f（0），

即f（0）=0，

f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的函数，

则有f（2016）=f（4×504）=f（0）=0；

故选：

B．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及周期性的判断与应用，关键在于利用奇函数的性质求出f（0）的值．

5．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+

）=﹣f（x），则f

（1）+f

（2）+f（3）=（　　）

A．0B．﹣1C．3D．2

【分析】由已知中f（x+

）=﹣f（x），可得函数的周期为3，再由奇函数的性质可得f（3）=，f（0）=0，f

（2）=﹣f

（1），代入计算可得．

【解答】解：

∵f（x+

）=﹣f（x），

∴f（x+3）=﹣f（x+

）=f（x）

∴函数的周期为3，

又函数f（x）为R上的奇函数，

∴f（0）=0，

∴f（3）=（0+3）=f（0）=0，

∴f

（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=﹣f

（1），

∴f

（1）+f

（2）+f（3）=f

（1）﹣f

（1）+0=0

故选：

A．

【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．

6．对任意的x∈R，定义在R上的奇函数f（x）满足：

f（x+3）=﹣f（x+4），则f（1000）=（　　）

A．﹣1B．1C．0D．1000

【分析】由题意可得，f（x）=﹣f（x+1），故f（x）=f（x+2），即函数f（x）是周期等于2的周期函数，故有f（1000）=f（0）=0．

【解答】解：

∵定义在R上的奇函数f（x）满足：

f（x+3）=﹣f（x+4），

∴f（x）=﹣f（x+1），f（x）=f（x+2），即函数f（x）是周期等于2的周期函数．

∴f（1000）=f（0）=0，

故选：

C．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，求函数的值，属于中档题．

7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（　　）

A．1B．0C．﹣2D．2

【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f

（1），f

（2），f（3），f（4）的值，即可求解．

【解答】解：

∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），

∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．

∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，

∴f（0）=0，f

（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f

（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，

∴f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2017）=504•[f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）

=504×（﹣2+0+2+0）+f

（1）=0+（﹣2）=﹣2，

故选：

C．

【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．

8．已知定义在R上的函数f（x）满足：

f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），f

（1）=2．则f（﹣2）=（　　）

A．2B．4C．8D．16

【分析】先计算f（0）=0，再得出f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，令g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）为奇函数，通过计算g（﹣2）得出f（﹣2）的值．

【解答】解：

令x=y=0得f（0）=2f（0），∴f（0）=0，

再令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，

令g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，

∴g（x）=f（x）﹣2x2是奇函数，

∵f

（2）=2f

（1）+4=8，∴g

（2）=f

（2）﹣8=0，

∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣8=0，

∴f（﹣2）=8．

故选：

C．

【点评】本题考查了抽象函数的性质应用，奇函数的判断与性质，属于中档题．

二．填空题（共2小题）

9．定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2016）﹣f（2015）=　﹣

　．

【分析】求出函数的周期，利用函数的周期以及函数的奇偶性，转化求解函数值即可．

【解答】解：

对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可知函数的周期为：

4．

当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，在R上的奇函数f（x），f（0）=0，

则f（2016）﹣f（2015）=f（0）﹣f（﹣1）=0﹣2﹣1=﹣

．

故答案为：

．

【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．

10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x+4），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣17），f（27），f（64）的大小关系从小到大的排列顺序为　f（﹣17），f（64），f（27）　．

【分析】先由f（x）是奇函数且f（x+4）=﹣f（x）转化得到f（x+8）=f（x），然后按照条件，将问题转化到区间[0，2]上应用函数的单调性进行比较．

【解答】解：

∵f（x）=﹣f（x+4）

∴f（x+8）=f（x）

∵f（x）是奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0

∴f（﹣17）=f（﹣9）=f（﹣1）=﹣f

（1）

f（27）=f（19）=f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f

（1）

f（64）=f（0）=0

∵f（x）在区间[0，2]上是增函数

∴f

（1）＞0，﹣f

（1）＜0

∴f（27）＞f（64）＞f（﹣17）

故答案为：

f（﹣17），f（64），f（27）

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．

三．解答题（共6小题）

11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]时，f（x）=

．

（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；

（2）判断f（x）在[0，2]上的单调性，并给予证明；

（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？

【分析】

（1）由条件可得函数的周期为4，设x∈[﹣2，0），则﹣x∈（0，2]，根据f（﹣x）=

=

=﹣f（x），求得f（x）=

．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，从而求得可得，f（x）在[﹣2，2]上的解析式．

（2）根据f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）=1﹣

＞0，且f（x）随着x的增大而增大，可得f（x）在[0，2]上是增函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．

（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[﹣2，2]上的值域，再利用函数的单调性求得函数f（x）在[﹣2，2]上的值域．

【解答】解：

（1）∵奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），故函数的周期为4．

由于x∈（0，2]时，f（x）=

，设x∈[﹣2，0），则﹣x∈（0，2]，故f（﹣x）=

=

=﹣f（x），

∴f（x）=

．

再根据奇函数的定义可得f（0）=0，可得，f（x）在[﹣2，2]上的解析式为f（x）=

．

（2）在[0，2]上，f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）=

=1﹣

＞0，

且f（x）随着x的增大而增大，故f（x）在[0，2]上是增函数．

证明：

设0≤x1＜x2≤2，则由f（x1）﹣f（x2）=[1﹣

]﹣[1﹣

]=

＜0，可得f（x1）＜f（x2），

故f（x）在[0，2]上是增函数．

（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[﹣2，2]上的值域．

利用函数的单调性求得函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为{λ|y=0，或

＜λ≤

，或﹣

≤λ＜﹣

}，

故λ的范围为：

{λ|y=0，或

＜λ≤

，或﹣

≤λ＜﹣

}．

【点评】本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式和函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．

12．若函数f（x）对任意实数x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f

（1）=﹣2；

（1）求证：

f（x）为奇函数：

（2）求证：

f（x）是R上的减函数：

（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值：

（4）解不等f（x﹣4）+f（2﹣x2）≤16．

【分析】

（1）先令x=y=0得f（0）=0，再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x）；

（2）直接运用函数单调性的定义和作差法证明；

（3）运用单调性求函数的最值；

（4）应用函数的奇偶性和单调性解不等式．

【解答】解：

（1）因为实数x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），

令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），所以，f（0）=0，

再令y=﹣x得，f（0）=f（x）+f（﹣x），所以，f（﹣x）=﹣f（x），

故f（x）为奇函数；

（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＞x2，

f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+（x2）]﹣f（x2）

=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）

因为x1﹣x2＞0，所以f（x1﹣x2）＜0，

因此，f（x1）＜f（x2），

故f（x）为R上的单调减函数；

（3）因为函数f（x）在R上单调递减，

所以，f（x）min=f（4），f（x）max=f（﹣3），

又因为f

（1）=﹣2，所以f（4）=f

（2）+f

（2）=4f

（1）=﹣8，

f（﹣3）=﹣f（3）=﹣[f

（1）+f

（1）+f

（1）]=6，

所以，函数在[﹣3，4]上的最大值为6，最小值为﹣8；

（4）因为f（8）=f（4）+f（4）=﹣16，所以，f（﹣8）=16，

所以，原不等式可化为：

f[（x﹣4）+（2﹣x2）]≤f（﹣8），

即，（x﹣4）+（2﹣x2）≥﹣8，

即x2﹣x﹣6≤0，解得x∈[﹣2，3]，

即该不等式的解集为：

[﹣2，3]．

【点评】本题主要考查了抽象函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式，属于中档题．

14．若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．

（1）求证：

f（x）＞0；

（2）求证：

f（x）为R上的减函数；

（3）当

时，对a∈[﹣1，1]时恒有

，求实数x的取值范围．

【分析】

（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f（x）＞0；

（2）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；

（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．

【解答】解：

（1）证法一：

f（0）•f（x）=f（x），

即f（x）[f（0）﹣1]=0，

又f（x）≠0，

∴f（0）=1

当x＜0时，f（x）＞1，

则﹣x＞0，

∴f（x）•f（﹣x）=f（0）=1，

则

．

故对于x∈R恒有f（x）＞0．

证法二：

，

∵f（x）为非零函数，

∴f（x）＞0

（2）令x1＞x2且x1，x2∈R，

有f（x1）•f（x2﹣x1）=f（x2），

又x2﹣x1＜0，

即f（x2﹣x1）＞1

故

，

又f（x）＞0，

∴f（x2）＞f（x1）

故f（x）为R上的减函数．

（3）

故

，

则原不等式可变形为f（x2﹣2ax+2）≤f

（2）

依题意有x2﹣2ax≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，

∴

或x≤﹣2或x=0

故实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．

14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）

（1）求证：

f（

）=f（x）﹣f（y）；

（2）证明：

函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；

（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a﹣1）+2，求a的取值范围．

【分析】

（1）需要特别注意构造方法，x=y•

即可．

（2）抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法，构造出

∈（0，1），可应用已知得f（

）＞0，进而根据函数单调性的定义得到结论．

（3）根据若f（3）=1，f（9）=2，根据运算法以及单调性求得a的范围．

【解答】解：

（1）证明：

由题意得：

f（x）=f（y•

）=f（y）+f（

），

故f（

）=f（x）﹣f（y）．

（2）证明：

设0＜x1＜x2，

∴f（x1）=f（

）=f（x2）+f（

），

∵当x∈（0，1）时f（x）＞0，

∵

∈（0，1），∴f（

）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；

（3）若f（3）=1，

∴f（9）=2，

∴f（a）＜f（a﹣1）+f（9）=f（9（a﹣1）），

∴a＞9（a﹣1），

∴1＜a＜

．

【点评】本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式．