中考数学解直角三角形练习.docx
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中考数学解直角三角形练习
第二课时（勾股定理、解直角三角形及有关知识解决实际问题）
课标要求
1、熟悉勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题。
2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
中招考点
1、用勾股定理解决实际问题。
2、直角三角形的基本解法（运用三角函数、勾股定理）。
3、运用解直角三角形知识解决与生活、生产相关联的应用题。
典型例题
A
A/
B/BC
图19-9
［例1］如图19-9，在垂直于地面的墙上2m的点A斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，求梯子在地面上滑出的距离BB/的长度。
分析：
BB/的长度应等于B/C的长度减去BC的长度。
因为在Rt∆ABC中，已知斜边AB和直角边AC的长，由勾股定理可求得BC的长，又由AA/=0.5m，A/B/=AB，再次运用勾股定理可求出B/C的长。
解：
因为∠ACB=900，AB=2.5m，AC=2m，所以BC=
=1.5（m）
所以A/C=2-0.5=1.5（m），A/B/=AB=2.5（m）
∴B/C=
=2（m）
∴B/B=B/C-BC=2-1.5=0.5（m）.
评注:
本题在理解题意的基础上，抓着梯子的长度不变，两次使用勾股定理，使问题得到解决。
［例2］如图19-10，已知在∆ABC中，∠ACB＝900.AB=5cm，BC=3cm.CD⊥AB于D，求CD的长。
分析：
先运用勾股定理求AC，再根据S∆ABC=
AB·CD=
AC·BD，求出CD之长。
C
BDA
图19-10
解：
因为∆ABC是直角三角形，AB=5，BC=3
由勾股定理有AC2=AB2-BC2
∴AC=
=4
又S∆ABC=
AB·CD=
BC·AC得
CD=
（cm）.
所以CD的长是
cm。
评注:
已知直角三角形任意两边长或两边关系及第三边的长，就可以求出三角形的未知边长，并可运用面积关系式求出斜边上的高（即弦高公式：
两直角边的积等于弦与弦上高的积）。
［例3］在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。
如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？
［分析］根据题意画出图形。
在直角三角形中运用勾股定理求解。
D
B
A
C20
图19-11
解：
如图19-11，D为树顶，AB=10m，C为池塘，AC=20m。
设BD的长为xm，则树高为（x+10）m.
因为AC+AB=DB+DC
所以DC=AC+AB-DB=20+10-x=30-x
在∆ACD中，∠A＝900。
所以AC2+AD2=DC2
故202+（x+10）2=（30-x）2。
解得x=5
所以x+10=15.即这一棵树的高为15m.
评注:
把实际问题变成几何问题，先画出符合题意的图形，设出某线段的长度，列出方程（组）来求解。
B
ca
AbC
图19-12
［例4］如图19-12所示，在∆ABC中，∠C＝900，a=3
，c=6
，解这个三角形。
解：
b2=c2-a2=（6
）
-（3
）
=81
∴b=9
又因为sinA=
所以∠A＝300.
又因为∠A+∠B＝900.所以∠B＝600.
∴b=9.∠A＝300.∠B＝600.
评注:
⑴弄清直角三角形的边角关系是解直角三角形的关键。
⑵在应用边角关系求未知边时，应尽是使用已知量，要避免使用中间求出的量，以便减少误差。
⑶已知两边解直角三角形的思路：
①已知两直角边a、b，直角三角形解法为c=
由tanA=
得∠A，∠B=900-∠A。
②已知一直角边a和斜边c，直角三角形解法为b=
由sinA=
得∠A，∠B=900-∠A。
⑷已知一边和一锐角解直角三角形的思路：
①已知一条直角边a和一个锐角A，直角三角形的解法是：
∠B=900-∠A，c=
b=acotA（或b=
）②已知斜边c和一个锐角B，直角三角形的解法是：
已∠A=900-∠B，b=csinB,a=ccosB（或a=
）。
⑸要特别注意：
凡是“解直角三角形”的题目，除题目中的已知元素，须把所有的未知元素全部求出来。
［例5］某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图19-13所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境。
已知∠B=300，∠C=450，AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？
A
20米
300450
BDC
图19-13
分析：
要求草皮的费用，关键是求S△ABC.故过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形分别求出AD、BD、CD即可。
解：
作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B=300
∴AD=
AB=10m
∴BD=
m
在Rt△ADC中，cotC=
DC=AD·cot450=10m.
∴S△ABC=
（BD+CD）·AD=
（10
+10）×10=50（
+1）（m2）
∵每平方米售价为a元，
∴共需要50（
+1）a元
评注:
采用“分割法”来构造直角三角形是解决问题的关键，但要特别注意，不要破坏题目中的已知条件。
（即不能从B、C两点作高）。
［例6］某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图19-14，从山底B到山顶A的坡角是300，斜坡AB长为100米，根据地形，要求修好的公路路面BD的坡比=1：
5，为了减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖修建公路；若AD＞20米，就要重新设计，问这段公路是否需要重新设计？
A
D
i=1:
5
BC
图19-14
［分析］是否需要重新设计，需比较AD与20的大小关系。
即求出AD，由题意.AD=AC-CD.故先求出AC和CD。
解：
在Rt∆ABC中，∠ABC＝300.AB＝100
∴AC=
AB=50。
BC=
=50
在Rt∆BCD中，i=
.CD=10
∴AD=AC-DC=50-10
＞20.
故这条公路需要重新设计。
评注:
弄清名词术语的含义，画出正确的示意图，是解题的关键。
AC
图19-15
［例7］台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。
据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级。
该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往C移动。
且台风中心风力不变，如图19-15，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
⑴该城市是否会受到这次台风的影响？
请说明理由。
⑵若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
⑶该城市受到台风影响的最大风力为几级？
AC
F
D
E
B
图19-16
分析：
该城市是否会受到这次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风的影响。
因风力达到或超过4级称受台风影响，故可计算出该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度。
即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大。
解：
⑴如图19-16。
由点A作AD⊥BC，垂足为D。
因为AB=220.∠B=300.所以AD=
AB=110.
即点A距台风中心的最近距离为110km，由题意知，
当点A距台风中心不超过160km时，将会受到台风的影响。
故该城市会受到这次台风的影响。
⑵在BC上取两点E、F，使AE=AF=160，当台风中心从E处移到F处时，该城市都要受到这次台风的影响。
由勾股定理得，DE=
所以EF=60
（km）,因为台风中心以15km/h的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为
（h）
⑶当台风中心位于D处时，A市所受的这次台风的风力最大，其最大风力为12-
=6.5（级）
评注:
①此类题目联系生活实际，文字长，数据多，解题时要认真读题，理解题意，注意观察实践与想象，建立数学模型（画出图形）把抽象的问题转化为解直角三角形的问题。
②此题若换成噪音干扰或航海中遭遇暗礁或沙尘暴是否影响的问题。
解决问题的方法同上。
具体来讲，一是正确画出图形，弄清题意；二是判断会不会受影响的标准是点A到BC的距离是否大于半径。
［例8］今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。
一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东600方向上，前进100m到达B处。
又测得航标C在北偏东450方向上（如图19-17）。
在以航标C为圆，120m长为半径的圆形区域内有浅滩。
如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
（
≈1.73）
分析：
过C作CD⊥AB于D，求出CD的长。
若CD＞120m，则无危险；若CD＜120m，则有被浅滩阻碍的危险。
可设CD=x，利用Rt∆ACD、Rt∆CBD结合AB=100m求解。
北北
C
600450
ABD东
图19-17
解：
如图19-18，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x。
在Rt△ADC中，AD=CD·cot∠CAD=CD·cot300=
x.
在Rt△BDC中，BD=CD·cot∠CBD=CD·cot450=x。
所以AB=AD-BD=
x-x=（
-1）x=100
故CD=x=
=50（
+1）≈136.5（m）＞120m
所以，若船继续前进没有被浅滩阻碍和危险。
A
h
αβ
CaDB
图19-18
评注:
⑴这是一道现实生活会遇到的题目，解题的关键是弄清题意，将实际问题转化为数学模型，即转化为解直角三角形。
⑵此题型可归纳为一个基本图形，如图19-18，在Rt△ABC中，CB=ABcotα……①在Rt△ADB中，DB=AB·cotβ……②
由①-②得CB-DB=AB（cotα-cotβ）
居民楼
新楼
DA
320
BC
图19-19
即h=
［例9］如图19-19，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为320时，问：
①超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？
②若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据sin320≈
cos320≈
tan32
≈
）
分析：
①采光是否受影响即指此时太阳光能否照射到居民家中，即太阳光照射到居民楼的高度是否大于6m。
②要不受影响，太阳光线要正好照射到居民楼底，即图中C处。
AD
F320E
BC
图19-20
解：
①如图19-20，设CE=xm,则AF=（20-x）m。
在Rt△AEF中，tan320=
即20-x=15×tan320,解得x≈11
因为11m＞6m，所以居民住房的采光受影响。
②如图19-21在Rt△ABF中，tan320=
D
A
20
E
320
B15CF
图19-21
AB=20，则BF=
≈32
所以两楼应相距32m。
评注:
①解此类实际问题必须理解题意，学会建立数学模型，运用所学知识求解。
②如果题中没有给出sin320.cos320.tan320的函数值，同学们可以使用计算器求到解题过程中需要的值。
H
AD
BCG
图19-22
［例10］如图19-22，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平坦地带。
该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点都可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测角器。
①请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度HG的方案，具体要求如下：
⑴测量数据尽量少；⑵在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离用m表示；如果测C、D间距离用n表示，如果测角用α.β.γ表示）
②根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG（用字母表示，测角器高度忽略不计）。
解：
方案一：
①如图19-23-⑴（测三个数据α.β.n）
②解设HG=x，在Rt△CHG中，CG=x·cotβ
H
ADαM
n
β
BCG
图19-23-⑴
在Rt△DHM中，DM=（x-n）·cotα
∴x·cotβ=（x-n）·cotα
∴x=
方案二：
①如图19-23-⑵。
（测四个数据α.γ.m.n）
②设HG=x,在Rt△AHM中，AM=（x-n）·cotγ
在Rt△DHM中，
DM=（x-n）·cotα
∴（x-n）·cotγ=（x-n）·cotα+m
∴x=
H
AγDαM
m
n
BCG
图19-23-⑵
评注:
熟读题目、理解题意是解题的前提，设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来。
设计的方案要科学实用。
强化训练
一、填空题：
⒈在Rt△ABC中，斜边AB=2。
则AB2+BC2+CA2=_____________.
⒉若一直角三角形三边的长是三个连续的整数，那么这三边的长为_______________
⒊直角三角形三边长为x、3、4，则x=_____________
b
ad
图19-24
⒋等边三角形的边长是a㎝，则它的高等于________cm
⒌受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处断裂，大树顶落在离大树底部8m处，则大树折断之前高___________m
⒍如图19-24，要修建一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为_______________
⒎如图19-25所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm。
则正方形A、B、C、D的面积的和是____________。
BC
AD
7cm
图19-25
图19-26
CD
BFA
图19-27
⒏如图19-26，是2002年8月北京第二十四届国际数学大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积为52和4，则直角三角形的两条直角边长分别为___________
⒐Rt△ABC中，∠C＝900.若a=4,sinA=
则C=___________
⒑如图19-27，水坝横断面为梯形ABCD，迎水坝BC的坡角B为300，背水坡AD坡度为1：
1.5，坝顶宽DC=2米，坝高CF=4米，则坝底AB的长为_________背水坡AD长为_______。
A
D
BC
图19-28
⒒小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，如图19-28，量得CD=4m，BC=10m,CD与地面成300角，且此时测得1m杆的影长为2m。
则电线杆的高度约为_______m（结果保留两位有效数字，
≈1.41，
≈1.73）
⒓一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处，测得某灯塔位于它的北偏东300的B处（图19-29），上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是___________海里（结果保留根号）
二、选择题（四选一）
⒈把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（）
北B
300
AC东
图19-29
A.2倍B.
倍C.4倍D.3倍
⒉直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（）
A.12cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm2
⒊如图19-30△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=3，BC=2，则BD的长为（）
A.
B.
C.1D.
C
ADB
图19-30
⒋一个三角形的一边是2m，这边上的中线为m，另两边之和为m+
m，那么这个三角形的面积是（）
A.m2B.
m2C.
m2D.3m2
⒌如图19-31两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分面积为（）
A.sinαB.
C.
D.
α
图19-31
⒍如图19-32，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面作成角∠AMC=300，在教室地面的影长MN=2
米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（）
A
B
MNC
图19-32
A.2
米B.3米C.3.2米D.
米
⒎在距楼房30m的A处测楼房BC的高，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）m
A.30tanαB.
C.20sinαD.
MN
750450
ACB
图19-33
⒏如图19-33,在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为b米，梯子的倾斜角为450，这间房子的宽AB是（）
A.
米B.
米C.a米D.b米
三、解答下列各题
1、已知一个直角三角形的斜边长为2，两直角边长的和为
。
求这个直角三角形的面积。
2、在平静的湖面上有一支红莲高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m.求这里的水深是多少？
AB
CD
图19-34
3、如图19-34，已知∠ABC=∠BCD=900.AB=6，sinA=
CD=12,求∠D的四个三角函数值。
4、如图19-35，在△ABC中，∠A=300，tanB=
BC=
求AB的长
5、已知如图19-36所示，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
6、一艘渔船正以每小时30海里的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船的北偏东600，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300。
若以小岛C为中心周围10海里是危险区，问这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？
C
AB
图19-35
AD
E
BFC
图19-36
A
GC
BEDF
图19-37
7、如图19-37，城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2:
1，坝高CF=2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2m人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？
请说明理由。
B
D
AC
图19-38
8、如图19-38，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内。
她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为600，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为300。
已知小丽所在的电梯公寓高82米。
请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住的电梯公寓间的距离AC。
第25部分《解直角三角形》综合测试题A
一、填空题：
（每空2分，共30分）
1、sin2300+cos2300=___________
2、计算：
（sin300）-1-（cot600）0=______________
3、已知cosA-
=0，则锐角∠A=___________度
4、Rt△ABC中，∠C=900，AB=17，sinA=
，则BC=___________
C
BDA
图19-1
5、如图19-1，在△ABC中，∠ACB=900，BC=4，AC=5，CD⊥AB，
则sin∠ACD=_______，tan∠BCD=_________
6、在Rt△ABC中，∠C=900，b：
a=1：
，则cos（900-A）=_____________
B
CA
图19-2
7、如图19-2是河堤的横断面，堤高BC=5m，迎水斜坡AB的坡度为1：
2，那么AB的长为___________m
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是_________
9、已知直角三角形的两直角边之和为2
，面积为2，则该直角三角形的斜边长为_______
10、油田高级中学升国旗时，李明同学站在离旗杆底部12米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为450，若他的双眼离地面1.3米，则旗杆的高度是________米。
11、已知∠A为锐角，cotA=
则sin
=__________
12、用计算器计算cos350=__________（保留两个有效数字）
20米120030米
图19-3
13、一船向西航行，上午9时30分在小岛A南偏东300的B处，已知AB为60海里，上午11时整，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为____________
14、学校校园内有一块如图19-3所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资_____________元（精确到1元）
二、选择题（四选一）（每小题3分，共24分）
15、△ABC中，∠C=900，BC=2，AB=3，则下列结论中正确的是（）
A.sinA=
B.cosA=
C.sinA=
D.tanA=
16、在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且|sinA-
|+
=0，则△ABC的形状是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形
17、在△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（）
A.b=c·cosAB.b=a·sinBC.a=b·tanBD.b=c·cotA
18、已知∠A为锐角，且cosA≤
那么（）
B
D
A C
图19-4
A.00＜A≤600B.600≤A＜900C.00＜A≤300D.300≤A＜900
19、如图19-4，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tanα的值为（）
A.
B.
C.
D.
20、如图19-5，Rt△ABC中，∠C=900，D为BC上一点，
∠DAC=300，BD=2，AB=2
则AC的长是（）
A.
B.2
C.3D.
A
α
β
C
BD
图19-6
A
CDB
图19-5
B
3
4
A6
图19-7
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