完整版初三中考数学函数综合题汇总.docx

完整版初三中考数学函数综合题汇总.docx

《完整版初三中考数学函数综合题汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版初三中考数学函数综合题汇总.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版初三中考数学函数综合题汇总

（完整版）初三中考数学函数综合题汇总

1．（2021上海）已知抛物线

过点

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A在直线

上且在第一象限内，过A作

轴于B，以

为斜边在其左侧作等腰直角

．

①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标．

2．（2020上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣

x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A．

（1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=

，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

3．（2019上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”

①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.

4．（2018上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣

x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，

），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

5．（2017上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

6．（2016上海）如图，抛物线

（

）经过点

，与

轴的负半轴交于点

，与

轴交于点

，且

，抛物线的顶点为

．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结

、

、

、AB，求四边形

的面积；

（3）如果点E在

轴的正半轴上，且

，求点E的坐标．

7．（2015上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2

.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）用含m的代数式表示线段CO的长；

（3）当tan∠ODC=

时，求∠PAD的正弦值.

8．（2015上海）已知：

如图，在平面直角坐标系

中，正比例函数

的图像经过点

，点

的纵坐标为

，反比例函数

的图像也经过点

，第一象限内的点

在这个反比例函数的图像上，过点

作

轴，交

轴于点

，且

．

求：

（1）这个反比例函数的解析式；

（2）直线

的表达式．

参考答案：

1.【答案】

（1）

；

（2）①1；②点C的坐标是

【解析】

【分析】

（1）将

两点分别代入

，得

解方程组即可;

（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.

【详解】

解：

（1）将

两点分别代入

，得

解得

．

所以抛物线的解析式是

．

（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点

重合时，

，

作

于H．

∵

是等腰直角三角形，

∴

和

也是等腰直角三角形，

∴

，

∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由

，得

解得

∴直线

的解析式为

，

设

，

∴

，

所以

．

所以

．

将点

代入

，

得

．

整理，得

．

因式分解，得

．

解得

，或

（与点P重合，舍去）．

当

时，

．

所以点C的坐标是

．

【点评】

本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．

2.【答案】

（1）5

；

（2）y=﹣

x2+

x；（3）﹣

＜a＜0．

【解析】

【分析】

（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；

（2）设点C（m，-

m+5），则BC=

|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．

【详解】

（1）针对于直线y=﹣

x+5，

令x=0，y=5，

∴B（0，5），

令y=0，则﹣

x+5=0，

∴x=10，

∴A（10，0），

∴AB=

=5

；

（2）设点C（m，﹣

m+5）．

∵B（0，5），

∴BC=

=

|m|．

∵BC=

，

∴

|m|=

，

∴m=±2．

∵点C在线段AB上，

∴m=2，

∴C（2，4），

将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y=ax2+bx（a≠0）中，得

，

∴

，

∴抛物线y=﹣

x2+

x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，

∴b=﹣10a，

∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a（x﹣5）2﹣25a，

∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），

将x=5代入y=﹣

x+5中，得y=﹣

×5+5=

，

∵顶点D位于△AOB内，

∴0＜﹣25a＜

，

∴﹣

＜a＜0．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．

3.【答案】（l）抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是（1，－1），抛物线的变化情况是：

抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；

（2）①（0，0）、（3，3）；②新抛物线的表达式是y＝（x＋1）2－1.

【解析】

【分析】

（1）

，故该抛物线开口向上，顶点

的坐标为

；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为

，则

，即可求解；②新抛物线顶点

为“不动点”，则设点

，则新抛物线的对称轴为：

，与

轴的交点

，四边形

是梯形，则直线

在

轴左侧，而点

，点

，则

，即可求解.

【详解】

（l）

，

抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是（1，－1），

抛物线的变化情况是：

抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.

（2）①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为（t，t）.

则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.

所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是（0，0）、（3，3）.

②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为（m，m）

∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C（m，0）

∵四边形OABC是梯形，

∴直线x＝m在y轴左侧.

∵BC与OA不平行

∴OC∥AB.

又∵点A的坐标为（1，一1），点B的坐标为（m，m），

m＝－1.

∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的，

∴新抛物线的表达式是y＝（x＋1）2－1.

【点睛】

本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

4.【答案】

（1）抛物线解析式为y=﹣

x2+2x+

；

（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，

）或（0，﹣

）．

【解析】

【详解】

【分析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）利用配方法得到y=﹣

（x﹣2）2+

，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，

﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，

﹣t），然后把P（2+t，

﹣t）代入y=﹣

x2+2x+

得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；

（3）P点坐标为（4，

），D点坐标为（2，

），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到

•（m+

+2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到

•（﹣m+

+2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．

【详解】

（1）把A（﹣1，0）和点B（0，

）代入y=﹣

x2+bx+c得

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣

x2+2x+

；

（2）∵y=﹣

（x﹣2）2+

，

∴C（2，

），抛物线的对称轴为直线x=2，

如图，设CD=t，则D（2，

﹣t），

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，

∴∠PDC=90°，DP=DC=t，

∴P（2+t，

﹣t），

把P（2+t，

﹣t）代入y=﹣

x2+2x+

得﹣

（2+t）2+2（2+t）+

=

﹣t，

整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，

∴线段CD的长为2；

（3）P点坐标为（4，

），D点坐标为（2，

），

∵抛物线平移，使其顶点C（2，

）移到原点O的位置，

∴抛物线向左平移2个单位，向下平移

个单位，

而P点（4，

）向左平移2个单位，向下平移

个单位得到点E，

∴E点坐标为（2，﹣2），

设M（0，m），

当m＞0时，

•（m+

+2）•2=8，解得m=

，此时M点坐标为（0，

）；

当m＜0时，

•（﹣m+

+2）•2=8，解得m=﹣

，此时M点坐标为（0，﹣

）；

综上所述，M点的坐标为（0，

）或（0，﹣

）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.

5.【答案】

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．

（2）cot∠AMB=m﹣2．

（3）点Q的坐标为（

，﹣

）或（

，﹣

）．

【解析】

【详解】

试题分析：

（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；

（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；

（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣

=1，即

=1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

将A（2，2）代入得：

﹣4