数形结合思想在小学低段数学教学中的应用 毕业论文.docx

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数形结合思想在小学低段数学教学中的应用毕业论文

二〇一三年五月

摘要

通过研究数形结合思想及其历史演进，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，再结合个案分析来深刻体会数形结合在小学低段教学中的应用，在实际的数学学习过程中，帮助学生形成概念，理解算理，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造性思维能力，并使学生通过应用数形结合思想解决实际问题。

关键词：

数形结合；低段数学；低年级学生

Abstract

Throughthestudyofnumberformcombiningthoughtanditshistoricalevolution,bondinganddeepunderstandingofthecontentandformofnumberandshapeitsroute,incombinationwithcaseanalysistodeeplyunderstandthenumbershapeunionapplicationinprimaryschoolteaching,inrealmathematicallearningprocess,helpstudentsformaconcept,understandthealgorithm,trainingstudentsintuitionthinking,divergentthinkingabilityandthecreativethinkingabilityofstudents,andmakethestudentsthroughtheapplicationofnumbershapeunionthinkingtosolvepracticalproblems.

Keywords:

numbershapeunion;lowsectionofmathematics;lowgradestudents

一、数形结合思想…………………………………………………………………1

（一）数形结合思想概述…………………………………………………………1

（二）数形结合思想的历史演进…………………………………………………1

二、小学低段数学教学中运用数形结合思想的意义及其作用…………………2

（一）有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念…………………2

（二）使计算中的算式形象化，帮助学生理解算理……………………………3

（三）应用“数形结合”思想，能够提高学生的能力…………………………3

1、“数形结合”有助于小学低年级学生对数学知识的记忆…………………4

2、应用“数形结合”，训练小学低段学生数学直觉思维能力………………4

3、应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力……………………………4

4、应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力…………………………5

（四）应用“数形结合”，解决数学实际问题……………………………………5

三、数形结合思想在小学低段数学教学中的应用的个案研究…………………6

（一）一年级上册认识数与物……………………………………………………6

（二）二年级第一册“乘法的引入”……………………………………………7

（三）三年级上册分数的初步认识………………………………………………7

结论…………………………………………………………………………………9

参考文献……………………………………………………………………………10

致谢…………………………………………………………………………………11

学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。

课堂教学应充分让学生去想、去说、去做，逐步养成从直观到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从未知到已知的思维习惯，逐步学会自觉运用数学思想、数学方法来思考、解决问题。

课堂上要留给学生充足的思维时间和空间，启发学生积极思维，主动探索，独立思考，让学生亲自经历知识的形成过程。

这是我们在新课程改革进程中所达成的共识。

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形少数时难入微。

形象说明了数形结合的重要性，指出了数学问题从数形相联系中入手。

一、数形结合思想

（一）数形结合思想概述

数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。

“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。

数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。

我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。

“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。

华罗庚教授对此有精辟概述：

“数无形，少直观；形无数，难入微。

”因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化成数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。

（二）数形结合思想方法的历史演进

数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”。

在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。

中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。

“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。

早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。

“形”推动了“数”的发展。

这是早期“数”与“形”相结合的体现。

古希腊亚历山大时期的欧几里得，运用公理化方法写了千古流芳的著作——《几何原本》，使最早的数学发展以几何学为主要特征。

这时期从几何的研究上去处理等价的代数问题是很自然的。

对于代数法则进行几何证明，或对代数中创造的结果通过几何去进行验证的思想方法，在代数发展的历史上经历了漫长的岁月，在这个时期数形结合思想促进了代数学的产生和发展。

数轴的建立使人类对形与数的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化。

在此基础上，笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系（二维），把有序数对Ｐ（Ｘ，Ｙ）与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。

于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数研究，从而诞生了《解析几何》学科。

笛卡尔创立了解析几何学，并在数学中引入了“变量”，完成了数学史上的一项划时代的变革。

为此恩格斯给予了很高的评价：

“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。

”

继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。

数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。

形的概念的本身也在数量关系的描述下不断发展，正如拉格朗日所说：

“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。

数形结合也是数学学科分支建立的内驱力。

可以说，从认识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。

二、小学低段数学教学中运用数形结合思想的意义及其作用

（一）有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念

建构主义认为学生学习活动的本质是：

学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。

学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。

其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。

而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。

这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。

我在实习过程中，观摩过一节实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？

学生自然会用同数相加的方法来表示。

接着，教师一边出示课件一边提出：

“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？

”学生一片哗然：

“哦！

算式太长了，本子都写不下呢。

”这时，建立乘法概念水到渠成！

数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。

从学生的思维活动过程来看：

在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的图像，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。

在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。

（二）使计算中的算式形象化，帮助学生理解算理

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。

但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。

我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？

在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。

”根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

如，在教学“分数加分数”时，课始创设情境：

小明过生日，他吃了这个蛋糕的1/8,妈妈吃了这个蛋糕的1/8,他们两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？

在引出算式1/8+1/8后，教师采用三步走的策略：

第一，学生独立思考后用图来表示出1/8+1/8这个算式。

第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。

学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/8+1/8这个算式所表示的意义。

第三，全班点评、展示、交流。

像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。

（三）应用“数形结合”，提高学生的能力

对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。

右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。

左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。

“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。

1、“数形结合”有助于小学低年级学生对数学知识的记忆

“记忆是智慧的仓库”。

人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。

小学低段教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。

记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。

有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。

只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。

教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和印象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。

例如为了让一年级学生牢固掌握数字1～9的字形，教师将数与形渗透到数学课堂中。

把1～9的字型形象画在黑板上并结合顺口溜进行形象教学：

“1像粉笔、2像鸭子……”。

由于这些动物或物品都是孩子们生活中经常闻见接触的，比喻也形象生动，这就使教学内容充满了生活情趣和情感色彩。

在学生认清数形后进一步概括抽象使学生理解数学所蕴含的抽象意义，懂得“2”是一种数字而不是鸭子。

2、应用“数形结合”，训练小学低段学生数学直觉思维能力

在数学里，存在着大量的直觉思维。

这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。

它具有顿悟、飞跃的特征。

例如，在教学100以内的数的认识时，学生大多对100以内的数顺背、倒背如流，看上去掌握得很不错。

于是一位教师出示了这样一道题考考学生：

66接近70还是60呢？

结果却发觉好多学生都不会。

分析其原因主要是有些学生只是机械地会背这些数，关于数的顺序、大小等方面的知识其实掌握不佳，因而需要教师创设一定的情境让学生进一步感知和学习的。

于是教师在黑板上画了一条数轴，称它是一条带箭头的线，在数轴上逐一标出60～70，将抽象的数在可看得见的线上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，这样就有助于学生理解数的顺序、大小。

3、应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力

发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。

在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。

4、应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力

目前，推行素质教育已成为教育发展的主流。

对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要，是思维的最高境界。

只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。

在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究、去探讨、去发现。

让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。

在教学平面图形的时候，教师布置学生自己预习要学的平面图形有哪些，各是什么样子的，有什么特征？

刚一开始，学生们非常投入的看起书来，不一会儿，注意力就从当前的学习任务上转移开来。

这时候教师发现这个苗头，就及时调整了任务，教师说：

“同学们，我们都熟悉了那些平面图形，你能否用这些图形组成一幅画呢？

大家动手拼一下，看看谁拼的画最美丽，然后拿到前面来展示一下，并且向大家介绍你所拼组的图画有哪些平面图形组成？

”学生的兴趣立刻被激发起来，不一会儿，学生的作品就完成了，有的用三角形，长方形，圆形，正方形拼成了一把宝剑；有的组成了一所学校；有的组成了一艘轮船，还有的组成汽车，大炮。

真是五花八门，丰富多彩。

在此同时，学生加深了对这些平面图形的认识，圆满地完成了学习任务。

（四）应用“数形结合”，解决实际问题

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。

在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。

如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。

先模拟植树，得出线上植树的三种情况。

“___”代表一段路，用“\”代表一棵树，画“\”就表示种了一棵树。

让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？

学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？

师反馈，实物投影学生摆的情况。

师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：

①\___\___\___\两端都种

②\___\___\___\___或___\___\___\___\一端栽种

③___\___\___\___\___两端都不种

师生共同小结得出：

两端都种：

棵数＝段数＋1；一端栽种：

棵数=段数；两端都不种：

棵数=段数—1。

本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。

许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。

让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。

三、数形结合思想在小学低段数学教学中的个案研究

（一）一年级上册认识数与物

在一年级的教学过程中，大多是根据图形的呈现来解决抽象的数学问题，但有时利用“数”来指导“形”，可以使图形的教学更严谨、更科学，学生对图形的认识更全面。

例如在教学中认识常见的平面图形和立体图形后，在练习册中出现数线段和数角的题目。

图中的线段的条数多时难度就大了。

教师应该引导学生有序地数，从左边的第一个点出发有几条线段，从第二个点出发有几条线段……依次类推。

也可引导学生这样数：

有一条基本线段组成的线段有几条，有两条基本线段组成的线段有几条……依次类推。

在有序的数数中得到正确答案。

用算术的方法既克服了数线段的繁琐，又提高了正确率。

同样地，以一年级上册“认识物体”为例，教学目标是学生会认长方体、正方体、球等一些基本的立体图形。

教师除了教学生认识这些图形外，还可以让他们数一数这些图形有几个尖尖的点（就是顶点）、几条线（就是棱）、几个面。

经常在教学中渗透数形结合的思想，就会在学生头脑中播下了形与数有密切联系的种子，久而久之，学生也就会逐渐体会到数学中形与数之间的无限魅力。

在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。

在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。

（二）二年级第一册“乘法的引入”

二年级数学第一册中《乘法的引入》，用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。

二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。

在实习中我听过一节实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？

学生自然会用同数相加的方法来表示。

接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：

“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？

”学生一片哗然：

“算式太长了，本子都写不下了。

”这时，建立乘法概念水到渠成。

教师归纳：

可用乘法算式表示——船的条数乘一条船的人数或者用一条船上的人数乘船的条数。

数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。

　　由此可以看出，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性。

教师对教材的加工，把6条小船增加到20条，30条，甚至100条船，使学生产生更为强烈的认知冲突，感悟到乘法的简便。

教师引领学生边观察边数，一个3，两个3……一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果。

其次，从学生的思维活动过程来看：

在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。

教学实践证明：

在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。

（三）三年级上册分数的初步认识

分数的初步认识，对于学生来说是比较抽象的。

学生第一次接触分数的知识，是在整数认识的基础上进行的，是数的概念的一次扩展。

对学生来说，理解分数的意义有一定的困难，课堂教学中数形结合可以更好地帮助学生掌握、理解分数的概念。

在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。

在人教版教材中，例1通过两个学生平分月饼的情境，引入分数，使学生知道：

把一块月饼平均分成两块，每块是这块饼的一半，也就是它的二分之一，写作1/2。

在此基础上，把月饼平均分成四块，让学生通过迁移来推想：

每块是这块月饼的几分之一，该怎样写。

认识了上面分数后，教材初步进行抽象、概括，说明像这样的数都是分数，但不给出分数的定义。

例2通过让学生折出一个正方形的1/4，进一步体会几分之一的含义。

折出一个正方形的1/4，有多种折法。

教材呈现了三个学生各自不同的折法。

小精灵还提出：

“还有别的折法吗？

”鼓励学生进行探讨，加深对1/4的理解，同时培养交流意识和动手实践的能力。

结论

数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普遍适用的方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和观点。

它能使人们领悟数学的真谛，懂得数学价值，学会数学地思考和解决问题。

它能把知识的学习、能力的培养和智力的发展有机地结合起来。

因此数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。

实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。

本文所说的数形结合是借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系，它是“数形结合”思想方法的雏形。

本文结合教学实际，分析了小学低段数学教学中如何运用数形结合的方法来帮助学生感知、生成、深化数学知识的。

数形结合思想作为数学思想的一大“主梁”体现在整个数学的教学及学习中，结合具体的小学低段的数学问题来选择合适的数形结合思想方法是本课题的重点内容。

如何结合具体的数学问题来选择正确的数形结合思想方法则就是一个难点问题。

本课题的创新点在于根据数形结合思想在小学低段数学教学中的具体运用，发现了其对低段小学生发挥的积极作用以及产生的意义。

“数”的思考、“形”的创设，既有效地提高了学生的智力水平，同时，又融情于景，恰到好处的进行了情感教育。

总之，在小学低段数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学充满乐趣，相