电大专科高等数学基础复习及答案.docx
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电大专科高等数学基础复习及答案
电大专科2332高等数学基础复习及答案
2332高等数学期末复习指导
高等数学基础复习指导注意:
1本次考试题型分为单选（20=4分*5）填空（20=4分*5）计算题（44=11分*4）应用题（16=16
分*1）
2复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟
悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。
3复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。
第一部分（详细解答）
一（填空题
x，41（函数的定义域为xx,,12且。
y,ln
（1）x,
x，,40,,,x4,
,x,,10解:
且,,,,xx12x,1,,
,ln10x,,，，x,,11,,
ln
（1）x，2（函数的定义域是。
,,12xy,24,x
x，,10x,,1,,解:
,,,,12x,,2,,,22x40,,x,,
x，23（函数的定义域是。
xx,,,23且y,x,3
xx，,,,202,,解:
,,xx,,,303,,
22f（x）,4（设，则。
xx,，46fxx
（2）2，,,
2xt，,2xt,,2解:
设，则且原式fxx
（2）2，,,
22ftt（）22,,,即,tt,，42，，
2fx（）,亦即xx,，42
4,x,,4
（1）,0,,xxfx（）,x,0k4（若函数在处连续，则=e。
kx,0,,
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2332高等数学期末复习指导
函数fx在x=0连续,lim则ffx,0，，，，，，x0,
41,，,4，，,4xxlimlim1limfxxxe,,,,,1，，，，，，xxx,,000,
fk（0）,
4？
ke
xx,05（曲线在处的切线方程为。
yx,,,1ye,
曲线在点处的切线方程为yyyxx,,,yfx,xy,，，，，，，0000x0
x0,解:
，ye1,,,,xye,,,01时，，，000x,0x,
，yxyx,,,,,,,,1（0）1
ln（3）x，6.函数的连续区间为。
y,,,,，,3,1,1,，，，，x，1
初等函数在其定义区间连续。
x，,30ln（3）x，,x,,3x,,1y,且,,,，,3,1,1,,,,，，，，,x，1x，,10,
7（曲线在点（1,0）处的切线方程为。
yx,lnyx,,1
1,,yx解:
,,ln1,，，xxx,,,111x
yxyx？
,,,,,，，0111
1dy,fxdx'（ln2）8.设函数yfx,（ln2）可导，则。
x
1dyydx,'解:
,,fxxdx'（ln2）2'fxdx（ln2）'fxxdx'（ln2）ln2'，，，，,,2x
11fxdx'（ln2）,fxxdx'（ln2）2',，，x2x
132yxxx,,，239.（判断单调性、凹凸性）曲线在区间内是单调递减且凹。
2,3，，3
2,,解:
yxxxxxy,,，,,,,,,,4331,230当时，曲线下降，，，，
,,,yxy,,,,20,4曲线是凹的
22,f（f（x））,10（设，则。
41x，fxx（）1,，
222,fxxx'（）1'2,，,ffxfxxx（（））22141,,，,，解:
，，，，，，，，
1311（0。
xxdx（1cos）,,,,1
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3解:
是奇函数;是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数，1cos,xx1cos和x
3因为奇偶,奇，所以是奇函数，是对称区间x，,1,11cos,x，，,,
奇函数在对称区间上的积分为零
12212（。
xxxdx
（1）,，,,,13
2解:
xxxdx
（1）,，,
（1）xxxdx,，,xdxxxdx,，1,,,,,,,,1111
122是奇函数（奇偶,奇），故;，xxdx10，,xx1，,,1
2,,,而是偶函数，故xdxxdxx2x,,0,1033
fx（ln3）,13（设，则。
Fxfx（）（）,dx,FxCln3，，，,x
11,,解:
？
,ln3ln3ln3xdxxdxdx，，，，xx
1fxdxfxdxFxC（ln3）ln3ln3ln3,,，，，，，,,x
122,xfxdx
（1）,,14（已知Fxfx（）（）,，则。
FxC,，1，，,2
解:
xfxdxfxxdxfxdxFxC
（1）12111,,,,,,,,，，，，，，，，，，，,,,222
fxxdx（sin）cos,15（设Fx（）fx（）为的原函数，那么。
FxCsin，，，,
fuduFuC,，cossinxdxdx,Fx（）fx（）分析:
为的原函数，,，，，，,
fxxdxfxdxFxC（sin）cossinsinsin,,，解:
，，，，,,
sinx,sinxfx（）16（设的一个原函数是,则fx（）,。
,sinxfx（）Fx（）fx（）Fx'（）fx（）,解:
的一个原函数为,,,sin''xcos'x,,，，，，
0,,xxcos2Fx（）,17（，那么。
Fxttdt（）cos2,,x
,xx,解:
ftdtfx,,,,,,Fxttdtxx（）cos2cos2，，，，，，，，,,0a
0d,2t2,x,tedt18（_______,xe__________。
，，,xdx
0xdd,2,t2t2,x,,,tedttedt解:
xe，，，，,,0xdxdx
x,,1,sint,F（）,19（设，则e。
Fxedt（）,,02
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,x,sin,,,,,,sinsin1tx2,,FxedteFee,,,,,解:
，，,,，，,02,,
0d2220（cos=。
tdt,cosx,xdx
0xdd222coscos解:
tdt,,tdt,,cosx,,x0dxdx
二（选择题
1（下列函数中（B）的图像关于坐标原点对称。
xlnxA（B（C（xxsinD（axxcos
规律:
（1）1（奇偶函数定义:
;fxfxfxfxfxfx,,,,,,;是奇函数，是偶函数，，，，，，，，，，，，
2243
（2）（常见的偶函数:
xxxxx,,...,,cos,,常数
111，,xx3523常见的奇函数:
xxxxxxx,,,...,,sin,ln1,ln,ln，，，，11,，xx
xxxx,,常见的非奇非偶函数:
;aeaex,,,,ln
（3）（奇偶函数运算性质:
奇?
奇=奇;奇?
偶=非;偶?
偶=偶;奇×奇=偶;奇×偶=奇;偶×偶=偶;
y（4）（奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。
y解:
A（非奇非偶;B（奇×偶=奇（原点）;C（奇×奇=偶（轴）;D（非奇非偶2（下列函数中（B）不是奇函数。
xx,2sinxcosxA（;B（sin
（1）x，;C（;D（ee,ln1xx，，，，解:
A（奇函数（定义）;B（非奇非偶（定义）;C（奇函数（奇×偶）;D（奇函数（定义）
y3（下列函数中，其图像关于轴对称的是（A）。
1,xx2lncos
（1）x,A（B（C（D（excossin
（1）x,1，x
y解:
A（偶函数（轴）;B（非奇非偶（定义）;C（奇函数（常见）;D（非奇非偶（定义）4（下列极限正确的是（B）。
3xx,11e,1A（B（lim,lim0,3x,,313x，,0xx
sinx1x,，,elim
（1）lim1C.D（x,,,0xxx
xxe,1xlim1,x,0解:
A错。
?
，e,1,?
;lim,xx,0x,0xx
B正确。
分子分母最高次幂前的系数之比;
11sinxsinx,,0lim0C错。
?
，即是无穷小，即是有界变量，?
;sin1x,x,,x,,xxx
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11x,x1，,eD错。
第二个重要极限应为或，其类型为。
lim
（1）lim
（1），,xe,,x,x0x
5（当x,,1时，（D）为无穷小量。
x，11A（B（sinC（D（cos
（1）x，ln
（2）x，2x,1x，1
0
x，1110lim解:
A（,,,0;lim2x,,1x,,1x22x,1
11B（x,,1，x，,10，,,，不存在;limsinx,,1x，x，11x,,1C（，;cos
（1）cos01x，,,
x,,1D（，。
ln
（2）ln10x，,,
6.下列等式中，成立的是（B）。
1,,33xx,,22xxedxde,,A（B（edxde,,23
21C（D（dxdx,ln3dxdx,3xx
1,,33xx,,22xx,,33xxedxde,,解:
A（错，正确的应为B。
正确，即,,2edxde,,3edxde3
11C（错，正确的应为D（错，正确的应为dxdx,dxdx3ln3,3x2x
f（x）7（设在点可微，且，则下列结论成立的是（C）。
xx,fx（）0,00
f（x）f（x）A（是的极小值点B（是的极大值点;xx,xx,00
f（x）f（x）C（是的驻点;D（是的最大值点;xx,xx,00
fx（）fx（）解:
驻点定义:
设在点可微，且，则是的驻点。
驻点为可能的极值点。
xx,fx（）0,xx,000
fxf（）（3）,fxx（）ln,8（（函数lim,，则（D）。
x,3x,3
11ln3A（3;B（;C（;D（x3fxf（）（3）,11解一:
lim,ffxx,,,,'3'ln'，，，，，，xx,,33x,3x,3x3x,3
10
fxf（）（3）,lnln3x,1x0lim,lim解二:
limx,3x,3x,3x,3x,313
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fx（）9（设，则,（B）。
fxx（）sin,limx,0x
12A（0;B（;C（;D（不存在
fx，，sinx解一,,:
limlim1xx,,00xx
fx，，sin0x,,解二:
limlimsincos1,,,,xx，，，，xx,,00xx,,00,0xx
3210（曲线在区间（1,3）内是（A）。
yxxx,,,，391
A（下降且凹B（上升且凹C（下降且凸D（上升且凸解:
22,yxxxxxx,,,,,,,,，1,，，，，，，
在任取一点13,0,,,xyx带入可知，曲线下降
,yx,66,，
,在中任取一点13,0,,,xyx带入可知，曲线是凹的
x11（曲线在（0,），,内是（B）。
yex,,
A（下降且凹;B（上升且凹;C（下降且凸;D（上升且凸解:
xxyexe''1,,,,，，
当时上升xy,,0'0，，曲线xye'',
当时，，曲线是凹的xy,,0''0
12（曲线在点M（1,2）处的法线方程为（B）。
yx,2
1yx,,,2
（1）yx,,,,2
（1）yx,,,,22
（1）A.;B.;C,,,1
（2）2
1规律:
曲线在x=处的法线方程为xyfx,yfxxx,,,,，，，，，，000,fx，，0
11yfxx,,2解:
，，fxx'2',,f,,，，'11，，，，，，xxx,1
yx,,,,2
（1）故法线方程为B（;
13（下列结论中正确的是（C）。
A（函数的驻点一定是极值点B（函数的极值点一定是驻点
00C（函数一阶导数为的点一定是驻点D（函数的极值点处导数必为
fx（）fx（）解:
驻点定义:
设在点可微，且，则是的驻点。
驻点为可能的极值点。
xx,fx（）0,xx,000
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2332高等数学期末复习指导14（设函数，则（A）。
df（x）,fxx（）cos,
sinxsinxsinxsinxA（;B（;C（;D（dxdx,dxdx
2xx2xx
sinx解:
dfxdxxd（）coscos'si,,,xxxdx,,n',dx，，，，2x15（当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是（B）。
fx（）ab,
db,f（x）dx,f（x）A.B.（f（x）dx）,f（x）,,adx
b,C.D.df（x）,f（b）,f（a）f（x）dx,f（x），c,,a
解:
（（））（）fxdxfx,A.成立，为不定积分的性质;,
bB.不成立，常数，而常数的导数为零;fxdx（）,,a
fxdxfxc（）（）,，C.成立，为不定积分的性质;,
bD.成立，为牛顿,莱布尼兹公式。
dfxfbfa（）（）（）,,,a
1116（设函数f（x）Fx（）fdx（）,的原函数为，则（A）。
2,xx
111FC（），fC（），A（,，FC（）FxC（），;B（;C（;D（xxx
11fuduFuC,，fx（）Fx（）解:
函数的原函数为，,,dxd,，，，，2,xx
1111111,,,,,,fdx（）,,,,,,fdxfd（）,，FC,,,,,,22,,,xxxxxxx,,,,,,17（下列无穷积分为收敛的是（B）。
，,0，,01,x2x1edxdxA.B.C.D.edxsinxdx,,,,1,,0,,2x
，,0,,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律:
?
（0）,?
,,,a,,xp,0,发散,1,收敛,
，,，,，,p,0,发散npx,xedxn,N,?
、发散?
sinxdxcosxdx,,,0aap,0,收敛
，,1p,,,20p,,10,,,解:
A.;B.，收敛;C.，发散;D.，发散1sinxdx,0218（下列无穷积分为收敛的是（C）。
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2332高等数学期末复习指导
x，,，,，,，,122,2A.C.D.edxxdxxdx,,,,1111x
解:
A.发散;B.发散;C.收敛;D.发散;
三（计算题
12,x2x41x,4x,,,,limlim1、求极限2、求极限,,,,x,,x,,41x，43x，,,,,414122xx,，,,44333xx，,,解:
?
解:
?
,，1,,，1414141xxx，，，434343xxx，，，,,212x，，,,32x3lim,-lim,1x,,x,,43x，241x，
3,2?
原题,?
原题,ee
xex,,1xx,03、求极限解:
?
，,，,e,1limln1，xxx，，,0xxxln
（1），
xxxxex1,,，，e1ex,,1e,1lim?
原题,=,limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，，
sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限lim解:
?
，,，,141,,xx,0,,141x
3x3,lim?
原题,,x,0,22x
2ln（13）,x22sin2x2xx,0、求极限5解:
?
，,，,,3xlimln（13）,xx,0xxsin2
23,3x,?
原题,lim,x,02xx,2
sin2xe,16、求极限lim,x0tan4x
sin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:
?
，,,，,e,1
2x1lim?
原题,,x,04x2
3dy7、设函数，求yxx,,ln
（2）
13323yxxxx''ln
（2）ln2',,，,，，,,，,,3ln
（2）2'xxxx解:
，，，，，，，，2,x
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3x2,,,3ln
（2）xx2,x
3，，x2,3ln
（2）xxdx,,dy,,2,x，，
cosx8、设函数，求。
dyyxex,,2，，
3xcos2解:
yxex,,2
131,,coscosxxxcosxxcoscos222,，,exex'3yxex''2',,,，,exexxcos'3，，，，，，,,
,
1xxcoscos2,,,exxexsin3
1,,xxcoscos2,exxexdx,,sin3dy,,
,
2x,129、设函数，求dy。
yxee,，，cos（ln2）
2,x,12,解:
yxeecosln2,，，，，
2,,x,12,cosln2xee,，，，，，，，，
2,x,12,sinln2ln210xxex,,，,，，，，，
21x,1,xxex,,，,sinln222，，，，x2
2sinlnxx,1,,，2xex
2sinln2x,,x,1,,，dy2xedx,,x,,
3xedy10、设函数y,，求。
2,x
33xx,33xx33xx,3x,exex22,,,，，，，，，exxe321,,,32exe,，,,，，，，，，，，e,解:
y,,,,,,2222,x22,,xx2,x，，，，，，,,
33xx32ex,，e，，dy,dx22,x，，
sin3xy,dy11、设函数，求。
cos1x，
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,,sin31cossin31cosxxxx，,，，，，，，，sin3x,,解:
y,,,,21cos，x,,1cos，x，，
cos331cossin3sinxxxxx，,,，，，，，，,21cos，x，，
3cos31cossin3sinxxxx，，，，,21cos，x，，
3cos31cossin3sinxxxx，，，，dy,dx21cos，x，，
x2xdxsin12、计算不定积分,2
22x20解:
x
+—+
xxxx,4cossin,2cossin82222
xxxx22,，，，2cos8sin16cosxxCxdxsin,,2222
3xxedx13、计算不定积分解:
10x,
，—
11,3x,3x,3x,eee93
11,3x,3x,3xxedx,xe,，eC,,39
四、应用题
1、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
h解:
设圆柱体底半径为，高为，r
42,,h则体积Vrh,,,42,r
材料最省即表面积最小
48222S,,，,,，r表面积rr2,,,rrh，2,,2rr,
843,,S'2rS',，令,0，得唯一驻点,r2r,
4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。
,
2、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20
元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
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h解:
设圆柱体底半径为，高为，rr
162h则体积,,hVrh,,,162,r
64022,，，,，,,,且造价函数frrhr1020210r
64043,,,,,令，得唯一驻点fr200,r22r,
4433所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。
2,,
3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解:
要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。
h设圆柱体底半径为，高为，r
1082,,则体积hVrh,,,1082,r
2S,,，,,，r则圆柱体仓库的表面积为,,,rr2,,rrh，22rr,
3,,S'S'2r,，令,0，得唯一驻点,,,,3r2r,,
4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。
,33,,
4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
y2x解:
设长方形的底边长为，高为，
2222,,,yx64y则88,，xy
2Sxyxx,,,2264面积xx
2,,x2,Sx,,,,2640令，得唯一驻点x,42,,264,x,,
所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。
8242
5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
2x2y解:
设长方形的底边长为，高为，
2222,,,yx64则8,，xy
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2Sxyxx,,,4464面积
2,,x2,令Sx,,,,4640，得唯一驻点x,42,,264,x,,
米，此时高为米时面积最大。
所以当底边长为8282
第二部分高等数学基础历年试题汇编
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
xxee,1.函数的图形关于（A）对称（y,2
yy,x（A）坐标原点（B）轴（C）轴（D）x
2.在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量（
11xsin（x,,）sin（x,0）（A）（B）xx
1
x（C）ln（x，1）（x,0）（D）e（x,,）
f（x2h）f（x）,,00lim3.设f（x）在可导，则,（C）（x0h,02h
,,,（A）（B）（C）（D）f（x）2f（x）,f（x）,2f（x）0000
1f（x）dx,F（x），cf（lnx）dx,4.若，则（B）（,,x
11F（lnx），cF（），c（A）F（lnx）F（lnx），c（B）（C）（D）xx
5.下列积分计算正确的是（D）（
1001,x（A）（B）（C）（D）xsinxdx,0edx,1sin2xdx,πxcosxdx,0,,,,,,,,,,11
xx22，y,6.函数的图形关于（B）对称（2
yy,x（A）坐标原点（B）轴（C）轴（D）x
7.在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量（
11xsin（x,0）xsin（x,,）（A）（B）xx
xlnx（x,0）（C）（D）e（x,,）
8.下列等式中正确的是（B）（
dxdx1xxd（x）,d（）,lnxdxd（lnx）,（A）（B）（C）（D）d（3）,3dxxxx
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2332高等数学期末复习指导
1f（x）dx,F（x），c9.若，则f（x）dx,（C）（,,x
（A）（B）（C）（D）F（x）F（x），c2F（x），c2F（x）
10.下列无穷限积分收敛的是（D）（
，,，,，,，,111xdxdx（A）（B）（C）dx（D）edx2,,,,1110xxx
xxee,11.函数的图形关于（A）对称（y,2
yy,x（A）坐标原点（B）轴（C）轴（D）x
12.在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量（
11xsin（x,,）sin（x,0）（A）（B）xx
1
x（C）ln（x，1）（x,0）（D）e（x,,）
f（x2h）f（x）,,00lim13.设f（x）在可导，则,（C）（x0h,02h
,,,（A）（B）（C）（D）f（x）2f（x）,f（x）,2f（x）0000
1f（x）dx,
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