分式重点难点归纳.docx

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分式重点难点归纳

分式重点难点归纳

1.    分式的定理：

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

叫做分式。

2.    分式有意义、无意义的主要条件：

分式有意义的条件：

分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：

分式的分母等于0。

3.   分式值为零的主要条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

    （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）  

（分式的值为0的条件是：

分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。

首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

）

4.    分式的基本特质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为                              （

），其中A、B、C是整式

 注意：

（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本特质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本特质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

     （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本特质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

          整式C；

     （4）分式的基本特质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

     和分数类似，利用分式的基本特质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分定义：

     和分数一样，根据分式的基本特质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

   约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

    分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

  ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：

（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；

      （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

 7.分式的运算：

分式乘法规则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法规则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

   用式子表示是：

注意：

（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

    （3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

    （4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

        ①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号

          里面的；

        ②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

        ③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方规则：

分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是：

              （其中n是正整数）

     注意：

（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

          （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

          （4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减规则：

规则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

  用式子表示为：

±＝

规则：

异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：

  ±＝±＝

注意：

（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

    （3）运算时顺序合理、步骤清晰；

    （4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算方法:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即

；当n为正整数时，

 （

   注意：

当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9.整数指数幂：

     若m、n为正整数，a≠0，am÷am＋n＝＝

     又因为am÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝

     一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0），即a－n（a≠0）是an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体

整数。

整数指数幂可具有下列运算特质：

（m,n是整数）

（1）同底数的幂的乘法：

；

（2）幂的乘方：

;

（3）积的乘方：

；

（4）同底数的幂的除法：

（a≠0）；

（5）商的乘方：

；（b≠0）

规定：

a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.

10.分式方程算法：

含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母

分式方程的解法：

转化

（1）解分式方程的基本思想方法是：

分式方程－－－－－→整式方程.

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

  ①去分母：

即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本特质；

  ②解这个整式方程；

  ③检验：

把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0

的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：

①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

解分式方程的步骤：

（1） 能化简的先化简；

（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．

分式方程检验方法：

将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

11.含有字母的分式方程的解法：

      在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，

  解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的

  限制条件。

计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

12.列分式方程解应用题的几项步骤是：

（1）审：

审清题意；

（2）找:

找出相等关系；（3）设：

设未知数；（4）列：

列出分式方程；（5）解：

解这个分式方程；（6）验：

既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；（7）答：

写出答案。

应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种：

（1）行程问题 基本公式：

路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

（2）数字问题：

在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

（3）工程问题 基本公式：

工作量=工时×工效．

（4）顺水逆水问题  v顺水=v静水+v水．     v逆水=v静水-v水．

11.科学记数法：

把一个数表示成

的形式（其中

，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0），1≤︱a︱＜10.

学习就到这里了，最后祝大家学习愉快！

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