二次函数教学案例.docx
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二次函数教学案例
初中数学《二次函数》的教学案例分析
一、教材研读与剖析
1.教材分析:
本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习.本章我们研究的是二次函数,要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系,掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法.学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何描述变量之间的数量关系,感悟新旧知识的关系,深刻的体会数学中的类比思想方法.
2.教学目标:
理解和掌握二次函数的概念、性质,会做二次函数的图像,掌握二次函数的形式;会建立二次函数模型,并能确定实际问题的自变量的取值范围;会用待定系数法求二次函数的解析式;从实际情景和实例中让学生探索分析,建立两个变量之间的二次函数,使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题,学会用数学符号和数学方法解决最值问题,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
3.教学重点和难点:
第一,经历探究和表示二次函数的过程,获得二次函数的定义;第二,能够表示简单变量之间的二次函数关系;第三,探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题.本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题,其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂,要求学生有较强的概括能力.
二、教学过程与设计
(1)温故而知新,回顾有关函数的知识,激发兴趣.教师在课堂的开始,可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量——做进一步巩固.对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结,并在ppt上给出一次函数y=kx+b(其中k,b是常数,且k≠0)正比例函数y=kx(k是不为0的常数)反比例函数y=■(x是不为0的常数)的形式.
(2)创设问题情境,激发兴趣.教师在ppt上给出实际问题一,例如:
现有60米的篱笆要围成一个矩形场地,若矩形的长为10米,它的面积是多少?
若矩形的长分别为15米、20米、30米时,它的面积分别是多少?
从上两问同学们发现了什么?
教师提问后,学生可独立回答.在活动中,教师应重点关注:
学生是否能准确的建立函数关系;学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积;学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围.
问题的设计,旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值,学会用函数的观点认识问题,解决问题,让学生在合作学习中共同解决问题,培养合作精神.最后,提出问题:
由矩形问题你有什么收获?
让学生经过短时间的讨论与思考后,师生共同归纳总结出函数解析式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式.在ppt上给出概念:
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.通过层层设问,引导学生不断思考,积极探索,让学生感受到数学的应用价值,激发其学习的热情.
(3)利用图像激发兴趣.学习性质最好的方法就是根据图像来探索.例如,教师可以给出以下的问题,让学生进行自由探索:
填空:
根据下边已画好抛物线y=-2x2的顶点坐标是_____,对称轴是_____,在_____侧,即x_____0时,y随着x的增大而增大;在_____侧,即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x=_____时,函数y的最大值是____.当x____0时,y<0.教师让学生根据问题进行探究,并归纳出:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值.
(4)小组合作探索二次函数与一元二次方程.教师向学生展示二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图像如图所示.
教师引导学生以小组为单位,对以下问题进行合作探究:
每个图像与x轴有几个交点?
一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
二次函数y=ax2+bx+c的图像和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
并引导学生对二次函数y=ax2+bx+c的图像和x轴交点的三种情况进行归纳.
三、教学反思与小结
教学活动是建立在学生对已学函数理解的基础上,通过类比和探索的方式进行的.课堂开始时,对已学过的知识进行复习和总结,然后,给出简单的实际问题.接着笔者进一步将问题引申,加大难度,引出本节课所学习的内容,这一方法旨在激发学生的学习兴趣.通过几个简单的问题,让学生体会两个变量的关系.特别是在创设问题中,教师应重点关注学生是否发现变量,是否注意到取值范围,这个环节中简单问题的设计旨在激发学生的学习欲望.利用图像进行教学,是几何教学的一个重点内容.这个环节教师引导学生小组进行合作探究,在兴趣下去探求真知.本节课学生对二次函数的基本概念、图像有了比较扎实的认识,但是众观整个教学过程,笔者发现还存在不合理的地方,如还缺乏一些生动的教学方式激发学生学习的兴趣,在进行图像的教授过程中,教师可以利用多媒体进行动态的教学,课堂的结尾处教师还缺乏引导学生对二次函数知识的实际运用等.这些还需要教师不断地进行反思与发现,对教学方法进行不断改进与更新.
《二次函数》复习课教学案例
教学过程:
一、基础知识之自我构建
师:
今天我们来复习二次函数,先把课本知识归纳部分齐读一遍。
生:
齐读。
师:
现在我把本章知识分类归纳成表格形式,请大家完成填空:
(展示课件)
生:
完成填空。
师:
展示答案.
生:
纠正.
师:
请思考函数y=(x-2)2-1并写出相关结论.同学们比一比,赛一赛,看谁写得多.
生1:
开口向上
生2:
对称轴:
直线x=2
生3:
顶点(2,-1)
生4:
图像是抛物线,且与y轴交点为(0,3)
生5:
抛物线与x轴两交点分别为(1,0)(3,0)
生6:
抛物线与x轴两交点之间距离为2
师归纳:
刚才同学们归纳的结论都正确,可见同学们对二次函数基础知识掌握得还是很到位的.下面老师提出的问题,相信同学们肯定能顺利地解决.
二、基础知识之基础演练
在投影幕上出示一组题目:
1、求将二次函数y=x2-2x图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式.
2、请写出一个二次函数解析式,使其图像的对称轴为x=1,并且开口向下.
3、请写出一个二次函数解析式,使其图象与x轴的交点坐标为(2,0)、(-1,0).
4、请写出一个二次函数解析式,使其图象与y轴的交点坐标为(0,2),且图象的对称轴在y轴的右侧.
学生思考3分钟后,教者开始提问
生:
第1题,先求得抛物线的顶点坐标为(1,-1),平移后为(2,1),从而知道后来抛物线解析式为y=x2-4x+5.
生:
第2题,设解析式y=a(x+1)(x-2),其中a≠0
生:
刚才同学答案不对,题中要求写出一个具体的二次函数解析式,不妨设,则解析式为:
y=x2-x-2;当然a可以取一个不等于0的任何实数.
师:
很好,刚才学生做的这道题,我们有什么收获?
生:
要认真审题.
生:
由题意知,设解析式为y=ax2+bx+2,其中a,b异号即可,例如:
,即为y=x2-x-2.
投影幕上再出示第5、6两题:
5、如图,抛物线,
请判断下列各式的符号:
①a___0
②b___0
③c__0
④b2-4ac__0
6、如图,抛物线,
请判断下列各式的符号:
①abc__0
②2a-b__0
③a+b+c__0
④a-b+c__0
生:
第5题,由图像可知:
抛物线开口向下,故a<0,对称轴x=,故b>0.抛物线与y轴交点(0,c)在y轴正半轴上,故c>0,抛物线与x轴有两交点,故b2-4ac>0.
生:
第6题,由图像可知:
a>0,b>0,c<0,故,对称轴=1,故2a-b<0.横坐标为1的点在第一象限,故a+b+c>0,横坐标为-1的点在第三象限,故a-b+c<0.
师:
刚才两位同学发言很精彩,同学们要不要祝贺他们一下.(学生齐鼓掌)
现在老师要求每名同学都出一道类似第5、6题的题型,然后交给同座同学完成,做完后同座同学之间互相批阅一下.
三、基础知识之灵活运用
投影幕上出示题目,学生先思考,然后教者提问.
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,
则方程ax2+bx+c=0的解为______________;
当x为__________时,a2-4ac>0;
当x为___________时,a2-4ac<0.
2、关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3、根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
不解方程,试判断方程ax2+bx+c=0(,a,b,c为常数)一个解x的范围是()
A、3C、3.24生:
第1题,二次函数图像与x轴交点横坐标就是令y=0得到一元二次方程的解,从而方程解为x1=-3,x2=1,再由图象可知,当-30时,,当x<-3或x>1时,a2x+bx+c<0.
生:
第2题,由方程无实根说明抛物线与x轴无交点,再根据隐含条件对称轴在y轴右侧,故顶点在第一象限,从而选A.
师:
本课诠释了二次函数与一元二次方程之间的紧密关系,以及数形结合思想的广泛应用.
生:
由图表不难发现,当y=0时,-0.02从而3.24师:
刚才这一组题目告诉我们,善于抓住图象、图表特点,充分挖掘题中的隐含条件是解题的关键.
四、难点突破之思维激活
投影幕上出示一组题目:
1、已知抛物线的对称轴为x=2,且经过点(3,0),则a+b+c的值为.
2、已知抛物线经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是___________.
3、下图是抛物线的一部分,且经过点(-2,0),则下列结论中正确的个数有()
①a<0;②b<0;③c>0;
④抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(1,0);
⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(4,0).
A.2个B.3个C.4个D.5个
生:
第1题,由题意得,由于两个方程中含有三个未知数,故此方程不可解,从而本题不好做.
师:
同学们从抛物线的轴对称性入手,想想看
生:
由对称性可知抛物线与x轴另一交点坐标(1,0),从而.
生:
第2题,由A、B两点纵坐标相等可知A、B两点关于对称轴对称,从而对称轴,又因为C(3,-8),从而另一点就是C点关于直线对称点,即(1,8).
生:
第3题中我能判断①③对,②错,④⑤无法判断.
师:
谁来帮他一把
生:
由顶点在第一象限可以画出草图,从而判断④肯定错,⑤可能对.从而选B.
五、难点突破之聚焦中考
投影幕上出示题目:
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,进价是每件80元,售价是每件120元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降低1元,商场平均每天可多售出2件,但每件最低价不得低于108元.
⑴若每件衬衫降低x元(x取整数),商场平均每天盈利y元,试写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
⑵每件衬衫降低多少元时,商场每天(平均)盈利最多?
教者让一名学生黑板上板演:
其板演如下:
解:
⑴由于每件衬衫的利润为元,每天销售件数为件,因此其中的整数.
⑵,因此当时,y取最大值,且为1250元.
师:
做完了的同学看黑板上同学做的,看有没有不同意见的.
生:
第
(1)问正确,第
(2)问中顶点横坐标15不在自变量取值范围内,故他求的y的最大值是错误的.正确的解法是当时,y有最大值,且为1232元.
师:
这位同学回答得很到位,做函数类应用题求最值问题时,往往借助顶点坐标来求,但有时由于实际问题实际意义的限制,需结合自变量的取值范围进行调整.
六、反思与提高
1、本节课你印象最深的是什么?
2、通过本节课的函数学习,你认为自己还有哪些地方是需要提高的?
3、在下面的函数学习中,我们还需要注意哪些问题?
生:
1、本节课印象最深的是:
①基础知识很重要
②数形结合思想、化归思想值得重视
③解应用题时,要认真审题,注意题中的隐含条件.
2、就我而言,解题技巧方面需要提高.
3、今后学习中,我需要注意多做、多练、多总结.
师:
老师这里整理了本章知识网络图.从今天复习课中,我们应该悟出:
掌握基础知识的重要性,注意知识综合的灵活性,通过学以致用的体验,让我们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.
教学反思:
本课从“二次函数”基础知识复习入手,以题目训练带动知识点的回顾,从学生的踊跃发言,以及回答问题正确率来看,学生基本功是扎实的,但从能力题、综合题完成情况看,技巧方面、综合运用知识点方面,重要数学思想应用方面还有所欠缺,这就提醒我在今后教学过程中要加强这些方面的训练,能力提升不可能一蹴而就,要平时加强训练、不时渗透.不断让学生体验学以致用,使他们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.
本课存在的不足:
1、“变式训练”不到位,教者应对学生出现的典型错误进行剖析(这点我已做到位),但没能不失时机的进行“变式训练”,从而达到预期目标.
2、班上“后进生”对课堂的参与积极性不是很高,说明教者没能很好调动他们的积极性.