届高考理数113离散型随机变量及其分布列均值与方差.docx

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届高考理数113离散型随机变量及其分布列均值与方差

§11.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差

考纲解读

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.离散型随机变量

及其分布列

①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;

②理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用

理解

2017课标全国Ⅲ,18;

2016课标全国Ⅰ,19;

2015天津,16;

2013课标全国Ⅰ,19

解答题

★★★

2.离散型随机变量

的均值与方差

理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题

掌握

2017浙江,8;

2014湖南,17;

2015福建,16

选择题

解答题

★★★

分析解读　1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.

五年高考

考点一　离散型随机变量及其分布列

1.（2013广东,4,5分）已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

则X的数学期望E（X）=（　　）

A.B.2

C.D.3

答案　A

2.（2017课标全国Ⅲ,18,12分）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位:

℃）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

[10,15）

[15,20）

[20,25）

[25,30）

[30,35）

[35,40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位:

瓶）的分布列;

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位:

元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位:

瓶）为多少时,Y的数学期望达到最大值?

解析　本题考查随机变量的分布列,数学期望.

（1）由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知

P（X=200）==0.2,P（X=300）==0.4,P（X=500）==0.4.

因此X的分布列为

X

200

300

500

P

0.2

0.4

0.4

（2）由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时,

若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温位于区间[20,25）,

则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n.

因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+（800-2n）×0.2=640-0.4n.

当200≤n<300时,

若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n.

因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）×0.2=160+1.2n.

所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.

3.（2017北京,17,13分）为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

（1）从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;

（2）从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E（ξ）;

（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

解析　本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.

（1）由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.

（2）由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:

A和C.

所以ξ的所有可能取值为0,1,2.

P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

故ξ的期望E（ξ）=0×+1×+2×=1.

（3）在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.

4.（2016课标全国Ⅰ,19,12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求X的分布列;

（2）若要求P（X≤n）≥0.5,确定n的最小值;

（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?

解析　

（1）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.

可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,

P（X=16）=0.2×0.2=0.04;

P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16;

P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;

P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;

P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;

P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08;

P（X=22）=0.2×0.2=0.04.（4分）

所以X的分布列为

X

16

17

18

19

20

21

22

P

0.04

0.16

0.24

0.24

0.2

0.08

0.04

（6分）

（2）由

（1）知P（X≤18）=0.44,P（X≤19）=0.68,故n的最小值为19.（8分）

（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位:

元）.

当n=19时,

EY=19×200×0.68+（19×200+500）×0.2+（19×200+2×500）×0.08+（19×200+3×500）×0.04=4040.（10分）

当n=20时,

EY=20×200×0.88+（20×200+500）×0.08+（20×200+2×500）×0.04=4080.

可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.（12分）

教师用书专用（5—15）

5.（2015天津,16,13分）为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

解析　

（1）由已知,有P（A）==.

所以事件A发生的概率为.

（2）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

P（X=k）=（k=1,2,3,4）.

所以随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

随机变量X的数学期望E（X）=1×+2×+3×+4×=.

评析　本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.

6.（2015安徽,17,12分）已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

（2）已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位:

元）,求X的分布列和均值（数学期望）.

解析　

（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,

P（A）==.

（2）X的可能取值为200,300,400.

P（X=200）==,P（X=300）==,

P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1--=.

故X的分布列为

X

200

300

400

P

EX=200×+300×+400×=350.

7.（2015四川,17,12分）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

（2）某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

解析　

（1）由题意,参加集训的男、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为=.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.

（2）根据题意,X的可能取值为1,2,3.

P（X=1）==,P（X=2）==,

P（X=3）==.

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

因此,X的数学期望为

E（X）=1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）

=1×+2×+3×=2.

8.（2014重庆,18,13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.

（注:

若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数）

解析　

（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为

P==.

（2）X的所有可能值为1,2,3,且

P（X=1）==,P（X=2）==,

P（X=3）==,

故X的分布列为

X

1

2

3

P

从而E（X）=1×+2×+3×=.

9.（2014山东,18,12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:

回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

（2）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

解析　

（1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,

则P（A3）=,P（A1）=,P（A0）=1--=;

记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,

则P（B3）=,P（B1）=,P（B0）=1--=.

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意,得D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,

由事件的独立性和互斥性,

P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）

=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）

=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）P（B1）+P（A0）P（B3）

=×+×+×+×=,

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（2）由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性,得

P（ξ=0）=P（A0B0）=×=,

P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）=×+×=,

P（ξ=2）=P（A1B1）=×=,

P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）=×+×=,

P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）=×+×=,

P（ξ=6）=P（A3B3）=×=.

可得随机变量ξ的分布列为:

ξ

0

1

2

3

4

6

P

所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.

10.（2014四川,17,12分）一款击鼓小游戏的规则如下:

每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;

（2）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

（3）玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

解析　

（1）X可能的取值为10,20,100,-200.

根据题意,有P（X=10）=××=,

P（X=20）=××=,

P（X=100）=××=,

P（X=-200）=××=.

所以X的分布列为

X

10

20

100

-200

P

（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1,2,3）,

则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=.

所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P（A1A2A3）=1-=1-=.

因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.

（3）X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.

这表明,获得的分数X的均值为负.

因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.

11.（2013课标全国Ⅰ,19,12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:

先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.

（1）求这批产品通过检验的概率;

（2）已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位:

元）,求X的分布列及数学期望.

解析　

（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=（A1B1）∪（A2B2）,且A1B1与A2B2互斥,所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）

=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）=×+×=.

（2）X可能的取值为400,500,800,并且

P（X=400）=1--=,

P（X=500）=,P（X=800）=.

所以X的分布列为

X

400

500

800

P

EX=400×+500×+800×=506.25.

12.（2013课标全国Ⅱ,19,12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X（单位:

t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量,T（单位:

元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将T表示为X的函数;

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

（3）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如:

若需求量X∈[100,110）,则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110）的频率）,求T的数学期望.

解析　

（1）当X∈[100,130）时,T=500X-300（130-X）=800X-39000,

当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.

所以T=

（2）由

（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

（3）依题意可得T的分布列为

T

45000

53000

61000

65000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

13.（2013浙江,19,14分）设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:

取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.

（1）当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取（有放回,且每球取到的机会均等）2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.

解析　

（1）由题意得ξ=2,3,4,5,6.

故P（ξ=2）==,P（ξ=3）==,

P（ξ=4）==,P（ξ=5）==,

P（ξ=6）==.

所以ξ的分布列为

ξ

2

3

4

5

6

P

（2）由题意知η的分布列为

η

1

2

3

P

所以E（η）=++=,

D（η）=·+·+·=,化简得

解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.

14.（2013辽宁,19,12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率;

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.

解析　

（1）设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.

因为P（）==,所以P（A）=1-P（）=.（6分）

（2）X所有的可能取值为0,1,2,3.

P（X=0）=···=;

P（X=1）=···+··=;

P（X=2）=···+··=;

P（X=3）=···=.

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

（10分）

所以E（X）=0×+1×+2×+3×=2.（12分）

15.（2013江西,18,12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:

以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

（1）求小波参加学校合唱团的概率;

（2）求X的分布列和数学期望.

解析　

（1）从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28种,X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形,

所以小波参加学校合唱团的概率为P（X=0）==.

（2）两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.

所以X的分布列为:

X

-2

-1

0

1

P

EX=（-2）×+（-1）×+0×+1×=-.

考点二　离散型随机变量的均值与方差

1.（2017浙江,8,5分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi,P（ξi=0）=1-pi,i=1,2.若0

A.E（ξ1）

B.E（ξ1）D（ξ2）

C.E（ξ1）>E（ξ2）,D（ξ1）

D.E（ξ1）>E（ξ2）,D（ξ1）>D（ξ2）

答案　A

2.（2014浙江,12,4分）随机变量ξ的取值为0,1,2.若P（ξ=0）=,E（ξ）=1,则D（ξ）=　　　　. 

答案　

3.（2015福建,16,13分）某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率;

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解析　

（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,

则P（A）=××=.

（2）依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.

又P（X=1）=,P（X=2）=×=,P（X=3）=××1=,

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

所以E（X）=1×+2×+3×=.

教师用书专用（4—9）

4.（2017江苏,23,10分）已知一个口袋中有m个白球,n个黑球（m,n∈N*,n≥2）,这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3,…,m+n）.

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在