完整版三角形中位线中的常见辅助线.docx
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完整版三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线
知识梳理
知识点一中点
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：
三角形顶点和对边中点的连线
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理：
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
直角三角形斜边中线：
直角三角形斜边中线等于斜边一半
斜边中线判定：
若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形
、与中点有关的辅助线
方法一：
倍长中线
解读：
凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：
构造中位线
解读：
凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：
构造三线合一
解读：
只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口
方法四：
构造斜边中线
解读：
只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
常见考点
构造三角形中位线
考点说明：
1凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角
三角形斜边中点或其他线段中点；
2延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
题中有中点，莫忘中位线”.与此很相近的几何思想是题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来•平移也有类似作用.
典型例题
2AE.
【例1】已知：
AD是厶ABC的中线，AE是厶ABD的中线，且ABBD，求证：
AC
1
2.在ABC中，ACB90,AC-BC，以BC为底作等腰直角BCD,E是CD的中点，求证：
AEEB且AEBE.
于M、N，求证：
/AMN/BNM.
举一反三
1.已知四边形ABCD中，ACBD,E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G点•求证：
GMNGNM.
F
2.已知：
在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC•过AB、
DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、
（1）如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点
求证：
AMFBNE
（2）当点D旋转到图2中的位置时，AMF与
BC分别相交于点M、N•
N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF,
BNE有何数量关系？
请证明.
【例3】如图，在五边形ABCDE中，ABC
BFEF.
AED90,BACEAD,F为CD的中点.求证:
举一反三
1•如图所示，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF.过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：
（1）DEM也FDN;
（2）
PAEPBF.
证：
PMPN
4.如图所示，已知ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90,连接DE，设M为DE的中占
八、、♦
（1）求证MBMC.
（2）
MC是否成立？
请证明你
设BADCAE，固定RtABD，让RtACE移至图示位置，此时MB
的结论.
D
E
D
5.在厶ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中
点中点，连接MD和ME
（1）如图1所示，若AB=AC，贝UMD和ME的数量关系是
（2）如图2所示，若AB^AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？
请给出证明过程;
（3）
的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中
的形状.
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC
点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED
（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0
【例4】以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90连接DE,M、N分别是BC、DE的中点•探究：
AM与DE的位置关系及数量关系.
;线段AM与DE的数量关系
90）后，如图②所示，
（1）问中得到的
两个结论是否发生改变？
并说明理由.
举一反三
1.
（1）如图1,BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作ADBD、AECE,垂足分别为D、E,
1
连接DE•求证：
DE//BC,DEABBCAC
2
（2）如图2,BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变；
（3）如图3,BDABC的内角平分线，CEABC的外角平分线，其他条件不变。
则在图2、图
3两种情况下，DE、BC还平行吗？
它与△ABC三边又有怎样的数量关系？
请你写出猜测，并给与证明.
2.已知ABC中，ACB90,AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F.求证：
EFIIAB.
C
M
AOB60,P、Q、R分
【例5】等腰梯形ABCD中，AB//CD,ACBD,AC与BD交于点O,
别是OA、BC、OD的中点，求证：
PQR是正三角形.
举一反三
1.AD是ABC的中线，F是AD的中点,
BF的延长线交AC于E•求证：
AE-AC.3
D
【例6】如左下图，在梯形ABCD中，AB//CD,E、F分别是AC、BD中点.求证：
EFIIAB，且
EF1ABCD
2
举一反三
2.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：
如图1，已知ABC，ACB90，
ABC45，分别以AB,BC为边向外作ABD和BCE，且DADB，EBEC，ADBBEC90，连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系。
小慧同学的思路是：
过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解
小东同学说：
我做过一道类似的题目，不同的是，ABC30，ADBBEC60
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系
（2）如图2,若ABC30，ADBBED60，原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的
结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
生变化？
请写出你的猜想并加以证明。
真题演练
1.已知：
△AOB中,
AB
OB2,△COD中，CDOC3,ZABOZDCO.连接AD、BC、，点M、
N、P分别为AO、
DO、
BC的中点.
（1）如图1,若A、
C三点在同一直线上，且ZABO60°，则△PMN的形状是
一，此时AD
（2）如图2,若A、O、C三点在同一直线上，且ZABO2,
证明△PMNCBA。
，并计算罟的值
（用含的式子表示）；
（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出
PM的最大值.
2.如图，D是厶ABC中AB边的中点，△BCE和厶ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.
（1）求证：
△DMN是等边三角形；
（2）连接EF，Q是EF中点，CP丄EF于点P.求证：
DP=DQ.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；
小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？
她考虑将
△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置
3.在厶ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P,使得/ABP=/ACP.过点P作PE丄AB于点
E,PF丄AC于点F.
（1）如图1,当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；
（2）
如图2,当ABAC,其它条件不变时，
（1）中的结论是否发生改变？
请说明理由.
图1图2
4.探究问题：
已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点0.
（1）△ABC为等边三角形，如图1，则A0:
0D=;
（2）当小明做完
（1）问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形（如图2）,⑴中的结论仍成立，请你给予证明•
（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图3,在厶ABC中，点E是边AC的中点，AD平分/BAC,AD丄BE于点F，若AD=BE=4.
求：
△ABC的周长.
A
B
5.如图1，在四边形ABCD中，ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与
BA、CD的延长线交于点M、N，贝UBMECNE（不需证明）.
（温馨提示：
在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明
HEHF，从而12，再利用平行线性质，可证得BMECNE.）
问题一：
如图2,在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断AOMN的形状，请直接写出结论.
（1）当直线m与BC平行时（如图
1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;
（2）当直线m绕点0旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?
需证明.
，其中
7.以平面上一点0为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作VAOB和VCOD
ABODCO30
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM
他条件不变，判断竺的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
EM
AB上的一个动点,
（3）如图3，若BO3、、3，点N在线段OD上，且NO2•点P是线段
在将VAOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为_
圏3
D
备用图
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