湖南省长沙市届高三联考数学理试题Word版含答案doc.docx
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湖南省长沙市届高三联考数学理试题Word版含答案doc
湖南省长沙市2017届高三12月联考
数学（理科）
本试题卷共6页，23题（含选考题）
全卷满分150分，考试用时120分钟
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合A
{x|x≥2}，B{x|x
1
x
4
A．
B．[2,4）
（2）已知复数z满足1
z
i，则|z|
（
1
z
A．1
B．2
（3）已知数列
{an}的前n项和SnAqn
0}，则AB
（
）
C．[2,
）
D．（4,
）
）
C．2
D．2
2
B（q0），则“A
B”是“数列{an}是等
比数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分且不必要条件
（4）在矩形ABCD中，AB2AD，在CD上任取一点P，ABP的最大边是AB的概
率是（）DPC
2
3
A．
B．
2
2
AB
C．21D．31
3
（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球
的表面积为（
）
3
3
正视图
侧视图
俯视图
27
A．
B．27
C．27
3
27
3
D．
2
y
4
（6）若变量x,y满足约束条件
x
y
4
0，则z2x
y的最小值是__
__．
x
y
0
A．4
B．6
C．8
D．12
2
2
（7）已知F1,F2是双曲线E:
x2
y2
1
的左，右焦点，过点
F1且与x垂直的直线与双曲
a
b
线左支交于点M,N，已知
MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（
）
A．2
B．2
C．12
D．22
（8）ABC是边长为2
的等边三角形，向量a，b满足AB
2a，AC2a
b，则向量
a，b的夹角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
（9）执行如图所示程序框图，
若输出的S值为
20，则条件
开始
框内应填写（
）
i1,S10
A．i
3?
B．i
4?
i
i
1
C．i
4?
S
S
2i
D．i
5?
是
（10）等差数列{an}的前n和为Sn，且a1＜0
，若存在自然
否
数m≥3，使得amSm，则当n＞m时，Sn与an的
输出S
大小关系是（
）
结束
A．Sn＜an
B．Sn≤an
C．Sn＞an
D．大小不能确定
（11）已知函数
f（x）
sin（x
）（
0，||
）
2
2016
的部分图象如图，则
f（n）（
）
n1
6
A．
1
B．0
C．
1
D．1
2
（12
）已知函数
f（x）
x2
ex
1（x0）与
2
gxx2
ln
x
a的图象上存在关于
y轴对称的点，则
a的取值范围是（）
1
B．,e
C．
1
A．,
e
e
e
1
5
612
1
1
D．e,
e
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必
须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共
4小题，每小题
5分，共20分．
（13
）已知直线l:
mx
y
30与圆（x1）2
y2
2相交，弦长为2，则m________．
（14
）在（2x1）（x
1）5的展开式中含
x3项的系数是___________（用数字作答）．
（15
）有共同底边的等边三角形
ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所
成角的余弦值为___________．
（16）有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，
到达排头后立即返回，
且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，
整个队伍正好前进
了L
米，则传令兵所走的路程为
___________．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知a,b,c分别为
ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC
3asinCbc0
（I）求A；
（II）若AD为BC边上的中线，cosB
1
129
ABC的面积．
，AD
，求
7
2
A
BDC
（18）（本小题满分12分）
为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一
地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得
到以下统计表．以样本的频率作为概率．
用电量（度）
（0,200]
（200,400]
（400,600]
（600,800]
（800,1000]
户数
5
15
10
15
5
（I）在该县山区居民中随机抽取
10
户，记其中年用电量不超过
600度的户数为
X，
求X的数学期望；
（II）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦
的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进
行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证
正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
（19）（本小题满分
12分）
如图，在四棱锥中
PABCD，
PA
平面
ABCD，
AD//BC，
AD
CD
，且
AD
CD
22，
BC
42，
PA
2．
（I）求证：
AB
PC；
（II）在线段PD上，是否存在一点
M
，使得二面角
M
AC
D的大小为
45
，如果
存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
P
M
AD
B
C
（20）（本小题满分
12分）
如图，设点A,B的坐标分别为（
3,0），（
3,0），直线AP，BP相交于点P，且它
们的斜率之积为
2．
3
（I）求点P的轨迹方程；
（II）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点，且满足
AP//OM，BP//ON，求证：
MON的面积为定值．
y
P
AB
Ox
（21）（本小题满分12
分），
函数f（x）
1x3
|xa|（xR，a
R）．
3
（I）若函数f（x）在R上为增函数，求a的取值范围；
（II）若函数f（x）在R上不单调时：
（i）记f（x）在[1,1]上的最大值、最小值分别为
M（a）、m（a），求M（a）
m（a）；
（ii）设bR，若|f（x）b|
2
x
[1,1]恒成立，求ab的取值范围．
对
3
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．
（22）（本小题满分10分）（选修4-4：
坐标系与参数方程）
在直角坐标系
xoy中，设倾斜角为
x
3tcos
的直线l的参数方程为
（t为参数）
y
tsin
1
x
与曲线C:
cos（为参数）相交于不同的两点A、B．
ytan
（I）若
，求线段AB的中点的直角坐标；
3
（II）若直线l
的斜率为2，且过已知点P（3,0），求|PA||PB|的值．
（23）（本小题满分10分）（选修4-5：
不等式选讲）
已知函数f（x）
|x
a|
|x
3|（a
3）．
（I）若不等式
f（x）
4
的解集为{x|x
1
9
或x
}，求a的值．
2
2
（II）若对x
R，f（x）
|x3|1，求实数a的取值范围．
数学（理科）参考答案
1．命题依据：
以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算．
答案：
D．
2．命题依据：
考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算．
1
i
（1
i）（1
i）
i．，故选A．
答案：
A．z
i
（1
i）（1
i）
1
3．命题依据：
具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．
答案：
B．若A
B
0，则Sn
0，故数列{an}不是等比数列；若数列
{an}是等比数
列，则a1
AqB，a2
Aq2
Aq，a3Aq3
Aq2
，由a3
a2
，得
a2
a1
AB．选B．
4．命题依据：
几何概型．
答案：
D．分别以
A、B为圆心，
AB为半径作弧，DP2
PP1C
交CD于P、P，则当
P
在线段
PP间运动时，能
1
2
12
使得
ABP的最大边是
1
2
31，
AB，易得PP
CD
B
即
ABP的最大边是AB的概率是
3
1．
A
5．命题依据：
由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．
答案：
B．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的
外接球的半径为33，从而计算得表面积为
4（33）2
27
．故选B．
2
2
6．命题依据：
线性规划的应用．
答案：
B．作出可行域为开放区域，
z
2x
y在直线x
y
4
0与直线x
y
0的
交点（2,2）处取得最小值
6．故选B．
7．命题依据：
双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．
答案：
C．由已知b2
2c，即c2
2ac
a2
0，得e2
2e
1
0，解得e
1
2，
a
故选C．
8．命题依据：
平面向量基本定理，向量的数量积运算．
答案：
C．易得120．
9．命题依据：
算法，程序框图．
答案：
D．
10．命题依据：
等差数列的性质，等差数列的单调性
答案：
C．若a1＜0，存在自然数m≥3，使得amSm，则d0．因为若d＜0，
则数列是递减数列，则Smam，不会有amSm．由于a1＜0，d0，当m≥3，
有amSm，则am0，Sm0，而SnSmam1an，显然Snan．故选C．
11．命题依据：
f（x）Asin（x）的图象与性质．
答案：
B．易得2，由五点法作图可知2
6
即f（x）
sin（2x
6
）．
2
1
3
1
4
故f（）
1
）
，f（
）
）
，f（
2
6
，f（
6
6
2
6
2016
1）
f（n
）
336
（1
1
1
1
1
0．故选
n1
6
2
2
2
2
12．命题依据：
函数的零点、方程的根的关系．
答案：
B．由题意得即方程
x2
ex
1
x2
ln
x
2
有正根，
即ex
1
ln
x
a
有正根，
2
作函数y
ex
1
与y
lnx
a
的图象，
2
1
则可知x
0时，ln
xa
2
故a
e．故选B．
，得．
26
5161
1，f（），f（），
6262
B．
yex1yyln（xa）
a2
1
2x
1O
2
13．命题依据：
直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．
答案：
m
3
．由已知可得圆心（
1,0）到直线的距离为d
|3
m|，所以
3
m2
1
（|3
m|）2
1
2，解得m
3
．
m2
1
3
14．命题依据：
二项式定理的应用．
答案：
C52（
1）2
2C53
（1）3
10．
15．命题依据：
线线角，面面垂直．
答案：
1．
4
16．命题依据：
数学应用，数学建模．
答案：
（12）L．
思路一：
令兵的速度v，伍行速度v，令兵从尾到排的
L
，从排到尾的
L
，往返共用
t
L
L
，令兵
v
vv
v
v
v
v
v
往返路程S
vt．由于令兵回到排尾后，整个伍正好前了
L米，L
vt．故
t（v2
v2）
2vL，可得t2（v2
v2）
2vtL．
即（vt）2
2L（vt）L2
0，解得vt
（1
2）L，令兵所走的路程
（1
2）L．
思路二：
令兵的速度
v，伍行速度
v，令兵从尾到排的
L
，从排到尾的
L
，易得
v
v
v
v
L
L
L，化得v2
v2
2vv，得v
21，
vvvvv
v
由于伍与令兵行相等，故令兵所走路程
（1
2）L．
17．命依据：
三解形中的恒等，正、余弦定理．
【分析】（I）利用正弦定理将的关系化角的关系，利用三角恒等求出B．
（II）先根据两角和差的正弦公式求出
sinC，再根据正弦定理得到
a,b,c的比
关系，再在
ABD或ACD利用余弦定理可求
b,c的，再由三角形面公式可求果．
【解答】（I）因acosC
3asinC
b
c
0
，由正弦定理得：
sinAcosC
3sinAsinC
sinB
sinC，即
sinAcosC
3sinAsinC
sin（A
C）
sinC，⋯⋯3分
化得：
3sinA
cosA
1，所以sin（A
30）
1
．⋯⋯5分
2
在ABC中，0
A
180
，所以A
30
30
，得A60．⋯⋯6分
（II）在
ABC中，cosB
1
，得sinB
4
3
7
7
．⋯⋯7分
sinC
sin（A
B）
3
1
1
4
3
5
3
．⋯⋯8分
2
7
2
7
14
由正弦定理得a
sinA
7
．⋯⋯9分
c
sinC
5
a7x，c
5x
，在
ABD中，由余弦定理得：
AD2
AB2
BD2
2ABBDcosB，
129
25x21
49x2
25x1
7x
1，解得x
1，
4
4
2
7
即a7,c5，⋯⋯11分
故S
ABC
1acsinB
2
103．⋯⋯
12分
18．命依据：
与概率，离散型随机量的期望，思想的用．数学抽象与
用意．
解：
（I）在山区居民中随机抽取
1，其年用量不超
600度事件A．由抽
可知，P（A）
3．⋯⋯3分
5
由已知可得从山区居民中随机抽取10，其中年用量不超600度的数
X服从二分布，即
X~B（10,3），故E（X）
103
6．⋯⋯6分
5
5
（II）山区居民年均用量E（Y），由抽可得
E（Y）100
5
15
10
15
900
5
300
500
50
700
500（度）⋯⋯10分
50
50
50
50
自然村年均用150000度．
300000
又村所装机年量
度，故机每年所量除保正常用
外能剩余量
150000
度，能村造直接收益
120000
分
元．⋯⋯12
19．命依据：
垂直的判定与明，空角的求解，空向量的用．
【分析】（I）利用几何形的特点，将空平面化后，找出垂直关系，行明；
（II）假存在点
M，利用二面角
M
AC
D的大小45确定点M的位置，再利
用平面MAC的法向量求面角．
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