湖南省长沙市届高三联考数学理试题Word版含答案doc.docx

1、湖南省长沙市届高三联考数学理试题Word版含答案doc湖南省长沙市 2017 届高三 12 月联考数学（理科 ）本试题卷共 6 页， 23 题（含选考题）全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟第I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合 A x | x 2 ， B x | x1x4A B 2, 4)（2）已知复数 z 满足 1zi ，则 | z |（1zA 1B 2（ 3）已知数列 an 的前 n 项和 Sn Aqn0 ，则 A B（）C 2,)D (4,)）C 2D 22B ( q 0) ，则“ AB ”是“数

2、列 an 是等比数列”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分且不必要条件（ 4）在矩形 ABCD 中， AB 2 AD ，在 CD 上任取一点 P ， ABP 的最大边是 AB 的概率是（ ） D P C23A B22A BC 2 1 D 3 13（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）33正视图侧视图俯视图27A B 27C 273273D2y4（6）若变量 x, y 满足约束条件xy40 ，则 z 2xy 的最小值是 _ xy0A 4B 6C 8D 1222（7）已知 F1 , F2 是双曲线 E : x2y21的左，右焦点，过点F1

3、且与 x 垂直的直线与双曲ab线左支交于点 M , N ，已知MF2 N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A 2B 2C 12D 22（8） ABC 是边长为 2的等边三角形，向量 a ， b 满足 AB2a ， AC 2ab ，则向量a ， b 的夹角为（）A 30B 60C 120D 150（9）执行如图所示程序框图，若输出的 S 值为20 ，则条件开始框内应填写（）i 1,S 10A i3?B i4?ii1C i4?SS2iD i5?是（10）等差数列 an 的前 n 和为 Sn ，且 a1 0，若存在自然否数 m 3，使得 am Sm ，则当 n m 时， Sn 与 an 的输

4、出 S大小关系是（）结束A Sn anB Sn anC Sn anD大小不能确定（11）已知函数f ( x)sin( x) （0 ， | |）22016的部分图象如图，则f ( n ) （）n 16A 1B 0C1D 12（ 12） 已 知 函 数f (x)x2ex1 ( x 0) 与2g x x2lnxa 的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）1B , eC1A , eee156 1211D e,e第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分第（ 13）（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（ 22）、（ 23）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4 小题，每

5、小题5 分，共 20 分（13）已知直线 l : mxy3 0 与圆 ( x 1)2y22 相交，弦长为 2 ，则 m _（14）在 (2 x 1)(x1)5 的展开式中含x3 项的系数是 _（用数字作答） （15）有共同底边的等边三角形ABC 和 BCD 所在平面互相垂直， 则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为 _（ 16）有一支队伍长 L 米，以一定的速度匀速前进排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变 如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了 L米，则传令兵所走的路程为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演

6、算步骤（17）（本小题满分 12 分）已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A, B, C 的对边，且 a cosC3a sin C b c 0（ I）求 A ；（ II）若 AD 为 BC 边上的中线， cos B1129ABC 的面积， AD，求72AB D C（18）（本小题满分 12 分）为响应国家 “精准扶贫，产业扶贫 ”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的 A 县推进光伏发电项目在该县山区居民中随机抽取 50 户，统计其年用电量得到以下统计表以样本的频率作为概率用电量（度）(0,200(200, 400(400,600(600,800(800,1000户数51

7、510155（ I）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600 度的户数为X ，求 X 的数学期望；（ II ）已知该县某山区自然村有居民 300 户若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组， 该机组所发电量除保证该村正常用电外， 剩余电量国家电网以 0.8 元 /度进行收购经测算以每千瓦装机容量年平均发电 1000 度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12 分）如图，在四棱锥中P ABCD ，PA平面ABCD ，AD / BC ，ADCD，且ADCD2 2 ，BC4 2 ，PA2 （ I）求证： ABP

8、C ；（ II ）在线段 PD 上，是否存在一点M，使得二面角MACD 的大小为45，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由PMA DBC（20）（本小题满分12 分）如图，设点 A, B 的坐标分别为 (3, 0) ， (3, 0) ，直线 AP ， BP 相交于点 P ，且它们的斜率之积为2 3（I）求点 P 的轨迹方程；（II ）设点 P 的轨迹为 C ，点 M 、 N 是轨迹为 C 上不同于 A, B 的两点，且满足AP / OM ， BP / ON ，求证： MON 的面积为定值yPA BO x（21）（本小题满分 12分），函数 f ( x)1

9、 x3| x a | （ x R ， aR ）3（I）若函数 f (x) 在 R 上为增函数，求 a 的取值范围；（II ）若函数 f ( x) 在 R 上不单调时：（ i）记 f ( x) 在 1,1上的最大值、最小值分别为M (a) 、 m( a) ，求 M (a)m(a) ；（ ii ）设 b R ，若 | f (x) b |2x 1,1恒成立，求 a b 的取值范围对3请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分（22）（本小题满分 10 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为x3 t cos的直线 l 的参数方

10、程为（ t 为参数）yt sin1x与曲线 C : cos （ 为参数）相交于不同的两点 A 、 B y tan（ I）若，求线段 AB 的中点的直角坐标；3（ II ）若直线 l的斜率为 2 ，且过已知点 P(3,0) ，求 | PA | | PB | 的值（23）（本小题满分 10 分）（选修 4-5：不等式选讲）已知函数 f ( x)| xa | x3| （ a3 ）（ I）若不等式f ( x)4的解集为 x | x19或 x ，求 a 的值22（ II ）若对 xR ， f ( x)| x 3| 1，求实数 a 的取值范围数学（理科）参考答案1命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法

11、切入，然后考查集合的交并运算答案： D 2命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算1i(1i )(1i )i ，故选 A 答案： A zi(1i )(1i )13命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件答案： B 若 AB0 ，则 Sn0 ，故数列 an 不是等比数列；若数列 an 是等比数列 ， 则 a1A q B， a2Aq2Aq ， a3 Aq3Aq 2， 由 a3a2， 得a2a1AB 选 B 4命题依据：几何概型答案： D分别以A 、 B 为圆心，AB 为半径作弧，D P2P P1 C交 CD 于 P 、 P ，则当P在线段PP 间运动时，能121 2使得ABP

12、 的最大边是123 1 ，AB ，易得 PPCDB即ABP的最大边是 AB 的概率是31A5命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算答案： B 由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为 3 3 ，从而计算得表面积为4 (3 3 )227故选 B226命题依据：线性规划的应用答案： B 作出可行域为开放区域，z2xy 在直线 xy40 与直线 xy0 的交点 (2, 2) 处取得最小值6 故选 B 7命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解答案： C由已知 b22c ，即 c22aca20，得 e22e10 ，解得 e12 ，

13、a故选 C8命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算答案： C易得 120 9命题依据：算法，程序框图答案： D 10命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案： C若 a1 0 ，存在自然数 m 3 ，使得 am Sm ，则 d 0 因为若 d 0 ，则数列是递减数列，则 Sm am ，不会有 am Sm 由于 a1 0 ， d 0 ，当 m 3 ，有 am Sm ，则 am 0 ， Sm 0 ，而 Sn Sm am 1 an ，显然 Sn an 故选 C11命题依据： f ( x) Asin( x ) 的图象与性质答案： B 易得 2 ，由五点法作图可知 26即 f (x)sin(

14、2 x6) 21314故 f ( )1)， f ()， f (26， f (662620161)f ( n)336(111110 故选n 16222212命题依据：函数的零点、方程的根的关系答案：B由题意得即方程x2e x1x2lnx2有正根，即 e x1lnxa有正根，2作函数 ye x1与 yln xa的图象，21则可知 x0 时， lnx a2故 ae 故选 B ，得 2 65 1 6 11， f ( ) ， f ( ) ，6 2 6 2By e x 1 y y ln( x a )a 212 x1 O213命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系答 案 ： m3 由 已 知可 得

15、 圆 心 (1,0) 到 直 线的 距 离 为 d| 3m | ， 所 以3m21(| 3m |)212 ，解得 m3m21314命题依据：二项式定理的应用答案： C52 (1)22C53 ( 1)310 15命题依据：线线角，面面垂直答案： 1 416命题依据：数学应用，数学建模答案： (1 2) L 思路一： 令兵的速度 v ， 伍行 速度 v ， 令兵从 尾到排 的 L，从排 到 尾的 L，往返共用 tLL， 令兵vv vvvvvv往返路程 Sv t 由于 令兵回到排尾后，整个 伍正好前 了L 米， Lvt 故t( v 2v2 )2v L ，可得 t 2 (v 2v2 )2v tL 即

16、(v t )22L(v t) L20 ，解得 v t(12) L ， 令兵所走的路程 (12) L 思路二： 令兵的速度 v ， 伍行 速度 v ， 令兵从 尾到排 的 L，从排 到 尾的 L， 易得vvvvLLL ，化 得 v 2v22v v ，得 v2 1，v v v v vv由于 伍与 令兵行 相等，故 令兵所走路程 (12) L 17命 依据：三解形中的恒等 ，正、余弦定理【分析】（ I）利用正弦定理将 的关系化 角的关系，利用三角恒等 求出 B （ II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到 a, b,c 的比 关系，再在ABD 或 ACD 利用余弦定理可求

17、b, c 的 ，再由三角形面 公式可求 果【解答】（ I）因 a cosC3a sin Cbc0，由正弦定理得：sin AcosC3 sin A sin Csin Bsin C ，即sin AcosC3 sin A sin Csin( AC )sin C ， 3 分化 得：3 sin Acos A1 ，所以 sin( A30 )1 5 分2在 ABC 中， 0A180，所以 A3030，得 A 60 6 分（ II ）在ABC 中， cos B1，得 sin B4377 7 分sin Csin( AB)3114353 8 分272714由正弦定理得 asin A7 9 分csin C5a 7

18、x， c5x，在ABD 中，由余弦定理得：AD 2AB2BD 22AB BD cosB ， 12925 x2 149 x22 5x 17x1 ，解得 x1 ，4427即a 7, c 5 ， 11 分故 SABC1 ac sin B210 3 12 分18命 依据： 与概率，离散型随机 量的期望， 思想的 用数学抽象与 用意 解：（ I ） 在 山区居民中随机抽取1 ，其年用 量不超 600 度 事件 A 由抽 可知， P( A)3 3 分5由已知可得从 山区居民中随机抽取 10 ， 其中年用 量不超 600 度的 数 X 服从二 分布，即X B(10,3) ，故 E( X )10 36 6分55（ II ） 山区居民 年均用 量 E(Y) ，由抽 可得E (Y) 1005151015900530050050700500 （度） 10 分50505050 自然村年均用 150000度300000又 村所装 机 年 量 度，故 机 每年所 量除保 正常用 外 能剩余 量 150000度，能 村 造直接收益120000分元 1219命 依据：垂直的判定与 明，空 角的求解，空 向量的 用【分析】（ I）利用几何 形的特点，将空 平面化后，找出垂直关系， 行 明；（ II ）假 存在点M ，利用二面角MACD 的大小 45 确定点 M 的位置，再利用平面 MAC 的法向量求 面角