通用版版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教案理.docx

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通用版版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教案理

第8讲　函数与方程

1．函数的零点

函数零点的概念

对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点

方程的根与函数零点的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点

函数零点的存在定理

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f（b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

与x轴的交点

（x1，0），（x2，0）

（x1，0）

无交点

零点个数

两个

一个

零个

3.二分法

条件

（1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断；

（2）在区间端点的函数值满足f（a）·f（b）＜0

方法

不断地把函数y＝f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（　　）

（2）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0.（　　）

（3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．（　　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac<0时没有零点．（　　）

（5）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

y

124.4

33

－74

24.5

－36.7

－123.6

则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）

A．2个　B．3个

C．4个D．5个

解析：

选B.依题意，f

（2）>0，f（3）<0，f（4）>0，f（5）<0，根据零点存在性定理可知，f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有一个零点，故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个．

函数f（x）＝x－的零点有________个．

解析：

函数f（x）＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，即方程x＝的解的个数，也就是函数y＝x与y＝的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.

答案：

1

已知函数f（x）＝2ax－a＋3，若∃x0∈（－1，1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是________．

解析：

依题意可得f（－1）·f

（1）<0，即（－2a－a＋3）（2a－a＋3）<0，解得a<－3或a>1.

答案：

（－∞，－3）∪（1，＋∞）

　　　　　　函数零点所在区间的判断

[典例引领]

函数f（x）＝lnx－的零点所在的大致区间是（　　）

A．（1，2）B．（2，3）

C．（1，e）和（3，4）D．（e，＋∞）

【解析】　因为f′（x）＝＋>0（x>0），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（3）＝ln3－>0，f

（2）＝ln2－1<0，所以f

（2）·f（3）<0，所以f（x）唯一的零点在区间（2，3）内．故选B.

【答案】　B

判断函数零点所在区间的方法

方法

解读

适合题型

定理法

利用函数零点的存在性定理进行判断

能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负

图象法

画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断

容易画出函数的图象

[通关练习]

1．在下列区间中，函数f（x）＝3x－x2有零点的区间是（　　）

A．[0，1]　B．[1，2]

C．[－2，－1]D．[－1，0]

解析：

选D.因为f（0）＝1，f

（1）＝2，所以f（0）f

（1）＞0，

因为f

（2）＝5，f

（1）＝2，

所以f

（2）f

（1）＞0，

因为f（－2）＝－4＝－，f（－1）＝－1＝－，

所以f（－2）f（－1）＞0，

因为f（0）＝1，f（－1）＝－1＝－，

所以f（0）f（－1）＜0，

易知[－1，0]符合条件，故选D.

2．若x0是方程＝x的解，则x0属于区间（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C.令g（x）＝，f（x）＝x，

则g（0）＝1>f（0）＝0，g＝

g＝>f＝，

所以由图象关系可得

　　　　　　函数零点个数的判断

[典例引领]

（1）已知函数f（x）＝则函数f（x）的零点为（　　）

A．，0　　B．－2，0

C．D．0

（2）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝2x＋x－3，则f（x）的零点个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　

（1）当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x＞1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，

解得x＝，

又因为x＞1，

所以此时方程无解．

综上函数f（x）的零点只有0.

（2）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，所以0是函数f（x）的一个零点．当x>0时，令f（x）＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f（x）在（0，＋∞）内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x<0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3.故选C.

【答案】　

（1）D　

（2）C

函数零点个数的判断方法

（1）直接求零点，令f（x）＝0，有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

（3）利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．　

[通关练习]

1．函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A．3B．2

C．7D．0

解析：

选B.法一：

由f（x）＝0得或解得x＝－2或x＝e.

因此函数f（x）共有2个零点．

法二：

函数f（x）的图象如图所示，

由图象知函数f（x）共有2个零点．

2．函数f（x）＝的零点个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选C.当x<0时，令f（x）＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0（舍去）．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f（x）＝ex－x－2，而f′（x）＝ex－1，显然f′（x）≥0，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝e0－0－2＝－1<0，f

（2）＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f（x）有且只有一个零点．综上，函数f（x）只有2个零点，故选C.

　　　　　　函数零点的应用[学生用书P33]

[典例引领]

（1）（分离参数法）若函数f（x）＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．

（2）（数形结合思想）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

【解析】　

（1）因为函数f（x）＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，

所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，

即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．

方程a＝4x－2x可变形为a＝（2x－）2－，

因为x∈[－1，1]，

所以2x∈，

所以－∈.

所以实数a的取值范围是.

（2）函

数g（x）＝f（x）－m有3个零点，转化为f（x）－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f（x），y＝m的交点有3个．画出函数y＝f（x）的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为（－1，1），由图可知实数m的取值范围是（0，1）．

【答案】　

（1）　

（2）（0，1）

已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法

[通关练习]

1．（2018·河南新乡模拟）若函数f（x）＝log2（x＋a）与g（x）＝x2－（a＋1）x－4（a＋5）存在相同的零点，则a的值为（　　）

A．4或－B．4或－2

C．5或－2D．6或－

解析：

选C.g（x）＝x2－（a＋1）x－4（a＋5）＝（x＋4）[x－（a＋5）]，令g（x）＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f（－4）＝log2（－4＋a）＝0或f（a＋5）＝log2（2a＋5）＝0，解得a＝5或a＝－2.

2．（2018·四川绵阳模拟）函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，3）B．（1，2）

C．（0，3）D．（0，2）

解析：

选C.由题意，知函数f（x）在（1，2）上单调递增，又函数一个零点在区间（1，2）内，

所以即

解得0

3．（2018·福建漳州八校联考）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．

解析：

令g（x）＝f（x）－m＝0，得f（x）＝m，则函数g（x）＝f（x）－m有三个零点等价于函数f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：

当x≤0时，f（x）＝x2＋x＝－≥－，若函数f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则－

答案：

明确三个等价关系（三者相互转化）

函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是相应函数的零点的个数，亦即该函数的图象与x轴交点的个数．

如：

二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件．

函数的对称性与函数零点之和

已知x0为函数f（x）的零点．

（1）若函数f（x）为奇函数，则－x0也为函数f（x）的零点，故奇函数的所有零点之和为0.

（2）若函数f（x）为偶函数，则－x0也为函数f（x）的零点，故偶函数的所有零点之和为0.

（3）若函数f（x）的图象关于直线x＝b对称，则2b－x0也为函数f（x）的零点，若该函数有2n个零点，则该函数所有零点之和为2nb.

易误防范

（1）函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．

（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．（2018·湖北襄阳四校联考）函数f（x）＝3x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）

A．0　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选B.由题意知f（x）单调递增，且f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f

（1）＝3＋1－2＝2>0，即f（0）·f

（1）<0且函数f（x）在（0，1）内连续不断，所以f（x）在区间（0，1）内有一个零点．

2．已知实数a>1，0

A．（－2，－1）B．（－1，0）

C．（0，1）D．（1，2）

解析：

选B.因为a>1，00，由零点存在性定理可知f（x）在区间（－1，0）上存在零点．

3．（2018·辽宁大连模拟）已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x）＝x2－3x（x≥0），若函数g（x）＝则y＝f（x）－g（x）的零点个数为（　　）

A．1B．3

C．2D．4

解析：

选B.作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f（x）－g（x）有3个零点，故选B.

4．（2018·云南省第一次统一检测）已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f（x）＝2017－（x－a）（x－b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（　　）

A．a>c>b>dB．a>b>c>d

C．c>d>a>bD．c>a>b>d

解析：

选D.

f（x）＝2017－（x－a）（x－b）＝－x2＋（a＋b）x－ab＋2017，又f（a）＝f（b）＝2017，c，d为函数f（x）的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.

5．（2018·河北承德模拟）若函数f（x）＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．

B．

C．（－∞，0）∪

D．（－∞，0）∪

解析：

选B.由题意知，当x≤0时，函数f（x）有1个零点，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得00时函数f（x）有2个零点，只需解得a>，综上可得实数a的取值范围是

6．（2018·河北石家庄模拟）若函数f（x）＝m＋的零点是－2，则实数m＝________．

解析：

依题意有f（－2）＝m＋＝0，解得m＝－9.

答案：

－9

7．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为（x0，y0），若x0∈（n，n＋1），n∈N，则x0所在的区间是________．

解析：

设f（x）＝x3－，则x0是函数f（x）的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝

的图象如图所示．

因为f

（1）＝1－＝－1<0，f

（2）＝8－＝7>0，所以f

（1）f

（2）<0，所以x0∈（1，2）．

答案：

（1，2）

8．已知函数f（x）＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

当x<1时，显然函数f（x）存在唯一零点x＝0，所以当x≥1时，函数f（x）存在唯一零点，又因为y＝2x在[1，＋∞）上单调递增且值域为[2，＋∞），所以a的取值范围为[2，＋∞）．

答案：

[2，＋∞）

9．设函数f（x）＝ax2＋bx＋b－1（a≠0）．

（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f（x）的零点；

（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝x2－2x－3，令f（x）＝0，得x＝3或x＝－1.

所以函数f（x）的零点为3或－1.

（2）依题意，f（x）＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a（b－1）>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有（－4a）2－4×（4a）<0⇒a2－a<0，解得0

10．设函数f（x）＝（x>0）．

（1）作出函数f（x）的图象；

（2）当0

（3）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：

（1）如图所示．

（2）因为f（x）＝

＝

故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数，

由0

（3）由函数f（x）的图象可知，当0

1．已知a是函数f（x）＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（　　）

A．f（x0）＝0B．f（x0）＞0

C．f（x0）＜0D．f（x0）的符号不确定

解析：

选C.在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象（图略），由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜logx0，即f（x0）＜0.

2．（2018·贵州省适应性考试）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（2－x）－b，其中b∈R.若函数y＝f（x）＋g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A．（7，8）B．（8，＋∞）

C．（－7，0）D．（－∞，8）

解析：

选A.由已知可得f（x）＝＝将f（x）＋g（x）＝0转化为f（x）＋f（2－x）＝b，令函数F（x）＝f（x）＋f（2－x），则F（x）＝，作出函数F（x）的图象，如图，要使F（x）的图象与直线y＝b有四个交点，则有

3．（2018·江苏镇江模拟）函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．

解析：

当x≤0时，令|x2＋2x－1|＝0，解得x＝－1－（x＝－1＋舍去），所以函数f（x）在（－∞，0]上有一个零点，因此f（x）在（0，＋∞）上有一个零点．又因为y＝2x－1＋a在x∈（0，＋∞）上单调递增，所以只需2－1＋a<0，解得a<－.

答案：

4．函数f（x）＝＋2cosπx（－4≤x≤6）的所有零点之和为________．

解析：

原问题可转化为求y＝与y＝－2cosπx的图象在[－4，6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在[－4，6]上的图象（图略），可知在x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.

答案：

10

5．已知函数f（x）＝－x2－2x，

g（x）＝

（1）求g[f

（1）]的值；

（2）若方程g[f（x）]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：

（1）利用解析式直接求解得g[f

（1）]＝g（－3）＝－3＋1＝－2.

（2）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（－∞，1）内有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g（t）（t<1）与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g（t）（t<1）的图象（图略），由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g（t）（t<1）与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

6．已知二次函数f（x）的最小值为－4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝－4lnx的零点个数．

解：

（1）因为f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

所以f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝ax2－2ax－3a，且a>0.

所以f（x）min＝f

（1）＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3.

（2）因为g（x）＝－4lnx＝x－－4lnx－2（x>0），

所以g′（x）＝1＋－＝.

令g′（x）＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

0

＋

g（x）

极大值

极小值

当0

（1）＝－4<0.

又因为g（x）在（3，＋∞）上单调递增，因而g（x）在（3，＋∞）上只有1个零点．

故g（x）在（0，＋∞）上只有1个零点．

第9讲　函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

指数函数模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，

a>0且a≠1，b≠0）

对数函数模型

f（x）＝blogax＋c

（a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0）

幂函数模型

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0）

2.三种函数模型性质比较

y＝ax（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）

上的单调性

增函数

增函数

增函数

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x值增大，图象与y轴接近平行

随x值增大，图象与x轴接近平行

随n值变化而不同

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）幂函数增长比一次函数增长更快．（　　）

（2）在（0，＋∞）内，随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度会超过并远远大于y＝xα（α>0）的增长速度．（　　）

（3）指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．（　　）

（4）不存在x0，使ax0

答案：

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

（教材习题改编）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（　　）

答案：

B

生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（　　）

A．36万件　　B．18万件

C．22万件D．9万件

解析：

选B.设利润为L（x），则利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值．

某城市客运公司确定客票价格的方法是：

如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y（元）与行驶千米数x（km）之间的函数关系式是________．

解析：

由题意可得

y＝

答案：

y＝

（教材习题改编）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

解析：

依题意得，

即解得a＝2，b＝－2.

所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.

x＝1024（万元）．

答案：

1024

　　　　　　一次函数与二次函数模型（高频考点）

高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：

（1）单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；

（2）以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．

[典例引领]

角度一　单一考查一次函数或二次函数模型的

建立及最值问题

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：

万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：

万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（　　）

A．10.5万元　　　　　　B．11万元

C．43万元D．43.025万元

【解析】　该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，

所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－）2＋0.1×＋32.

因为x∈[0，16]且x∈N，

所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C.

【答案】　C

角度二　以分