函数微分的定义.docx
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函数微分的定义
函数微分的定义：
设函数在某区间内有定义，X0及Xo+Ax在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x的常数，-:
-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：
丁;在点Xo可微的。
心丁叫做函数」j—在点xo相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：
「二」—
通过上面的学习我们知道：
微分：
是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于Ax的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：
当△x宀0时，△y~dy.导数的记
—=广⑴
号为：
一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:
定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：
由此我们得出：
若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：
设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量
X在X0处有增量厶X（X+△X也在该邻域内）时，相应地函数有增量
''■-'-?
■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称
这个极限值为""⑴在Xo处的导数。
记为：
还可记为：
必f,八心）
函数在点Xo处存在导数简称函数」八在点Xo处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数'';的导函数。
导数公式
微分公式
（cy=o
d（P）=Q
（卄1
出⑴=必
小=』
（sinx）r=cosx
N（sinx）=cosxdi
#0）=eKdx
二丄
日⑴）二也
X
函数和、差、积、商的求导法则
函数和、差、积、商的微分法则
（u±p>f=wf+vf
N（側±v）=du土du
（C,«）r=Cuf
d（Cu）=C血
（tfv）f=afv-Fwvf
d3）=卩血+udv
L£FV—Vf
UJv3
』a\ViAc-
&\-空
拉格朗日中值定理
如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少
有一点c,使
这个定理的特殊情形，即：
-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：
若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1：
'：
「•’」，那末在（a,b）
内至少有一点6使v「成立。
注：
这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提岀来的。
注：
在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理一一柯西中值定理
柯西中值定理
如果函数”-■，_在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且旨（对工°，
那末在（a，b）内至少有一点c，使g（町-M#©
成立。
罗彼塔（L'Hospital）法则
当xTa（或xis）时，函数'都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内（或当丨x|
>N）时，「-与--都存在，—」。
，且二一7存在
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔（L'Hospital）法则
注：
它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
彼塔法则存在的条件破列
曲线凹向的判定定理
定理一：
设函数尹=JW在区间（a,b）上可导，它对应曲线是向上凹（或向下凹）的充分必要条件是：
导数广⑴在区间（a,b）上是单调增（或单调减）。
定理二：
设函数在区间（a,b）上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
若在（a,b）内，＞0,则」J*一在［a,b］对应的曲线是下凹的；
若在（a,b）内，v0,则」*一在［a,b］对应的曲线是上凹的；
不定积分的概念
函数f（x）的全体原函数叫做函数f（x）的不定积分，
记作。
由上面的定义我们可以知道：
如果函数F（x）为函数f（x）的一个原函数，那末f（x）的不定积分
Ms必就是函数族
F（x）+C.
即'=F（x）+C
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u（x）及v=v（x）具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：
（uv）'=u'v+uv'，移项，得
uv'=（uv）'-u'v，对其两边求不定积分得：
"■I■-I■-J.I11■■
FK〉
这就是分部积分公式
例题:
求1':
J
解答：
这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得:
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙
选取u和dv一般要考虑两点：
（1）v要容易求得；
⑵卩礪比J"和容易积出
有理函数的积分举例
有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，
反之为真分式。
我们有了定积分的概念了，那么函数f（x）满足什么条件时才可
积？
定理
（1）：
设f（x）在区间［a,b］上连续，则f（x）在区间［a,b］上可积。
（2）:
设f（x）在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断
点，则f（x）在区间［a,b］上可积
定积分的性质
性质
（1）:
函数的和（差）得定积分等于它们的定积分的和（差）
即.饷K＞土魚刖如=fJV）山兰f蛉）必
性质
（2）:
被积函数的常数因子可以提到积分号外面.
即：
他购
性质（3）:
如果在区间［a,b］上,f（x），'wi“（a性质（4）:
设M及m分别是函数f（x）在区间［a,b］上的最大值及最
小值，贝Sm（b-a）wl；”wM（b-a）
性质（5）:
如果f（x）在区间［a,b］上连续，则在积分区间［a,b］上至少存在一点E，使下式成立：
=f（E）（b-a）
注：
此性质就是定积分中值定理
定积分的换元法
我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。
因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。
定理：
设函数f（x）在区间［a,b］上连续；函数g（t）在区间［m,n］上是单值的且有连续
导数；当t在区间［m,n］上变化时,x=g（t）的值在［a,b］上变化，且g（m）=a,g（n）=b;则
有定积分的换元公式：
⑴乩•=f亢或0］宫逬）成
例题:
计算昭宀宀心汕
解答:
设x=asint,则dx二acostdt,且当x=0时，t=0;当x=a时，t=（2.于是:
IT
W2
rfr=■予J#（1+cos2/）Jf-号-
1H■—sin.2t
_7_
3ran
注意：
在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变
■
定积分的分部积分法
计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。
设u（x）、v（x）在区间［a,b］上具有连续导数u'（x）、v'（x），则有（uv）'二u'v+uv',分别
求此等式两端在［a,b］上的定积分，并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式。
例题：
计算
解答：
设丘"贝』胃=厂，论M，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。
设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：
£汩前=甘占-乍s-=«-（e-1）三1
故:
冷心
广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具
有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。
为此我们对定积分加
以推广，也就是广义积分。
一：
积分区间为无穷区间的广义积分
设函数f（x）在区间［a,+旳上连续，取b>a.如果极限
皿皿存在，
则此极限叫做函数f（x）在无穷区间［a,+p上的广义积分，
记作：
加，即：
「％）旳勻旣加诚.
此时也就是说广义积分Q恥收敛。
如果上述即先不存在，则说广义积分『代购发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数f（x）在区间（-汽b］上连续，取a也〜俎存在，
则此极限叫做函数f（x）在无穷区间（-汽b］上的广义积分，
记作：
匚％妙，
即：
I畑妙二邑
此时也就是说广义积分Sm收敛。
如果上述极限不存在，就说广义积分匸心发
■
如果广义积分『丿（上妙和匚几诚都收敛!
则称上述两广义积分之和为函数.在无穷
区间（-半+旳上的广义积分，
记作：
亡心，
即：
亡“妙=C/w^+r八皿
上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分
dx
十丿
十片
lint
fl.—-iQC'
°1+?
lirn[aictonx]fi+1im[airtanx-
fl.—cofl—
10
十异
=-limarctAiliS+Milkaictan^
例题：
计算广义积分*十上二：
积分区间有无穷间断点的广义积分
解答:
设函数f（x）在（a,b］上连续，而思妙取歹0,如果极限
民化兀X存在，贝y极限叫做函数f（x）在（a,b］上的广义积分，仍然记作：
『川°小.
即：
力⑴血=賂
这时也说广义积分加泸收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散
limf（a—g
类似地，设f（x）在［a,b）上连续，而宀川“.取汕，如果极限
曲心存在,
则定义〃曲=既广兀泸；
否则就说广义积分发散。
又，设f（x）在［a,b］上除点c（a"曲都收敛，
则定义：
f」⑴川二打3
旳+ff5妙
否则就说广义积分"曲发散。
例题：
计算广义积分4’（a>0）
Jim—=4-00
解答：
因为，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所
学得公式可得：
Em
=lim
「"1
3S
工
仪一占
atcsin—
=lim
arcsin0
=arcsinl=一
L口
2
0
■4
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