函数微分的定义.docx

1、函数微分的定义函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及Xo+A x在这区 间内，若函数的增量可表示为几1宀，其中A是不依赖于 x 的常数，-:-是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点Xo可微的。 心丁叫做函数j 在点xo相应于自变量增量 x的微分，记作dy， 即：二通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量 x的线性函 数，dy与厶y的差 宀是关于Ax的高阶无穷小量，我们把 dy称作 y的线性主部。于是我们又得出：当 x宀0时， ydy.导数的记=广号为：一，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而 且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量 等于自变量的微分）

2、，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可 微，反之亦成立。导数的定义：设函数1 -在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ X也在该邻域内）时，相应地函数有增量 - - ? -，若 y与厶x之比当 x-0时极限存在，则称这个极限值为在Xo处的导数。记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点Xo处存在导数简称函数八在点Xo处可导，否则不可 导。若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间 （a,b）内可导。这时函数对于区间佝b）内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这 个函数为原来函数 ;的导函数

3、。导数公式微分公式(cy = od(P) = Q(卄1出=必小=(sin x)r= cosxN(sin x) = cos xdi#0) = eKdx二丄日）二也X函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则(upf = wf + vfN (側 v) = du 土 du(C,)r = Cufd(Cu) = C血(tfv)f = afv-Fwvfd 3)=卩血 + udvL FV VfUJ v3a ViAc-& -空拉格朗日中值定理如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为 罗尔定理。描述如下：若在闭

4、区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，且1： ： ，那末在（a,b）内至少有一点6使v 成立。注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提岀来的。注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理 一一柯西中值定理柯西中值定理如果函数 ” - ， _ 在闭区间a，b上连续，在开区间（a， b）内可导，且旨（对 工，那末在（a，b）内至少有一点 c，使 g （町-M #成立。罗彼塔（LHospital） 法则当xTa（或xis）时，函数都趋于零或无穷大，在点 a的某个去心邻域内（或当丨x | N）时，-与-

5、都存在，。，且二一 7存在这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔 （LHospital） 法则注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。彼塔法则存在的条件破列曲线凹向的判定定理定理一：设函数 尹=JW 在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹 (或向下凹)的充分必要条件是：导数 广 在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。定理二：设函数 在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：若在(a,b)内，0,则 J *一在a,b对应的曲线是下凹的；若在(a,b)内，v 0,则 *一在a,b对应的曲线是上凹的；不定积分的概念

6、函数f(x)的全体原函数叫做函数 f(x)的不定积分，记作。由上面的定义我们可以知道：如果函数 F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末 f(x)的不定积分Ms必就是函数族F(x)+C.即 =F(x)+C分部积分法这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为： (uv)=uv+uv ，移项，得uv=(uv)-uv ，对其两边求不定积分得：I - I -J.I 11 F K 这就是分部积分公式例题:求 1 :J解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。设 u=x，dv=cosxdx，那末 du=dx，

7、v=sinx，代入分部积分公式得:关于分部积分法的问题在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙选取u和dv 一般要考虑两点：(1)v要容易求得；卩礪比J和容易积出有理函数的积分举例有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为 假分式，反之为真分式。我们有了定积分的概念了，那么函数 f(x)满足什么条件时才可积？定理(1)：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在区间a,b上 可积。(2):设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间a,b上可积定积分的性质性质(1):函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和

8、(差)即.饷K土魚刖如=fJV)山兰f蛉)必性质(2):被积函数的常数因子可以提到积分号外面.即：他购性质(3):如果在区间a,b上,f(x) g(x),则：， wi “ (aa.如果极限皿皿存在，则此极限叫做函数f(x)在无穷区间a,+ p 上的广义积分，记作：加， 即：)旳勻旣加诚.此时也就是说广义积分Q恥收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分代购发 散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。类似地，设函数f(x)在区间(-汽b上连续，取ab.如果极限也俎 存在，则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-汽b上的广义积分，记作：匚妙，即：I畑妙二邑此时也就是说广义积分 Sm收敛。如果上述极

9、限不存在，就说广义积分 匸心 发如果广义积分丿(上妙和匚几诚都收敛!则称上述两广义积分之和为函数.在无穷区间(-半+旳上的广义积分，记作：亡心，即：亡“妙=C/w+r八皿上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分dx十丿十片lintfl.-iQC1+?lirn aictonxfi + 1im airtanx-fl.co fl 10十异=-lim arctAiliS + Milk aictan例题：计算广义积分*十上 二：积分区间有无穷间断点的广义积分解答:设函数f(x)在(a,b上连续，而 思妙取歹0,如果极限民化兀X存在，贝y极限叫做函数f(x)在(a,b上的广义积分， 仍然记作：川小.即：力血=賂这时也说广义积分 加泸收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分 发散lim f( a g类似地，设f(x)在a,b)上连续，而 宀川“ .取 汕，如果极限曲心存在,则定义曲=既广兀泸；否则就说广义积分发散。又，设f(x)在a,b上除点c(ac0)Jim = 4-00解答：因为，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：Em=lim 13S工仪一占atcsin =limarcsin 0=arcsinl = 一L 口20 4欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求