数论之同余问题.docx
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数论之同余问题
数论之同余问题
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），
知识点拨：
三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的
余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以
23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和
再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，故
23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，
即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c
的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以
23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积
再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，所以
23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那
么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（mod
m），左边的式子叫做同余式。
同余式读作：
a同余于b，模m。
由同余的性质，
我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，
则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：
如果有a≡b（modm），那么一定
有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）
例如：
20和8被自然数3除有相同的余数2。
则
20-8一定能被2整除
【模块：
三大余数定理的应用】
【例1】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数
分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余
定理，我们可以得到：
这个数一定能整除这三个数
中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公
约数．1014556，594514，（56,14）14，14的约数有1,2,7,14，
所以这个数可能为2,7,14。
【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【解析】（法1）39336，1473144，（36,144）12，12的约数是1,2,3,4,6,12，
因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；
（法2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整
除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意
两数差的公约数．
513912，14739108，（12,108）12，所以
这个数是4,6,12．
在小于1000的自然数中，分别除以
18及33所得
【巩固】
余数相同的数有多少个?
（余数可以为0）
【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，
所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，⋯，17，198（余O）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999÷198=5⋯⋯9，所以共有5×18+9=99个
这样的数．
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【解析】设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和
b，余数分别为m和n，则s17am19bn．
根据题意可知ambn，所以samsbn，即16a18b，
得8a9b．所以a是9的倍数，b是8的倍数．此时，
由ambn知nmaba
8a
1a．
9
9
由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以
10017am999，而1m16，
所以17a117am999，10017am17a16，得到5a58，而a是
9的倍数，所以a最小为9，最大为54．
当a54时，nm
1
，而n18，所以m12，故此时s最大
a6
9
为175412930；
当a9时，nm
1
，由于m1，所以此时
s最小为
a1
9
1791154．
所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
【例2】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a
b，求abba．
【解析】abba
能被7
整除，即
能被7整除．所
（10ab）（10ba）9（ab）
以只能有a
b7，那么ab可能为92
和81，验算可得
当ab
92时，ba29满足题目要求，abba9229
2668
【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那
么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该
数应该为1186751和673334
的公约数，所求答案为17．
【巩固】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
_________．
【解析】因为1390313511392,1458913903686，
由于13511，13903，14589要被同一个数除时，
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整
除．（392,686）98，所以所求的最大整数是98．
【例3】（2003年南京市少年数学智力冬令营试题
）2
2003与
20032的和除以7的余数是________．
【解析】找规律．用7除2，22，23，24，25，26，⋯的余数分
别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，⋯,2的个数
是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3
的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3
的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003236672，
所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，
与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003
除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和
除以7的余数是415．
【巩固】（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995，
1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被
9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共
有______组．
【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余
数依次是6，0，2，3，5．
因为252507，25360253679，
所以这样的数组共有下面4个：
2000,2003，
1998,2000,2003，
2000,2003,2001,1995，1998,2000,2003,2001,1995．
【例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【解析】（70110160）50290
，
，除数应当是
290的大于
50
316......2
17小于70的约数，只可能是29和58，110581......52，
5250，所以除数不是58．
70292......12，110293......23，160295......15，12231550，所以
除数是29
【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为
25，那么n=________
【解析】n能整除639112925258．因为2538...1，所以n是
258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．
【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【解析】
本题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算
101，
126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，
1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，
2，1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5
盘是最多的。
【例5】（2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题）六名
小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26
元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词
典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是
其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．
【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为
甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们
五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余
1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语
大词典》的定价是（1417182126）332（元）．
【巩固】．
【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．
（15
1618192031）（12）119339...2，剩下的一箱货物重量除
以3
应当余2，只能是20千克．
【例6】求2461135604711的余数．
【解析】因为246111223...8，1351112...3，604711549...8，根据同余定
理（三），
2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，
1921117...5，所以2461135604711的余数为5．
【巩固】（华罗庚金杯赛模拟试题）求478296351除以17的余
数．
【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计
算出各因数除以17的余数，再求余数之积除
以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7
和11，（2711）179......1．
【巩固】求31997的最后两位数．
【解析】即考虑31997除以100的余数．由于100425，由于3327除
以25余2，所以39除以25余8，
310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即3201能被4和25整
除，而4与25互质，所以3201能被100整除，即320
除以100余1，由于
1997209917，所以31997除以100的余数即等于317除以
100的余数，而36729除以100余29，35243除以100
余43，317（36）235，所以317除以100的余数等于292943
除以100的余数，而29294336163除以100余63，
所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．
【巩固】2222除以13所得余数是_____.
2000个"2"
【解析】我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以
答案为22÷13余9。
【巩固】求14389除以7的余数．
【解析】法一：
由于1433mod7
（143被7除余3），
所以143
3mod7
（143
被7除所得余数与3
被7除所得
89
89
89
89
余数相等）
而36729，7291mod7（729除以7的余数为1），
所以
89
1
44
2443
6
5
5
．
6
6
L3
3
3
3
3
35mod7
14个
故14389除以7的余数为5.
法二：
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方
法，规律如下表：
31323334353637L
mod73264513L
于是余数以6为周期变化．所以389355mod7．
【巩固】（2007年实验中学考题）12
22
32
L
20012
2002除以7的
余数是多少？
【解析】由于
2
2
2
2
2
2002
2003
4005
，而
1
2
3L
20012002
6
100120031335
1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，
故122232L2001220022除以7的余数是0；
【巩固】31303031被13除所得的余数是多少？
【解析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，L
时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，
8，1L以4为周期循环出现，所以530被13除的余
数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13
的余数为12；
30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，L时，
4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，
1，4，3，12，9，10，LL以6为周期循环出现，
所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余
数，即4，故3031除以13的余数为4；
所以31303031被13除所得的余数是124133．
【巩固】（2008年奥数网杯）已知a20082008L2008，问：
a除以13144424443
2008个2008
所得的余数是多少？
【解析】2008除以13余6，10000除以13余3，注意到
200820082008100002008；
20082008200820082008100002008；
2008200820082008200820082008100002008；
LL
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6361311，200820082008
除以13余1136390，即200820082008
是13的
倍数．
而2008除以3余1，所以
144424443
除以13的余数
a20082008L2008
2008个2008
与2008除以13的余数相同，为6.
【巩固】77777
除以41
的余数是多少？
14243
1996个7
【解析】找规律：
741
□7，7741□36，777
41□39，777741
□28，
77777
41□0，⋯⋯，所以77777
是41的倍数，而
19965
399L1，所以1477724377可以分成399段77777
和1
1996个7
个7组成，那么它除以41的余数为7．
1
2
3
4LL
2005
除以10所得的余数为多少？
【巩固】1
2
3
4
2005
【解析】
求结果除以
10
的余数即求其个位数字．从
1到
2005
这2005
个数的个位数字是10个一循环的，
而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个
一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20
是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．
首先计算11223344LL2020的个位数字，
为1476563690163656749094的个位数
字，为4，
由于2005个加数共可分成100组另5个数，100
组的个位数字和是4100400的个位数即0，另外5个
数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位
数字是1476523的个位数3，所以原式的个位数
字是3，即除以10的余数是3．
【例7】求所有的质数P，使得4p21与6p21也是质数．
【解析】如果p5，则4p21101，6p21151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、
2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42
除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，
只有1和4两种情况．如果p2除以5的余数为1，
那么4p21除以5的余数等于4115除以5的余数，为
0，即此时4p21被5整除，而4p21大于5，所以此时
4p21不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知
6p21不是质数，所以P不等于5，4p21与6p21至少有
一个不是质数，所以只有p5满足条件．
因8999999999
数9012345678
【巩固】在图表的第二行中，因恰好填上89～98这十个数
数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．
【解析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分
别除以11的余数之积．因此原题中的89～98
可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3
就容易计算了．我们得到下面的结果：
因8999999999
9012345678
进而得到本题数
的答案是：
因3719562148
0
数
因8999999999
9012345678
数
因9989999999
1597340826
数
【巩固】（2000年“华杯赛”试题
）3个三位数乘积的算式
abcbcacab234235286（其中ab
c），在校对时，发现右边
的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位
6是
正确的，问原式中的abc是多少？
【解析】由于2342352862342352868（mod9），
abcbcacab（abc）3（mod9），
于是（abc）38（mod9），从而（用abc0,1,2,...,8（mod9）代入上式检
验）
abc2,5,8（mod9）⋯
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