数论之同余问题.docx

1、数论之同余问题数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理） ，知识点拨：三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。例如： 23 ，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 ，所以23+16=39 除以 5 的余数等于 4 ，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以

2、c 的余数。例如： 23 ，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 ，故23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即 2.2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。例如： 23 ，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 ，所以23 16 除以 5 的余数等于 3 1=3 。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如： 23 ，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 ，所以23 19 除以 5 的余数等于 3 4 除以 5 的余数，即 2.3.同余定理若两

3、个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为： ab ( modm ) ，左边的式子叫做同余式。同余式读作： a 同余于 b ，模 m 。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除用式子表示为：如果有 ab ( mod m ) ，那么一定有 ab mk,k 是整数，即 m|(a b)例如： 20 和 8 被自然数 3 除有相同的余数 2 。则20-8 一定能被 2 整除【模块：三大余数定理的应用】【例 1 】 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101

4、所得的余数相同，求这个数 .【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数 101 45 56 ， 59 45 14 ， (56,14) 14 ，14 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14 。【巩固】 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数 .【解析】 (法 1) 39 3 36 ，147 3 144，(36,144) 12 ，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个

5、数是 4,6,12 ；(法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数51 39 12 ，147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 在小于 1000 的自然数中，分别除以18及 33所得【巩固】余数相同的数有多少个 ?( 余数可以为 0)【解析】 我们知道 18 ，33 的最小公倍数为 18 ，33=198 ，所以每 198 个数一次1 198 之间只有 1，2，3， 17 ，198( 余 O)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同，而 999 198=5 9 ，所以共有 518+9=

6、99 个这样的数【巩固】 ( 2008 年仁华考题 ) 一个三位数除以 17 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设这个三位数为 s ，它除以 17 和 19 的商分别为 a 和b ，余数分别为 m 和 n ，则 s 17a m 19b n 根据题意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即 16a 18b ，得 8a 9b 所以 a 是 9 的倍数， b 是 8 的倍数此时，由 a m b n 知 n m a b a8 a1 a 99由于 s为三位数，最小为 1

7、00 ，最大为 999 ，所以100 17a m 999 ，而 1 m 16 ，所以 17a 1 17a m 999 ，100 17a m 17a 16 ，得到 5 a 58 ，而 a 是9 的倍数，所以 a 最小为 9 ，最大为 54 当 a 54 时， n m1，而 n 18 ，所以 m 12，故此时 s 最大a 69为17 54 12 930；当 a 9 时， n m1，由于 m 1 ，所以此时s 最小为a 1917 9 1 154所以这样的三位数中最大的是 930 ，最小的是 154 【例 2 】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 ab ba 【解析】

8、ab ba能被 7整除，即能被 7 整除所(10a b) （10b a ) 9 （a b）以只能有 ab 7，那么 ab 可能为 92和 81 ，验算可得当 ab92 时， ba 29 满足题目要求， ab ba 92 292668【巩固】 学校新买来 118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以 118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为 118 67 51和 67 33 34的公约数，所求答案为 17 【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 在除

9、 13511， 13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_【解析】 因为 13903 13511 392 , 14589 13903 686，由于 13511 ，13903 ，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除 (392,686) 98 ，所以所求的最大整数是 98 【例 3 】 (2003 年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003 与20032 的和除以 7 的余数是 _【解析】 找规律用 7 除 2 ， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26，的余数分别是 2 ，4，1 ，2，4 ，1，2 ，4，1 ，,2 的个数是 3

10、的倍数时，用 7 除的余数为 1；2 的个数是 3的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2；2 的个数是 3的倍数多 2 时，用 7 除的余数为 4 因为 2 2003 23 667 2 ，所以 22003 除以 7 余 4 又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同而 2003除以 7 余 1，所以 20032 除以 7 余 1故 22003 与 20032 的和除以7的余数是415【巩固】 ( 2004 年南京市少年数学智力冬令营试题 ) 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被9 除余 7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_

11、组【解析】 1 995 ，1998 ，2000 ，2001 ，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5因为2 5 2 5 0 7，2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9，所以这样的数组共有下面 4 个： 2000,2003 ，1998,2000,2003 ，2000,2003,2001,1995 ， 1998,2000,2003,2001,1995 【例 4 】 (2005 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 _【解析】 (70 110 160) 50 290，除数应当是290 的大于50

12、3 16.217小于 70 的约数，只可能是 29 和 58 ，110 58 1.52，5250 ，所以除数不是 58 70 29 2.12， 110 29 3.23， 160 29 5.15，12 23 15 50 ，所以除数是 29【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 用自然数 n 去除 63， 91，129 得到的三个余数之和为25，那么 n=_【解析】 n 能整除 63 91 129 25 258 因为 25 3 8.1，所以 n 是258 大于 8 的约数显然， n 不能大于 63 符合条件的只有 43 【巩固】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个

13、运动员进行乒乓球比赛 , 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘 ?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101 ，126，173 ，193 除以 3 的余数分别为 2，0 ，2，1 。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2 ，0 ，2 ，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5盘是最多的。【例 5 】 (2002 年小学生数学报数学邀请赛试题 ) 六名小学生分别带着 14 元、 17 元、 18 元、 21 元、 26元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、

14、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是 _元【解析】 六名小学生共带钱 133 元133 除以 3 余 1 ，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余1 易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本成语大词典的定价是 (14 17 18 21 26) 3 32 (元) 【巩固】【解析】 两个顾客买的货物重量是 3的倍数(1516 18 19 20 31) (1 2) 119 3 39.2 ，剩下的一箱货物重量除以 3应当余 2，只能是 20 千克【例 6 】 求 2

15、461 135 6047 11 的余数【解析】 因为 2461 11 223.8 ，135 11 12.3， 6047 11 549.8，根据同余定理(三)，2461 135 6047 11的余数等于 8 3 8 11的余数，而 8 3 8 192，192 11 17.5，所以 2461 135 6047 11的余数为 5【巩固】 ( 华罗庚金杯赛模拟试题 ) 求 478 296 351除以 17 的余数【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别为 2 ，7和 11 ， (2 7

16、 11) 17 9.1 【巩固】 求 31997 的最后两位数【解析】 即考虑 31997 除以 100 的余数由于 100 4 25 ，由于 33 27 除以 25 余 2，所以 39除以 25 余 8，310 除以 25 余 24 ，那么 320 除以 25 余 1；又因为 32 除以 4 余 1，则320除以 4 余 1；即320 1能被 4 和 25 整除，而 4 与 25 互质，所以 320 1 能被 100 整除，即 320除以 100 余 1 ，由于1997 20 99 17 ，所以 31997 除以 100 的余数即等于 317 除以100的余数，而 36 729 除以 100

17、 余 29 ，35 243 除以 100余 43 ，317 (36 ) 2 35 ，所以 317 除以 100 的余数等于 29 29 43除以 100 的余数，而 29 29 43 36163除以 100 余 63 ，所以 31997 除以 100 余 63 ，即 31997 的最后两位数为 63 【巩固】 222 2 除以 13 所得余数是 _.2000个 2 【解析】 我们发现 222222 整除 13 ，2000 6 余 2 ，所以答案为 22 13 余 9。【巩固】求 14389除以 7 的余数【解析】 法一：由于 143 3 mod 7(143 被 7 除余 3)，所以 1433

18、mod 7(143被 7 除所得余数与 3被7除所得89898989余数相等 )而 36 729 ， 729 1 mod 7 （729 除以 7 的余数为 1 ），所以8914 4244365566L 333333 5 mod 714个故 14389 除以 7 的余数为 5.法二：计算 389 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31 32 33 34 35 36 37 Lmod7 3 2 6 4 5 1 3 L于是余数以 6 为周期变化所以 389 35 5 mod7 【巩固】 （2007 年实验中学考题） 122232L200122002 除以 7 的余数是多少？【解析】

19、由 于22222200220034005， 而123 L2001 200261001 2003 13351001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12 22 32 L 20012 20022 除以 7 的余数是 0 ；【巩固】 3130 3031 被 13除所得的余数是多少？【解析】 3 1 被 13 除所得的余数为 5 ，当 n 取 1 ，2 ，3 ，L时 5n 被 13 除所得余数分别是 5 ，12 ，8 ，1 ，5 ，12 ，8 ，1 L 以 4 为周期循环出现，所以 530 被 13 除的余数与 52 被 13 除的余数相同，余 12 ，则 3130 除以 13的余数

20、为 12 ；30被 13 除所得的余数是 4 ，当 n 取 1 ，2 ，3，L 时，4 n 被 13 除所得的余数分别是 4， 3，12 ，9，10 ，1 ，4，3，12 ，9，10 ，L L 以 6 为周期循环出现，所以 431 被 13 除所得的余数等于 41 被 13 除所得的余数，即 4 ，故 3031 除以 13 的余数为 4 ；所以 3130 3031 被 13 除所得的余数是 12 4 13 3 【巩固】 ( 2008 年奥数网杯 ) 已知 a 20082008L 2008 ，问： a 除以 13 1444244432008 个 2008所得的余数是多少？【解析】 2 008 除

21、以 13 余 6，10000 除以 13 余 3 ，注意到20082008 2008 10000 2008；200820082008 20082008 10000 2008；2008200820082008 200820082008 10000 2008 ；L L根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008 除以 13 余 6 3 6 13 11，200820082008除以 13 余 11 3 6 39 0 ，即 200820082008是13 的倍数而 2008除以 3 余 1 ，所以144424443除以 13 的余数a 20082008L 20082008 个 2008与 2

22、008除以 13 的余数相同，为 6.【巩固】 777 77除以 41的余数是多少？142 431996 个7【解析】 找规律：7 41 7 ，77 41 36 ，77741 39 ，7777 41 28，7777741 0 ，所以 77777是 41 的倍数，而1996 5399L 1 ，所以 147772 4377 可以分成 399 段 77777和 11996 个 7个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7 1234 L L2005除以 10 所得的余数为多少？【巩固】 12342005【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字从1 到2005这 2005个数的个位数字是 10 个一

23、循环的，而对一个数的幂方的个位数， 我们知道它总是 4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每 20 个(20是 4 和 10 的最小公倍数 )一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算 11 2 2 33 4 4 L L 2020 的个位数字，为 1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 94 的个位数字，为 4，由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数，100组的个位数字和是 4 100 400的个位数即 0 ，另外 5 个数为 20012001 、 20022002 、20032003 、 20042004 、 2005 200

24、5 ，它们和的个位数字是 1 4 7 6 5 23 的个位数 3 ，所以原式的个位数字是 3 ，即除以 10 的余数是 3 【例 7 】 求所有的质数 P，使得 4 p 2 1 与 6 p 2 1 也是质数【解析】 如果 p 5 ，则 4 p2 1 101 ，6 p 2 1 151都是质数，所以 5 符合题意如果 P 不等于 5 ，那么 P 除以 5 的余数为 1 、2 、3 或者 4 ，p2 除以 5 的余数即等于 12 、2 2 、32 或者 42除以 5 的余数，即 1 、4 、9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况如果 p 2 除以 5 的余数为 1 ，那么 4

25、p2 1 除以 5 的余数等于 4 1 1 5 除以 5 的余数，为0 ，即此时 4 p 2 1 被 5 整除，而 4 p2 1 大于 5 ，所以此时4 p 2 1 不是质数；如果 p 2 除以 5 的余数为 4 ，同理可知6 p2 1 不是质数，所以 P 不等于 5 ，4 p 2 1 与 6 p2 1 至少有一个不是质数，所以只有 p 5 满足条件因8999999999数9012345678【巩固】 在图表的第二行中， 因恰好填上 8998 这十个 数数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的余数都是 3【解析】 因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于两个数分别除以 11 的余数

26、之积因此原题中的 8998可以改换为 110 ，这样上下两数的乘积除以 11 余 3就容易计算了我们得到下面的结果：因89999999999012345678进而得到本题 数的答案是：因37195621480数因89999999999012345678数因99899999991597340826数【巩固】 ( 2000 年“华杯赛”试题)3 个三位数乘积的算式abc bca cab 234235286 ( 其中 a bc ) ， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6 是正确的，问原式中的 abc 是多少？【解析】 由 于 234235286 2 3 4 2 3 5 2 8 6 8(mod9) ，abc bca cab (a b c)3 (mod9) ，于是 (a b c)3 8(mod9) ，从而 (用 a b c 0,1,2,.,8(mod9) 代入上式检验)a b c 2,5,8(mod9)