中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形的初步认识与三角形四边形 第二节 三角形的基本概念及.docx
《中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形的初步认识与三角形四边形 第二节 三角形的基本概念及.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形的初步认识与三角形四边形 第二节 三角形的基本概念及.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形四边形第二节三角形的基本概念及
第二节 三角形的基本概念及全等三角形
河北8年中考命题规律）
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
9
三角形的内心
外心等概念
以网格为背景考查三角形的内心、外心等概念
3
19
三角形内外
角的关系
以光的反射为媒介考查学生综合运用三角形内角之间关系进行
推理清楚
4
21
三角形全等、
平行线的判定
以测量为背景考查学生运用三角形全等解决问题
9
16
2015
15
三角形的中位线
求三角形的周长
2
20
三角形外角关系
以画图为背景利用内外关系求角度
3
5
2014
2
三角形的中位线
以三角形为背景，利用中位线性质求线段长度
2
4
三角形内外角关系
以相交直线为背景，利用内外角关系求角度
2
23
（1）
证明三角形全等
以三角形旋转为背景，证明三角形全等
3
7
2013
15
三角形三边关系
及边角关
系
以铁丝折成三角形为背景，利用三边关系及边角关系判断线段中点的位置
3
19
三角形基本性质
以折叠为背景，利用平行线性质及三角形内角和定理求角度
3
24
（1）
证明三角形全等
以三角形与优弧结合为背景，利用三角形全等得到线段相等
3
9
2012
23
（1）
（2）①
全等三角形
以直角三角形为背景，
（1）利用三角形的判定、性质及等腰直角三角形的性质，证明线段的数量及位置关系；
（2）①给出相似比，证明线段的数量及位置关系，求线段的长度
7
7
2011
10
三角形三边关系
已知三角形两边及第三边要求，求可以组成的三角形个数
3
23
（1）
全等三角形及性质
以正方形为背景，
（1）利用三角形全等的判定及性质，证明线段相等
3
6
2010
24
（2）
全等三角形及性质
以直线相交构成三角形为背景，
（2）涉及线段旋转，利用三角形全等的判定及性质，证明线段相等
3
2
三角形内外角关系
已知三角形一内角与外角，求另一内角
2
5
2009
24
（1）
全等三角形及性质
以正方
形为背景，
（1）涉及利用三角形全等的判定及性质，证明线段相等
3
3
命题
规律
三角形的基本概念在河北中考中一般设置一题，题型均为选择题，分值为2～4分，题目较为简单，全等三角形为近8年必考内容，分值一般为3～10分，题型都为解答题，难度较大，本节主要考查的知识有：
（1）三角形重要线段（中位线考查2次）；
（2）三角形三边关系（考查2次）；（3）三角形内外角关系（考查3次）；（4）三角形基本性质（内角和定理考查3次）；（5）全等三角形的判定及性质（考查7次）．
命题
预测
预计2017年中考，会以三角形三边关系为主要考查内容，题型主要为选择题，其中全等三角形的判定和性质也会在解答题中考查.
河北8年中考真题及模拟）
三角形三边关系（2次）
1．（2013河北15题3分）如图
（1），M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图
（2）．则下列说法正确的是（ C ）
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
2．（2011河北10题3分）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ B ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．13个
3．（2016邢台模拟）下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是（ A ）
A．2，3，4B．2，2，4C．1，2，3D．1，2，6
4．（2016邯郸模拟）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ D ）
A．2或4B．11或13C．11D．13
三角形内外角关系（2次）
5．（2014河北4题2分）如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ B ）
A．20°B．30°C．70°D．80°
（第5题图））
（第6题图））
6．（2016北京朝阳外国语学校一模）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ C ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
7．（2016河北19题4分）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.
当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.
……
若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.
三角形的四条重要线段（2次）
8．（2016河北9题3分）图示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ B ）
A．△ACD的外心B．△ABC的外心
C．△ACD的内心D．△ABC的内心
（第8题图）
（第9题图）
9．（2014河北2题2分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝（ C ）
A．2B．3C．4D．5
全等三角形（7次）
10．（2016唐山一模）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ D ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
11．（2016邯郸模拟）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ D ）
A．2.5B．1.5C．2D．1
12．（2016河北21题9分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间
不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
（1）求证：
△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：
（1）∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；
（2）∵AB∥DE，AC∥DF.
理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
13．（2016唐山二模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：
AB＝DC.
证明：
∵BE＝CF，∴BF＝CE，又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE，∴AB＝DC.
中考考点清单）
三角形分类及三边关系
1．三角形分类
（1）按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（2）按边分类
两条边相等的三角形
三边相等的三角形
三边互不相等的三角形
__等腰__三角形
__等边__三角形
不
等边三角形
2．三边关系：
三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．
3．判断几条线段能否构成三角形：
运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．
三角形内
角和定理及内外角关系
4．内角和定理：
三角形的内角和等于__180°__．
5．内外角关系：
三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形中的四条重要线段
6.
四线
定义
性质
图形
中线
连接一个顶点与它对边中点的线段
BD＝DC
高线
从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段
AD⊥BC，
即∠ADB＝
∠ADC＝90°
续表
角平
分线
一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段
∠1＝∠2
中
位
线
连接三角形两边中点的线段
DE∥BC且
DE＝
BC
全等三角形及其性质
7．定义：
能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
8．性质：
（1）全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．
（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线、中位线）相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．
全等三角形的判定（高频考点）
全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：
①与三角形结合；②与四边形结合；③与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．
9．三角形全等的判定
类型
图形
已知条件
是否
全等
形成结论
一般
三角
形的
判定
A1B1＝A2B2，
B1C1＝B2C2，
A1C1＝A2C2
是
SSS
∠B1＝∠B2，
B1C1＝B2C2，
∠C1＝∠C2
是
ASA
∠B1＝∠B2，
∠C1＝∠C2，
A1C1＝A2C2
是
AAS
A1B1＝A2B2，
∠B1＝∠B2，
B1C1＝B2C2
是
__SAS__
续表
直角
三角
形的
判定
A1B1＝A2B2，
A1C1＝A2C2，
是
____H
L__
中考重难点突破）
三角形三边之间的关系
【例1】（2016长沙中考）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【学生解答】A
【点拨】利用三边之间的关系：
两边之和大于第三边及两边之差小于第三边来解答．
1．（2016玉林中考）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ B ）
A．1cmB．5cmC．4cmD．4cm 三角形内角和，外角与内角的关系
【例2】（2016乐山中考）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．35°B．95°
C．85°D．75°
【学生解答】C
【点拨】利用角平分线的定义可求得∠ACD的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
2．（2016临沂中考）如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数等于（ B ）
A．80°B．85°
C．90°D．95°
（第2题图）
（第3题图）
3．（2016原创）如图，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠A＝50°，则∠B的大小是（ A ）
A．50°B．60°
C．40°D．30°
全等三角形的性质与判定
【例3】（2016沧州八中一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
（1）求证：
△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC
的度数．
【解析】
（1）由旋转的性质可得：
CD＝CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由
（1）可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC的度数．
【学生解答】
（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE（SAS）；
（2）由
（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.
4．（2016武汉中考）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：
AB∥DE.
证明：
∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC.
即BC＝EF，
∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE.
5．（2016邯郸二十三中一模）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE，求证：
BE＝CD.
证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，
又∵AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD.
即BE＝CD.
中考备考方略）
1．（2016南通中考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ A ）
A．5，6，10B．5，6，11
C．3，4，8D．4a，4a，8a（a>0）
2．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE的度数为（ A ）
A．20°B．18°C．38°D．40°
（第2题图）
（第3题图）
3．（2016石家庄模拟）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ A ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
4．（2016河北石家庄四十三中一模）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ B ）
A．5B．10C．11D．12
5．（2016河北保定十三中一模）如图，AB∥CD，∠A＋∠E＝75°，则∠C为（ C ）
A．60°B．65°
C．75°D．80°
6．（2016内江中考）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（ A ）
A．75°B．65°C．45°D．30°
（第6题图）
（第7题图）
7．（2016哈尔滨中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是C′），连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（ C ）
A．32°B．64°C．77°D．87°
8．（2016永州中考）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ D ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AE
C．BD＝CED．BE＝CD
（第8题图）
（第9题图）
9．（2016枣庄中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ A ）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
10．（2016保定二模）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE，下列结论中：
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有（ D ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
（第10题图）
（第11题图）
11．（2015东莞中考）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是__4__．
12．（2016重庆中考）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD，求证：
∠B＝∠E.
证明：
∵AB∥CD，∠DCA＝∠CAB.
又∵AB＝CE，AC＝CD，
∴△CAB≌
△DCE（SAS），
∴∠B＝∠E.
13．（2016原创）如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝
CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB＝6，则BF的长为（ C ）
A．6B．7C．8D．10
（第13题图）
（第14题图）
14．（2016石家庄模拟）如图，已知△ABC的面积为10cm2，
BP为∠ABC的平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为（ B ）
A．4cm2
B．5cm2
C．6cm2D．7cm2
15．（2016滨州中考）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（ D ）
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
（第15题图）
（第16题图）
16．（2016常德中考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝__70__°.
17．（2016南充中考）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
求证：
（1）BD＝CE；
（2）∠M＝∠N.
证明：
（1）∵在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC.
又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO＝∠AEC，
∴∠MDO＝∠NEO，∵∠MOD＝∠NOE，
∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，故∠M＝∠N.
18．（2016绍兴中考）如果将四
根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；
（2）若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2cm，BC＝5
cm，量得木条CD＝5cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值；（直接写出一个即可）
（3）若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上，当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
解：
（1）相等．如图，连接AC，
∵AB＝DA＝2，BC＝CD＝5，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∠B＝∠D；
（2）答案不唯一，只要满足
－5≤AD≤
＋5即可，如AD＝5cm；
（3）设AD＝xcm，BC＝ycm，根据题意得
当点C在点D的右侧时
解得
当点C在点D的左侧时，
解得
∴5＋8<17，∴不合题意．
∴AD＝13cm，BC＝10cm.
19．（2016内江中考）问题引入：
（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝__90°＋
__（用α表示）；如图②，∠CBO＝
∠ABC，∠BCO＝
∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__120°＋
__（用α表示）；
（2）如图③，∠CBO＝
∠DBC，∠BCO＝
∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝__120°－
__（用α表示），并说明理由；
类比研究：
（3）BO，CO分别是△ABC和外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝
∠DBC，∠BCO＝
∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝__
·180°－
__．
解：
（2）理由：
∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－
（∠DBC＋∠ECB）＝180°－
（180°＋∠A）＝120°－
.
升级会员 