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六上知识整理

“圆”知识整理 

一、与圆有关的概念

1、圆是由一条曲线围成的平面图形。

  （以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）  

2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；    

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；    

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

在同一个圆里，有无数条半径和直径。

在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

在同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

3、用圆规画圆的过程：

先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

  画圆时要注意：

针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。

4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。

（d=2r,   r =d÷2） 

5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

7、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率用字母π表示。

π是一个无限不循环小数。

π＝3.141592653……     

我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。

π大于3.14 

8、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

9、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）     

几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长

10、常用的3.14的倍数：

3.14×2＝6.28    3.14×3＝9.42   3.14×4＝12.56    3.14×5＝15.7   

3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98    3.14×8＝25.12  3.14×9＝28.26 

3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96  3.14×16＝50.24   3.14×18＝56.52   

3.14×24＝75.36  3.14×25＝78.5     3.14×36＝113.04

3.14×49＝153.86  3.14×64＝200.96  3.14×81=254.34 

11、常用的平方数：

11²＝121   12²＝144   13²＝169   14²＝196   15²＝225   

16²＝256   17²＝289   18²＝324   19²＝361   20²＝400

2、圆的周长公式

1、已知圆的半径（r），求圆的周长（c）：

C=2πr

2、已知圆的直径（d），求圆的周长（c）C=πd

3、已知圆的周长，求圆的半径：

r=C÷π÷2

4、已知圆的周长，求圆的直径：

d=C÷π

5、求半圆的弧长,半圆的弧长等于圆周长的一半:

半圆的弧长=πr或者半圆的弧长=πd÷2

6、求半圆的周长,半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径：

C半圆= πr＋2r=5.14r      C半圆= πd÷2＋d=2.57d 

7、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

 每分前进米数（速度）＝车轮的周长×每分的转数

8、求阴影部分的周长：

总体思路，记住一点，周长的概念，所有围成这个图形的线段或曲线的长度之和。

所以求阴影部分的周长时，首先把阴影部分这个图形的轮廓画出来，找出这个图形都由哪些线段、哪些曲线组合起来的。

再分别求出这些线段、曲线的长度，最后相加。

比如,这个图形：

首先，我找出阴影部分在哪，找出阴影部分后发现这个阴影部分的周长是由两个圆弧、两个条线段组成。

那么这两个圆弧合起来正好是一个圆的周长，所以这个阴影部分的周长=10×2×3.14+10×2+10×2

3、圆面积公式

1、

2、已知圆的半径，求圆的面积S=πr²

3、已知圆的直径，求圆的面积S=π（d÷2）²

4、已知圆的周长，求圆的面积S=π（C÷π÷2）²

5、半圆的面积，即整圆面积的一半：

半圆面积=πr²÷2=π（d÷2）²÷2=π（C÷π÷2）²÷2总之，都得除以2

6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行简便计算。

S圆环=S外圆—S内圆=πR²-πr²=π（R²-r²）

7、正方形里最大的圆。

两者联系：

边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积 

   画法：

（1）画出正方形的两条对角线；

（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

8、长方形里最大的圆。

两者联系：

宽＝直径 

   画法：

（1）画出长方形的两条对角线；

（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

9、在圆内画一个最大的正方形：

这个最大的正方形的面积=直径×半径

画法：

10、在半圆内画一个最大的三角形，三角形的底就是圆的直径，三角形的高就是圆的关径。

三角形的面积=直径×半径÷2

11、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，面积的倍数＝半径倍数的平方     

（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍）

“分数混合运算”知识整理

一、分数混合运算

1、分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，没有括号的先算（乘除），再算（加减）;有括号的先算（括号里面的），再算（括号外面的）。

2、整数的运算律在分数运算中同样适用。

加法运算定律：

加法交换律：

a+b=b+a加法结合律：

a+b+c=a+（b+c）

乘法定律：

乘法交换律：

a×b=b×a乘法结合律：

a×b×c=a×（b×c）

乘法分配律：

（a+b）×c=a×c+b×c或a×c+b×c=（a+b）×c

减法定律：

减法的性质a-b-c=a-（b+c）或a-（b+c）=a-b-c

除法的特性：

a÷b÷c=a÷（b×c）或a÷（b×c）=a÷b÷c

3、用方程解决有关分数混合运算的实际问题，关键是找出（单位1），并把它设为未知数，再找出等量关系计算。

4、分数基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）分数的大小不变。

例：

5、分数加减法

同分母分数相加减，分母不变，分子相加减，异分母分数相加减，要先通分为同分母分数再相加减。

二、分数混合运算的应用

1、打折计算方法：

现价÷原价=折扣

2、一件商品打几折，求现价。

计算方法：

原价×折数

3、一件商品打几折，求原价。

计算方法：

现价÷折数

4、分数混合运算的应用题解答方法

解答方法：

1、找准单位1——并在题目的文字下面标注

①总数量是单位“1”

例如：

小红看完整本书的

，那么单位“1”是整本书的页码。

②原价就是单位“1”

例如：

笔记本电脑原价是300元，现在降价了

，那么单位“1”是原价3000元。

③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”

例如：

全校男生的人数是女生人数的

，那么单位“1”是女生人数。

④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”

例如：

商店卖的苹果比橘子多

，那么单位“1”是橘子数量。

2、确定乘或除3、对应量和对应分率

（1）已知单位“1”，用乘法——————

（1）单位“1”×对应分率

（2）未知单位“1”，用除法或方程———

（2）对应量÷对应分率=单位“1”

若用方程：

一般设单位“1”的量为未知数

4、如何根据分率句来写等量关系

找出关键性的字和词，“是”字、“占”字、“相当于”、“正好是”等字、词，相当于等量关系式中的等于号，分率前面的“的”字相当于等量关系式中的乘号。

如：

（1）公鸡的只数是（“是”可以改为“占”或“相当于”、或“正好是”等字词）母鸡的

。

等量关系式是：

母鸡的只数×

=公鸡的只数

（2）五年级有男生15人，相当于（“相当于”可以改为“是”或、“占”或“正好是”等字、词）。

全班人数的

。

数量关系式是：

全班人数×

=男生人数

基本知识规律：

甲是乙的

甲相当于乙的

等量关系：

甲恰好是乙的

乙×

=甲

甲占乙的

（单位“1”是乙）

甲比乙多

，等量关系：

乙×（1+

）=甲

甲比乙少

，等量关系：

乙×（1—

）=甲

原价，降价

，等量关系：

原价×（1—

）＝现价

用去全部的

看了全部的

修了全部的

卖掉全部的

完成全部的

吃了全部的

等量关系：

全部×

=用去/看了/修了/卖掉/完成/吃了

全部×（1—

）=剩下的

3、百分数及百分数的应用

1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作（百分数），也叫作（百分率）或（百分比）。

2、百分率一般是指（部分）占（整体）的百分之几。

3、小数化百分数时，把小数点向（右）移动（两）位，后面添上百分号；分数化成百分数，可以先化成小数，再化成百分数。

4、百分数化成小数时，把（百分号）先去掉，再把小数点向（左）移动（两）位；百分数化成分数，先写成分母是（100）的分数形式，再化成（最简）分数。

5、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？

“是”字前面的数÷“是”字后面的数

6、求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）？

（大数-小数）÷“比”字后面的数

7、常见的分数、小数和百分数的互化

8、打折计算方法：

现价÷原价=折扣

9、一件商品打几折，求现价。

计算方法：

原价×折数

10、一件商品打几折，求原价。

计算方法：

现价÷折数

11、应纳税额。

计算方法：

营业额×税率

12、利息=本金×利率×时间，本金=利息÷利率÷时间，

利率=利息÷本金÷时间，时间=利息÷本金÷利率

13、税后利息计算方法：

利息-利息×税率

14、到期后可以取出的钱数计算方法：

本金+税后利息

15、生活中的百分率：

出勤率、缺勤率、发芽率、优秀率、及格率、合格率、命中率、近视率、出粉率、出米率、成活率、出油率、入学率、升学率、森林覆盖率、绿化覆盖率、收视率、体育达标率、疫苗接种率、含糖率、含盐率、正确率、错误率

达标率=达标学生人数÷学生总人数发芽率=发芽种子数÷种子总数

出勤率=出勤人数÷学生总人数合格率=合格的产品数÷产品总数

出粉率=粉的重量÷小麦的重量出油率=油的重量÷花生的重量

出米率=米的重量÷稻谷的重量成活率=成活的数量÷种植总数

命中率=命中的次数÷投篮总数含盐率=盐的重量÷盐水的重量

四、百分数题型分类及解题方法

百分数应用题三种类型

第一大类求分率用除法：

求一个数是另一个数的百分之几

1.直接求一个数是另一个数的百分之几一个数÷另一个数

2.求一个数比另一个数多百分之几多的部分÷单位1

3.求一个数比另一个数少百分之几少的部分÷单位1

例：

（1）男生有25人，女生有20人，女生是男生的百分之几？

（2）男生有25人，女生有20人，男生比女生多百分之几？

（3）男生有25人，女生有20人，女生比男生少百分之几？

第二大类单位1已知用乘法：

求一个数的百分之几是多少

1.直接求一个数的百分之几是多少单位1×分率

2.求比一个数多百分之几的数是多少单位1×（1＋分率）

3.求比一个数少百分之几的数是多少单位1×（1－分率）

例：

（1）男生有25人，女生是男生的80%，女生有多少人？

（2）女生有20人，男生比女生多25%，女生有多少人？

（3）男生有25人，女生比男生少20%，女生有多少人？

第三大类单位1未知用除法：

已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

1.已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

已知量÷分率=单位1

2.已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数已知量÷（1＋多的分率）=单位1

3.已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数已知量÷（1－少的分率）=单位1

例：

（1）女生有25人，是男生的80%，男生有多少人？

（2）男生有25人，比女生多25%，女生有多少人？

（3）女生有20人，比男生少20%，男生有多少人？

“比的认识”知识整理

一、比的意义 

1、比的意义：

两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

例如  15 ：

10 = 15÷10= 

（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 

        ∶  ∶   ∶     ∶             

前项  比号  后项   比值 

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。

也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。

例：

  路程÷速度=时间。

4、区分比和比值 

比：

表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

 比值：

相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、 比和除法、分数的联系：

7、比和除法、分数的区别：

除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

体育比赛中出现两队的分是2：

0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

二、比的基本性质 

1、根据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

比的基本性质：

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

2、最简整数比：

比的前项和后项都是整数，并且前、后项的公因数只有1，这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4、化简比：

5、按比例分配：

把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种方法通常叫做按比例分配。

6、 路程一定，速度比和时间比成反比。

（如：

路程相同，速度比是4：

5，时间比则为5：

4） 

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：

工作总量相同，工作时间比是3：

2，工作效率比则是2：

3）

三、和比的应用题有关的概念

1、求每份数的方法 

和÷分数和=每份数     相差数÷相差份数=每份数     部分数÷对应份数=每份数 

2、图形求比的常见公式 

长方体：

（长+宽+高）的和=棱长和÷4     长方形：

（长+宽）的和=周长÷2

3、相遇问题 速度和 = 路程÷相遇时间

四、比的应用 

在工农业生产和生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配方法通常叫按比例分配。

按比例分配应用题分为三种情况，看下面的三个例子，注意它们之间的联系与区别：

例

（1）一年级与二年级共有学生130人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有学生多少人？

例

（2）二年级比一年级多30人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有多少人？

例（3）二年级有80人，一年级与二年级人数比是5︰8，一年级有多少人？

五、解题方法总结：

在解决“比的应用”的有关问题时，要抓住解题关键，用所给的数量除以对应的份数，求出每份数，然后用每份数分别乘所求数量的份数，从而求出所求数量。

类型不同的题要用不同的方法求出每份数：

（1）“已知两数的和与两数的比，求两数分别是多少？

” 每份数=两数的和÷比各项的和 

（2）“已知两数的差与两数的比，求两数分别是多少？

”每份数=两数的差÷比各项的差 

（3）“已知其中一项与两数的比，求另一个数是多少？

” 每份数=其中一项÷对应的份数

题型体系 

●己知总数和比。

解题方法：

（1）每份数=两数的和÷比中各项的和 

（2）用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。

 3、答题并检验。

例1、 沙、石共36吨，沙与石的比是1：

8，沙、石各是多少吨？

2、水泥、沙子和石子的比是2：

3：

5。

要搅拌20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各是多少吨？

3、用120厘米的铁丝做一个长方体的框架。

长、宽、高的比是3：

2：

1。

这个长方体的长、宽、高分别是多少？

体积是多少？

●已知一个量和比。

解题方法：

1、每份数=其中一项÷对应的份数 

          2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。

3、答题并检验。

例1、男工有40人，男工与女工的比是4：

5，女工有多少人？

一共有多少人？

2、一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：

3：

2混合而成的。

（1）如果先称20千克的水果糖，奶糖与软糖各需多少千克？

（2）如果先称出15千克的奶糖，水果糖与软糖各需多少千克？

3、学校美术组的人数是书法组的，美术组人数与数学组人数的比是3∶5。

书法组有30人，数学组有多少人？

●已知相差数和比。

解题方法：

1、每份数=两数的差÷比中各项的差 

          2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。

3、答题并检验。

 例1、男工与女工的比是4：

5，女比男多4人，男、女各多少人？

 2、沙和石的比是7：

9，沙比石少10吨，沙、石各多少吨？

3、一桶油用去的量占剩下的

已知这桶油共有50千克，用去了多少千克?

还剩下多少千克？

“数据处理”知识整理

统计图

特点

扇形统计图

能够清晰地看出整体和部分之间的关系，也就是部分占整体的百分比的大小

条形统计图

能够清晰地看出各数据的多少，便于相互比较

折线统计图

能清晰地看出数据增减变化的情况，也能看出数据的多少

“常用的数量关系”整理

1、每份数×份数＝总数    总数÷每份数＝份数   总数÷份数＝每份数 

2、速度×时间＝路程    路程÷速度＝时间    路程÷时间＝速度 

3、单价×数量＝总价    总价÷单价＝数量    总价÷数量＝单价 

4、工作效率×工作时间＝工作总量      

工作总量÷工作效率＝工作时间      工作总量÷工作时间＝工作效率  

5、加数＋加数＝和      和－一个加数＝另一个加数 

6、被减数－减数＝差     被减数－差＝减数    差＋减数＝被减数 

7、因数×因数＝积      积÷一个因数＝另一个因数 

8、被除数÷除数＝商    被除数÷商＝除数    商×除数＝被除数

“常见的单位换算”整理

【长度单位】

1千米=1000米=10000分米=100000厘米=1000000毫米

1米=10分米=100厘米1厘米=10毫米1分米=10厘米

【面积单位】

1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米一平方千米=1000000平方米

1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

相邻面积单位间的进率是100。

大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。

【体积、容积单位】

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米

1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升

相邻体积间进率为1000。

大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。

【质量单位】1吨=1000千克1千克=1000克

【人民币单位换算】

1元=10角1角=10分1元=100分

【时间换算】1世纪=100年1年=12月1日=24小时1时=60分1分=60