届高三数学立体几何专项训练文科.docx
《届高三数学立体几何专项训练文科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三数学立体几何专项训练文科.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
届高三数学立体几何专项训练文科
2020届高三数学立体几何专题（文科）
吴丽康2019-11
1.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的点.（Ⅰ）证明：
PB//平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=3，三棱锥P-ABD的体积V=3，
4
求A点到平面PBD的距离.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
（1）求证：
CE∥平面PAD；
（2）在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？
若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
3如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，
四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，
且PE＝PF＝λ（λ≠0）．
PBPC
（1）求证：
EF∥平面PAD；
1
（2）当λ＝2时，求点D到平面AFB的距离．
1
4.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
（1）证明：
平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：
B1D1∥l.
5..如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，
M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：
AP∥GH.
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
7.（2018北京通州三模,18）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD
为正方形,△PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F.
（1）
求证:
AD∥EF;
（2）求证:
PB⊥平面AEFD;
（3）
记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD
的体积为V2,直接写出
的值.
2
8...如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，
侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
（1）求证：
BG⊥平面PAD；
（2）求证：
AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？
并证明你的结论．
9.（2016高·考北京卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
（1）求证：
DC⊥平面PAC；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？
说明理由．
10..如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：
AB∥EF；
（2）若AF⊥EF，求证：
平面PAD⊥平面ABCD.
3
11..如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝
3，AD＝CD＝1，
∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且
1
PN＝PB.
4
（1）
证明：
MN∥平面PDC；
（2）
求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．
12..（2016高·考四川卷）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，
∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝1AD．2
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：
平面PAB⊥平面PBD．
13．（2016·考江苏卷高）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC
的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
14.【2014,19】如图，三棱柱ABC
A1B1C1中，
侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO
平面BB1C1C.
（1）证明：
B1C
;
AB
（2）若ACAB1,
CBB160,BC
1,求三棱柱ABC
A1B1C1的高.
4
15.（2017天津,文17）如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
（2）求证:
PD⊥平面PBC;
（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
16.（2016高·考浙江卷）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，
∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
（1）求证：
BF⊥平面ACFD；
（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
17..（2018全·国Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，
M是CD上异于C，D的点．
（1）证明：
平面AMD⊥平面BMC.
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？
说明理由．
5
立体几何中的翻折问题
18...如图
（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝
π
1
，AB＝BC＝AD＝a，
2
2
E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图
（2）中△A1BE的位置，
得到四棱锥A1-BCDE.
（1）证明：
CD⊥平面A1OC；
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36
2，求a的值．
1
19.．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2，
E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，
如图2.在图2所示的几何体D－ABC中：
（1）求证：
BC⊥平面ACD；
（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．
20．如图，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8.点E，F分别在A1B1，D1C1
上，过点
E、F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.
（1）求证：
A1E＝D1F；
（2）判断A1D与平面α的关系．
6
2020届高三数学立体几何专题（文科）
1解析：
（Ⅰ）设AC的中点为O，连接EO.在三角形PBD中，中位线EO//PB，
且EO在平面AEC上，所以PB//平面AEC.
（Ⅱ）∵AP=1，AD
3，VP-ABD
3，
4
VP-ABD=11PAABAD=
3
AB=
3，∴AB
3，
32
6
4
2
作AH⊥PB角PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．
又AH
PAAB
313，故A点到平面PBC的距离313.
PB
13
13
2.
（1）证明：
如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝1AB，
2
又AB∥CD，CD＝1
．
所以EH
∥CD，EH＝CD，
2AB
因此四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH?
平面PAD，CE?
平面PAD，
所以CE∥平面PAD．
1
（2）如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，所以AF＝2AB，
又CD＝1AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD，
2
又CF?
平面PAD，所以CF∥平面PAD，
由
（1）可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
3
证明
∵
PE＝PF
＝λ（λ≠0），∴EF∥BC.∵BC∥AD，∴EF∥AD.
.
（1）
PBPC
又EF?
平面PAD，AD?
平面PAD，∴EF∥平面PAD.
1
（2）解∵λ＝2，∴F是PC的中点，
在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，∴PC＝PA2＋AC2＝6，
16
∴PF＝2PC＝2.∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，
PA⊥AC，PA?
平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB?
平面PAB，
7
16
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝2PC＝2.
连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形
BAF中，BF＝AF＝
6，AB＝1，
2
∴S△＝
5，又S△
ABD
＝1，点F到平面ABD的距离为
1，
ABF
4
1
1
5
4
5
4
5
∴由VF－ABD＝VD－AFB，得3×1×1＝
3×d×
4，解得d＝
5
，即点D到平面AFB的距离为
5.
4.证明
（1）由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.又BD?
平面CD1B1，B1D1?
平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B?
平面CD1B1，D1C?
平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B?
平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）由
（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
5.连接AC交BD于点O，连接MO，因为PM＝MC，AO＝OC，所以PA∥MO，因为PA?
平面MBD，MO?
平面MBD，所以PA∥平面MBD．
因为平面PAHG∩平面MBD＝GH，所以AP∥GH.
6.[证明]
（1）在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD?
平面ABCD，所以PA⊥CD，因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，而AE?
平面PAC，所以CD⊥AE.
（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由
（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?
平面PCD，所以AE⊥PD．
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB．
又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，
所以AB⊥平面PAD，而PD?
平面PAD，所以AB⊥PD．
8
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
7.
（1）证明因为ABCD为正方形,所以AD∥BC.
因为AD?
平面PBC,BC?
平面PBC,所以AD∥平面PBC.
因为AD?
平面AEFD,平面AEFD∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.
（2）证明因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD?
平面ABCD,所以AD⊥平面PAB.因为PB?
平面PAB,所以AD⊥PB.
因为△PAB为等边三角形,E是PB中点,所以PB⊥AE.
因为AE?
平面AEFD,AD?
平面AEFD,AE∩AD=A,所以PB⊥平面AEFD.
（3）解由
（1）知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=VC-AEFD=V1,
∴VBC-AEFD=V1,则VP-ABCD=V1+V1=V1,∴.
8.[解]
（1）证明：
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）证明：
如图，连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD．
由
（1）知，BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB．
因为PB?
平面PGB，所以AD⊥PB．
（3）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．
证明如下：
取PC的中点F，连接DE、EF、DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.
而FE?
平面DEF，DE?
平面DEF，EF∩DE＝E，PB?
平面PGB，GB?
平面PGB，
PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB．
因为BG⊥平面PAD，PG?
平面PAD，所以BG⊥PG.
又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD．
又PG?
平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
9.【解】
（1）证明：
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.
（2）证明：
因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，
所以AB⊥平面PAC.又AB?
平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
9
（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：
如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.
又因为PA?
平面CEF，且EF?
平面CEF，所以PA∥平面CEF.
10.证明
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.
又AB?
平面PDC，CD?
平面PDC，所以AB∥平面PDC，
又因为AB?
平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，
（1）中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.
又AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以点F异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD?
平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，又AB?
平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
11.
（1）证明因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD垂直平分线段AC.
又∠ADC＝120°，所以
1
1
，AM＝
3
MD＝
AD＝
2
.所以AC＝3.
2
2
又AB＝BC＝
3，所以△ABC是等边三角形，
所以BM＝3，所以BM
＝3，又因为PN＝
1PB，所以
BM
＝BN
＝3，所以MN∥PD.
2
MD
4
MD
NP
又MN?
平面PDC，PD?
平面PDC，所以MN∥平面PDC.
（2）解因为PA⊥平面ABCD，BD?
平面ABCD，所以BD⊥PA，
又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC?
平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
由
（1）知MN∥PD，所以直线
MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，
故∠DPM即为所求的角．在
Rt△PAD中，PD＝2，
1
所以sin∠DPM＝DM＝2＝1，
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为1
DP24
4.
12.【解】
（1）取棱AD的中点
M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．理由如下：
1
因为AD∥BC，BC＝2AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB．
又AB?
平面PAB，CM?
平面PAB，所以CM∥平面PAB．
（说明：
取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
10
1
（2）证明：
由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC＝2AD，所以直线AB与CD相交．
所以PA⊥平面ABCD，从而PA⊥BD．连接BM，
1
因为AD∥BC，BC＝2AD，所以BC∥MD，且BC＝MD．
1
所以四边形BCDM是平行四边形．所以BM＝CD＝2AD，所以BD⊥AB．
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．
又BD?
平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．
13.[证明]
（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又DE?
平面A1C1F，A1C1?
平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1?
平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，A1A?
平面ABB1A1，A1B1?
平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D?
平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D．又B1D⊥A1F，A1C1?
平面A1C1F，A1F?
平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1
1
1
11
F
D?
平面
BDE，所以平面BDE⊥平面AC
14.证明：
（Ⅰ）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵AO⊥平面BB11∴
⊥1，
⋯2分
因为侧面BB
CC.
AO
BC
⊥B
为菱形，∴
BC1
，⋯4分
1C1C
1C
∴BC1⊥平面ABC1，∵AB平面ABC1，
故B1⊥
⋯6分
CAB.
（Ⅱ）作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，
又BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD，
作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC.
⋯9分
∵∠CBB1°，所以
1为等边三角形，又BC=1，可得OD=
3，
=60
CBB
4
由于AC⊥AB1，∴OA
1B1C
1，∴AD
OD2
OA27，
2
2
4
升级会员 