北师大版学年初二数学下册 第一章三角形的证明单元考试试题含答案.docx

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北师大版学年初二数学下册第一章三角形的证明单元考试试题含答案

第一章三角形的证明　

第Ⅰ卷　（选择题　共30分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．12B．17或19

C．17D．19

2．用反证法证明命题：

“如图1，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.”证明的第一个步骤是（　　）

图1

A．假定CD∥EFB．假定CD不平行于EF

C．已知AB∥EFD．假定AB不平行于EF

3．已知下列命题：

①若|x|＝3，则x＝3；②全等三角形的三组对应角相等；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；④有理数与数轴上的点一一对应．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

4．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交斜边AB于点D，交BC于点E，AB＝7.8，AC＝3.9，则图中等于60°的角有（　　）

图2

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，设△ABD，△BCD的面积分别为S1，S2，则S1∶S2等于（　　）

图3

A．2∶1B.

∶1C．3∶2D．2∶

6．如图4，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，ED是AB边的垂直平分线．若BD＝BC，则∠1的度数是（　　）

图4

A．44°B．46°C．54°D．56°

7．如图5，△ABC是等边三角形，AD，CE分别是BC，AB边上的高，且AD，CE相交于点O.若CE＝1，则OD的长是（　　）

图5

A.

B.

C.

D.

8．如图6，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（　　）

图6

A．2.5秒B．3秒

C．3.5秒D．4秒

9．如图7，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（　　）

图7

A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形

C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°

10．如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下列四个结论：

　图8

①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到直线AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

第Ⅱ卷　（非选择题　共70分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）

12．如图9，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的度数为________°.

图9

13．如图10，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________．

图10

14．如图11，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.如果BC＝20cm，那么DE＋DF＝________cm.

图11

15．如图12，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：

①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的两个条件是________（用序号写出一种情形即可）．

图12

16．已知：

如图13，O为平面直角坐标系中的坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），D是OA的中点，点P在BC上运动．若△ODP是腰长为5的等腰三角形，则点P的坐标为________________．

图13

三、解答题（共52分）

17．（5分）如图14所示，在△ABC中，∠C＝90°.

（1）用圆规和直尺在AC上求作点P，使点P到点A，B的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足

（1）的点P到AB，BC的距离相等时，求∠A的度数．

图14

18.（5分）如图15，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，且∠A＝30°，DE＝1cm.求△ABC的面积．（结果保留根号）

图15

19．（6分）如图16，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6cm，你能求出△BDE的周长吗？

若能，请求出；若不能，请说明理由．

图16

20．（6分）如图17，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O.现有四个条件：

①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个条件作为结论，写出一个正确的命题：

命题的条件是______和______，命题的结论是______和______（均填序号）；

（2）证明你写出的命题．

已知：

求证：

证明：

图17

21．（7分）如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE.求证：

AF＝ED.

图18

22．（7分）如图19，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，E是AB的中点，连接DE.

（1）求∠BAD的度数；

（2）求∠B的度数；

（3）求线段DE的长．

图19

23．（8分）已知∠MAN，AC平分∠MAN，试解决下列问题：

（1）在图20①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：

AB＋AD＝AC.

（2）在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

图20

24．（8分）如图21，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与点A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长．

（2）运动过程中线段DE的长是否发生变化？

如果不变，请求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．

图21

1．B　2.B　3.A　4.D　5.A　6.C　7.A　8.D　9.D　10.D　11.假　12.30

13.

cm　[解析]设CD＝xcm，则易证得BD＝AD＝（10－x）cm.在Rt△ACD中，由勾股定理，得（10－x）2＝x2＋52，解得x＝

.

14．10　[解析]利用含30°角的直角三角形的性质得，DE＋DF＝

（BD＋CD）＝

BC.

15．答案不唯一，如①③

16．（2，4）或（3，4）或（8，4）　[解析]当OD＝PD（点P在点D的右边）时，根据题意画出图形，

如图①所示：

过点P作PQ⊥x轴于点Q.

在Rt△DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝

OA＝5，

根据勾股定理，得DQ＝3，

故OQ＝OD＋DQ＝5＋3＝8，则P1（8，4）；

当PD＝OD（点P在点D的左边）时，根据题意画出图形，如图②所示：

过点P作PQ⊥x轴于点Q.

在Rt△DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，

根据勾股定理，得QD＝3，

故OQ＝OD－QD＝5－3＝2，则P2（2，4）；

当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图③所示：

过点P作PQ⊥x轴于点Q.

在Rt△OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，

根据勾股定理，得OQ＝3，则P3（3，4）．

综上，满足题意的点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．

17．解：

（1）图略．提示：

作线段AB的垂直平分线交AC于点P.

（2）连接BP.∵点P到AB，BC的距离相等，

∴BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠PBC.

又∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB，∴∠A＝∠ABP，

∴∠A＝∠ABP＝∠PBC＝

×90°＝30°.

18．解：

∵DE垂直平分AB，∠A＝30°，DE＝1cm，

∴AE＝2cm，

∴AD＝

＝

（cm），

∴AB＝2AD＝2

cm.

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴BC＝

AB＝

cm，

∴AC＝

＝3（cm），

∴S△ABC＝

×

×3＝

（cm2）．

19．解：

能．∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，

∴DE＝DC.

在Rt△ADC和Rt△ADE中，

∵DC＝DE，AD＝AD，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE.

又∵AC＝BC，∴AE＝BC，

∴△BDE的周长为DE＋DB＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB.

∵AB＝6cm，∴△BDE的周长为6cm.

20．解：

答案不唯一，如：

（1）①　③　②　④

（2）已知：

D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O，且AB＝AC，∠ABE＝∠ACD.

求证：

OB＝OC，BE＝CD.

证明：

在△ABE和△ACD中，

∵∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝∠ABC－∠ABE＝∠CBE，∴OB＝OC.

21．证明：

∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝ED.∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO.∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∠EAO＝∠FAO，∴△AEO≌△AFO，∴AE＝AF，∴AF＝ED.

22．解：

（1）∵∠BAC＝100°，且AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝50°.

（2）在等腰三角形ABC中，∠B＝

＝40°.

（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线，∴D是BC的中点．又∵E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝

AC＝4.

23．解：

（1）证明：

∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，

∴∠CAD＝∠CAB＝60°.

又∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°，

∴AD＝

AC，AB＝

AC，∴AB＋AD＝

AC＋

AC＝AC.

（2）

（1）中的结论仍然成立．

证明：

如图，过点C分别作CE⊥AM于点E，CF⊥AN于点F，

则∠CED＝∠CFB＝90°.

∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.

∵∠CBF＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠CBF.

在△CDE和△CBF中，

∵∠CDE＝∠CBF，∠CED＝∠CFB，CE＝CF，

∴△CDE≌△CBF，∴DE＝BF.

∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，

∴∠MAC＝∠NAC＝60°，

∴∠ECA＝∠FCA＝30°.

在Rt△ACE和Rt△ACF中，AE＝

AC，AF＝

AC，

∴AD＋AB＝AD＋AF＋BF＝AD＋AF＋DE＝AE＋AF＝

AC＋

AC＝AC，

即AB＋AD＝AC.

24．解：

（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB＝60°.

∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.

设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，

∴QC＝QB＋BC＝x＋6.

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝

QC，即6－x＝

（x＋6），

解得x＝2，

∴当∠BQD＝30°时，AP＝2.

（2）线段DE的长不会发生变化．

如图，过点Q作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF.

又∵PE⊥AB于点E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.

∵点P，Q的运动速度相同，∴AP＝BQ.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°.

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP＝∠BFQ，∠A＝∠FBQ，AP＝BQ，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE＝BF，PE＝QF，

易证△QFD≌△PED，

∴DE＝DF，

∴DE＝

EF.

∵EF＝BE＋BF＝BE＋AE＝AB，

∴DE＝

AB.

又∵等边三角形ABC的边长为6，

∴DE＝3.