高考数学命题热点名师解密专题导数有关的构造函数方法理含答案解析doc.docx

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专题07导数有关的构造函数方法

一．知识点

基本初等函数的导数公式

（1）常用函数的导数

①（C）′＝________（C为常数）;

②（x）′＝________；

③（x2）′＝________；④

1

′＝________；

x

⑤（x）′＝________．

（2）初等函数的导数公式

①（xn）′＝________；②（sinx）′＝__________；

③（cosx）′＝________；

④（ex）′＝________；

⑤（ax）′＝___________；

⑥（lnx）′＝________；

⑦（logax）′＝__________．

5．导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]＝′________________________；

（2）[f（x）·g（x）]＝′_________________________；

f（x）

（3）g（x）′＝____________________________．

6．复合函数的导数

（1）

对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过变量

u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数

（函数y＝

f（u）和u＝g（x））的复合函数为y＝f（g（x））．

（2）

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关

系为___________________，即y对x的

导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

二．题型分析

1.构造多项式函数

2.构造三角函数型

3.构造ex形式的函数

4.构造成积的形式

5.与lnx有关的构造

6.构造成商的形式

7.对称问题

（一）构造多项式函数

例1．已知函数fxx

R满足fl

1，且f

x的导函数f'x

1

，则fx

x

1的解集为（

）

2

2

2

A.

B.

x|x

1

C.

D.

x|x

1

【答案】D

考点：

函数的单调性与导数的关系.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题

的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数Fx，利用新函数的性质

是解答问题的关键，属于中档试题.

练习1.设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有，当

x（

0）时，

.若

，则实数m的取值范围是（

）

A．[

1,）

B．[

3,）

C．[1,）

D．[2,

）

2

2

【答案】A

【解析】∵

，设

，则

，∴g（x）为奇函

数，又，∴g（x）在（,0）上是减函数，从而在R上是减函数，又

等价于，即，

∴m1m，解得m

1

．

2

考点：

导数在函数单调性中的应用.

【思路点睛】因为，设，则，可得g（x）

为奇函数，又，得g（x）在（,0）上是减函数，从而在R上是减函数，在根据函

数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.

练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实

数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，

以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.

练习3.设函数f（x）在R上存在导函数f（x），对任意xR，都有，且x（0,）时，

f（x）x，若，则实数a的取值范围是（）

A．1,B．,1C．,2D．2,

【答案】B

【解析】令，则，则，

得g（x）为R上的奇函数．∵x0时，，故g（x）在（0,）单调递增，再结合g（0）0

及g（x）为奇函数，知g（x）在（,）为增函数，又

则，即

a,1．故选B．

考点：

函数的单调性及导数的应用.

【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化

为关于a的不等式来求解

.

f（x）x

进行联想，构造出新函数

本题解答的关键是由已知条件

，然后结合来研究函数gx的奇偶性和单调性，再通过要解的不

等式构造，最终得到关于a的不等式，解得答案.

（二）构造三角函数型

例2．已知函数fx的定义域为R,f'x为函数fx的导函数，当x0,时，

且xR，.则下列说法一定正确的是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】令，则.因为当x0,时，

，即，所以，所以

在x0,上单调递增.又xR，，所以

，所以，故

为奇函数，所以在R上单调递增，所以

.即，故选B.

练习1．已知函数yf（x）对任意的满足（其中f'（x）是函数

f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】构造函数，

则，即函数g（x）在单调递增，

则，，即，

故A正确．，即

练习2．定义在（0,）上的函数f（x），f'x是它的导函数，且恒有成立，则（）

2

A.B.

C．D.

【答案】D

【解析】在区间0,上，有，即令

2

，则，故Fx在区间0,上单调递增.

2

令，则有，D选项正确.

【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tanx，往往转化为

sinx

cosx

来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为

，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断

单调性的问题，顺势而为.

（三）构造ex形式的函数

例3．已知函数fx

的导数为

f′x

，且

对x

R恒成立，则下列函数在实数

集内一定是增函数的为（

）

A.fx

B.xf

x

C.exf

x

D.xexf

x

【答案】D

【解析】设

，则

.

对x

R恒成立，且ex

0.

在R上递增，故选D.

练习1.

设函数f

（x）是函数

的导函数，f（0）

1，且

，则

的

解集为（

）

A.（ln4,）

B.（ln2,

）

3

3

C.（3,

）

D.（e,

）

2

3

【答案】B

【解析】依题意，构造函数，

由

，得

，x

ln2

3

【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数

的运算及对数函数的单调性.

构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，

转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，

转化为求函数最值处理．学科网

练习2.已知f

x定义在

R上的函数，

fx是fx的导函数，若

，且f0

2，

则不等式

（其中e为自然对数的底数）的解集是（

）

A．

B．1,

C．0,

D．

【答案】C

【解析】设

，则

，

∵

，∴

，∴gx，∴y

g

x在定义域上单调递增，∵

，∴gx

1，又∵

，∴

gx

g0，∴x

0，∴不等式的解集为

0,故选：

C.

考点：

利用导数研究函数的单调性.

【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调

性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的

以及所求结论

可知应

构造函数

，利用导数研究

ygx的单调性，结合原函数的性质和函数值，即

可求解.

练习3．定义在R上的函数f

x的导函数为f

x

，若对任意实数

x，有

，且fx1

为奇函数，则不等式

的解集是（

）

A．,0

B．0,

C．

1

D．1,

ee

【答案】B

【解析】设．由，得，故函

数

gx

在

R

上单调递减．由

fx1

f01

，所以

．不等式

为奇函数

等价于f

x

1，即

，结合函数gx的单调性可得x

0，从而不等式

ex

的解集为

0,

，故答案为B.

【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，

属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，

当是形如时构造；当是时构造，在本题中

令

，（x

R），从而求导g

x

0，从而可判断y

gx单调递减，从而可得到不等式的解

集．

练习4.已知定义在R上的可导函数fx

的导函数f'x

，满足

，且fx

2为偶函数，

f4

1

，则不等式f

xex的解集为（

）

A．

2,

B．4,

C．1,

D．0,

【答案】D

【解析】设，则

∴函数（gx）是R上的减函数，

∵函数fx2是偶函数，

∴函数

∴函数关于x2对称，

∴

原不等式等价为（gx）＜，1

∴不等式fxex等价（gx）＜，1即

∵（gx）是R上的减函数，

∴x＞0．

∴不等式f

xex式的解集为

0,

．选D

练习5．设函数f（x）是函数

的导函数，f（0）

1，且

，则

的

解集是（

）

ln4

ln2

C.

3

D.

e

A.

B.

3

3

2

3

【答案】B

【解析】设

，则

，所以

（c为常数），则

，由

，c

2，所以

，又由

，所以

即f（x）3，即2e3x

13，解得x

ln2

．故选B．

3

（四）构造成积的形式

例4．已知定义在R上的函数yfx

满足：

函数yfx

1的图象关于直线x

1对称，且当x,0

时，（fx是函数fx的导函数）成立．若，，

，则

a，b，c的大小关系是（

）

A．a＞b＞c

C．c＞a＞b

B．b＞a＞c

D．a＞c＞b

【答案】

A

【解析】易知fx关于

y轴对称,设

当x

0

时,

Fx在

0上为递减函数

且Fx

为奇函数

Fx在

R上是递减函数

.

即

abc,故选A.

【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较a,b,c的大小关系,需要

构造新函数,通过已知函数fx的奇偶性,对称性和单调性,判断Fx的各种性质,可得Fx

在R上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值0,1作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.

练习

1.设函数

f（x）是定义在（

0）上的可导函数，其导函数为

f'（x），且有

，则不

等式

的解集为（

）

A．

B．

C．（

2018,0）

D．（2016,0）

【答案】B

考点：

函数导数与不等式，构造函数．

【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件

，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，

由此可以求出Fx的单调性，即函数Fx为减函数.注意到原不等式可以看成，

利用函数的单调性就可以解出来.

练习2．设函数fx是定义在0,上的可导函数，其导函数为fx，且有，

则不等式的解集为（）

A．2012,B．0,2012C．0,2016D．2016,

【答案】D

【解析】试题分析：

∵函数

f

x

是定义在

0,

上的可导函数，

，

∴函数

y

x2（fx）在

0,

上是增函数，

∴不等式的解集为2016,．

【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数

yx

（f

x）

0,

上是增函数是解题的关键

2

在

练习3.

函数f

x是定义在区间0,

上可导函数，其导函数为

f'x，且满足

，则

不等式

的解集为（

）

A．

C．

B．

D．

【答案】

C

（五）与lnx有关的构造

例5.已知定义在实数集

f

3，则不等式

R的函数f（x）满足

（1）=4,且f（x）导函数f（x）

的解集为（

）

A.（1,）

B.（e,

）

C.（0,1）D.（0,e）

【答案】D

【解析】设t=lnx,则不等式

化为f（t）3t1，设g（x）=f（x）-3x-1,则

。

因为f（x）

3，所以

<0,此时函数g（x）单调递减。

因为

f

（1）=4，所以

g

（1）=f

（1）-3-1=0,所以

当x>1时，g（x）

（1）=0,此时g（x）=f（x）-3x-1<0,即不等式f（x）>3x+1的解为x<1，即不等式f（t）>3t+1的解集为

t<1.由lnx<1得0

选D。

练习1.设为自然对数的底数.若，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由不等式启发，可构造函数，则，

又由，得，即Fx在0,上为单调递增函数，因为

2ee2，所以，即，又，整理可得

，.故正确答案选B.

【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识，属于中高档题.首先根据条件

，构造函数，对函数Fx求导，则有，可知

Fx在0,上为单调递增函数，又2ee2，即，化简整理即得正确答案.

（六）构造成商的形式

例6.已知fx在0,上非负可导，且满足，对于任意正数m,n，若mn，则必

有（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】构造函数,则由可知函数是单调递减函数,

因为mn,所以,即,也即,因此应选D．

考点：

导数的运算和灵活运用．

【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解

答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概

括,先构造一个新的函数,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件,判

断出函数是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.

练习1.已知函数yfx是R上的可导函数，当x0时，有，则函数

的零点个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】令.

x0时，

，为增函数，当x

0时，

，为减函数，函数

1

y

x

，即当

在区间

上为增函数，故在区间

0上有一个交点.即

1

的零点个数是.

考点：

1.函数与导数；2.零点.

【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以

转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数y1在区间上为增

x

函数，通过已知条件分析,即当x0时，，

为增函数，当x0时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间,0上有一个交点.

练习2.．已知定义在R上的函数f（x）满足，当时，下面选项中最大的一

项是（）

f（mn）

B．

C．

f（nm）

D．

A．

nm

mn

【答案】B

【解析】令，则，又，所以最

大的一项是，选B.

考点：

利用导数研究函数单调性

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构

造辅助函数常根据导数法则进行：

如构造，构造

，构造，构造等

练习3.已知fx是定义在R上的减函数，而满足，其中f'x为fx的导数，则（）

A．对任意的B．对任意的

C．当且仅当D．当且仅当

【答案】B

【解析】由题意f'（x）0恒成立，由得．令x1得f

（1）0，又f（x）

为减函数，所以当x

1时，

，而当x

1时，由

得f（x）

0，从而f（x）

0，

f'（x）

综上有当xR时，f（x）

0．故选B．

考点：

导数与单调性．

【名师点睛】本题考查导数的应用，在解题时，关键是导导数与单调性的关系得出f'（x）0恒成立，然后

对已知不等式进行分析，首先可得f

（1）0，从而有得到部分f（x）的正负，即x1时，

，实际上这个结果就排除了A，C的正确性，也说明D是错误的，只有B是正确的．这是

利用了选择题的特征．

练习4.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中

一定错误的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】根据导数的概念得出

可判断答案．

解；∵f（′x）=

f′（x）＞k＞1，

∴＞k＞1，

即＞k＞1，

当x=时，f（）+1＞×k=

即f（）﹣1=

故f（）＞，

所以f（）＜，一定出错，

故选：

C．

练习5.已知奇函数fx定义域为