完整版高等数学微分方程试题doc.docx
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专业班级学号姓名成绩时间174
第十二章
微分方程
§12-1微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce2x（c的任意常数）是y
=2x的特解。
（
）
2.y=（y）3是二阶微分方程。
（
）
3.微分方程的通解包含了所有特解。
（
）
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（
）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（
）
二、填空题
1.
微分方程.（7x-6y）dx+dy=0
的阶数是
。
2.
函数y=3sinx-4cosx
微分方程的解。
3.
积分曲线y=（c1+c2x）e
2x
中满足yx=0=0,
y
x=0=1的曲线是
。
三、选择题
1．下列方程中
是常微分方程
（A）、x2+y2=a2
d
（e
arctanx
）0
（C）、
2a
2a
=0
（D）、y
=x2+y2
（B）、y+
2
+
2
dx
x
y
2.下列方程中
是二阶微分方程
（A）（y）+x2
y+x2=0（B）（
y
）2+3x2y=x3
（C）
y
+3y
+y=0
（D）y
-y2=sinx
d2y
2
1.2
3.微分方程dx2
+wy=0的通解是
其中c.cc均为任意常数
（A）y=ccoswx
（B）y=csinwx
（C）y=c1coswx+c2sinwx
（D）y=ccoswx+csinwx
2
4.C是任意常数，则微分方程y=3y3
的一个特解是
（A）y-=（x+2）3
（B）y=x3+1
（C）y=（x+c）3
（D）y=c（x+1）3
四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．yCx2
C2
（其中C为任意常数）
2.y
C1e2x
C2e3x
（其中C1,C2
为任意常数）
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
专业班级学号姓名成绩时间175
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2．（x+xy2）dx-（x2y+y）dy=0
3．（ex+y-ex）dx+（ex+y-ey）dy=0
4．y=cos（x-y）.（提示令.x-y=z）
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1．cosydx+（1+e-x）sinydy=0.yx=0=
4
专业班级
2.
secx2dy
xdx.y
3
1y
x
2
学号姓名成绩时间176
1
三、设f（x）=x+0xf（u）du,f（x）是可微函数，求f（x）
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。
已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
专业班级学号姓名成绩时间177
12-3
齐次方程
一、求下列齐次方程的通解
1xy-xsin
y
0
2（x+ycos
y）dx-xcos
ydy=0
x
x
x
二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
1．xy
dy
2.x2dy+（xy-y2）dx=0yx=1=1
=x2+y2yx=e=2e
ax
三、求方程：
（x+y+1）dx=（x-y+1）dy的通解
四、设有连结点O（0，0）和A（1，1）一段向上凸的曲线孤
OA对于OA上任一点
P（x，y）,曲线孤与OP直线段
OP
所围图形的面积为
x2，求曲线孤OA的方程。
专业班级学号姓名成绩时间178
12.4一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.xy+y=xex2.y+ytanx=sin2x
3.y+
1
y
sinx
4.
dy
y
x
x
dx
xy3ey
二、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．ycosy+siny=xyx0
4
2.（2x+1）eyy2ey=4yx00
三、已知f（
）,曲线积分
basinx
f（x）ydxf（x）dy与路径无关，求函数f（x）.
x
四、质量为M0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒
m克的速率
减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，
若开始下落时雨滴速度为零，
试求雨滴下落的速
度与时间的关系。
五、求下列伯努利方程的通解
1．y′+
1y
x2y5
2.xy′+y-y2lnx=0
x
专业班级学号姓名成绩时间179
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
1．[cos（x+y2）+3y]dx+[2ycos（x+y2）+3x]dy=0
2.（xcosy+cosx）y-ysinx+siny=0
3.eydx+（xey-2y）dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1ydx-xdy+y2xdx=0
2y（2xy+ex）dx-exdy=0
三、[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f（x）+x
2y]dy=0为全微分方程，其中函数
f（x）连续可微，f（0）=0,试求函
数f（x），并求该方程的通解。
专业班级学号姓名成绩时间180
12-7可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1．y=xsinx2.y-y=x
3.yy+（y）2=y4.y（1+ex）+y=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1．2y=sin2yyx0
yx01
2
2.xy-ylny+ylnx=0yx12yx1e2
三、函数f（x）在x>0内二阶导函数连续且
f
（1）=2，以及f
f（x）
（x）-
x
x
f（t2
）dt0
求f（x）.
1t
四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求
物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
专业班级学号姓名成绩时间181
12-8高阶线性的微分方程
一、选择题
1．下列方程中
为线性微分方程
（A）（y）+xy=x
（B）yy
2y
x
（C）y
2
2
y
e
x
（D）
y
y
3xy
cosy
y
x
2
x
x2
1
x2
1
1
）2
2.已知函数y1=e
x2
，y1=e
x2
，y3=e（x-
则
x
（A）仅y1与y2线性相关
（B）仅y2与y3线性相关
（C）仅y与y
3
线性相关
（D）它们两两线性相关
1
3．若y1
和y2
是二阶齐次线性方程，
y
+p（x）
y
+4（x）y=0
两个特解，c1
c2为任意常数，则
y=c1y1+c2y2
（A）一定是该方程的通解
（B）是该方程的特解
（C）是该方程的解
（D）不一定是方程的解
4．下列函数中哪组是线性无关的
（A）lnx,lnx2
（B）1，
lnx
（C）x,
ln2x
（D）lnx,
lnx2
二、证明：
下列函数是微分方程的通解
2
2
c
是任意常数）是方程x
2
y
-
y+4y=0
的通解
1y=cx+c
xlnx（c
1
2
3x
1
2
2y=c1e-x+c2exex（c1c2是任意常数）是方程2yy2ex的通解
2
三、设y1（x）y2（x）是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且
y1（x）y2（x）.y3（x）.线性无关，
证明：
微分方程的通解为：
yc1y1（x）c2y2（x）
（1c1c2）y3（x）
四、试求以y=
1
x2-x
）+
ex
1,2
是任意常数）为通解的二阶线性微分方程。
x
（c1e+ce
2
（cc
专业班级学号姓名成绩时间182
12-9二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题
1以y1=cosx,y2
=sinx为特解的方程是
（A）y
y
0
（B）y
y
0
（C）
y
y
0
（D）yy
0
2．微分方程2
y
y
y
0
的通解是
x
x
（A）y
c1ex
c2e2x（B）y
c1ex
c2e2（C）y
c1ex
c2e2
（D）y
c1ex
c2e2x
3．常微分方程y
（
1
2）y
12y
0，（其中
1,
2是不等的系数），在初始条件
y1x=0=y
x0
0特解是
（A）y=0
（B）y=c1e1x
c2e2x
（C）
y
1
2x2
（D）y
（1
2）x2
4．ye2x
是微分方程y
py
6y
0的一个特解，则此方程的通解是
（A）yc1e2x
c2e3x
（B）
y（c1xc2）e
2x
（C）yc1e2x
c2e3x
（D）
ye2x（c1sin3xc2cos3x）
5．yc1ex
c2ex是微分方程
的通解
（A）yy
0（B）yy
0（C）yy
0（D）yy0
二、求下列微分方程的通解
1．y5y02．y4y4y0
3．y4yy04．y5y6y0
专业班级学号姓名成绩时间183
5．y6y3y10y05.y（4）2yy0
三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．y2y10y0
yx01
y1x02
d2x
dx
xt00
xt01
2．
3x0
dt
dt
四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。
专业班级学号姓名成绩时间184
12-10
二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1微分方程，y
2y
x的特解y*形式为
（A）ax
（B）ax+b
（C）ax2
（D）ax2
bx
2.微分方程y
y
ex
1的特解y*形式为
（A）aex
b
（B）axex
b（C）aex
bx
（D）axex
bx
3．微分方程y
2u
xe2x的特解y*形式为
（A）x（axb）e2x
（B）（ax
b）e2x
（C）xe2x
（D）（ax2
bxc）e2x
4．微分方程y
4y
cos2x的特解y*形式为
（A）acos2x
（B）axcos2x
（C）x（acos2x+bsin2x）
（D）acos2x+bsin2x
5.微分方程y
y
xsin2
x的特解形式为y*=
（A）（ax+b）sin2x
（B）（ax+b）sin2x+（cx+d）cos2x
（C）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x
（D）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x+ex+f
6.微分方程y
4y
5y
ex
sin5x的特解形式为
（A）aex
bsin5x
（B）aex
bcos5x
csin5x
（C）axex
bsin5x
（D）axex
bcos5x
csin5x
二、求下列各方程的通解
1．y2y
y
xex
2．y
7y
6ysinx
3．y2y5yexsinx4．yyxcosx
专业班级学号姓名
三、求微分方程y
9ycosx满足yxy
2
四、已知二阶常系数微分方程yyy（x
,的值，并求该方程的通解
五、k为常数。
试求y2kyk2yex的通解。
xx
六、设f（x）sinxf（t）dtxf（t）dt，其中
00
成绩时间185
x0的特解
2
2）有特解y*ex1x26x，求
f（x）为连续的数，求f（x）。
七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
专业班级学号姓名成绩时间186
第十二章自测题一
一、填空题
1．已知曲线y=y（x）过点（0，
1
）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln（1+x2），则f（x）=
2
2．以xc2
y2
1为通解的微分方程是
（其中为任意常数）
3。
微分方程ydx+（c2-4x）dy=0的通解为
4．微分方程yylnxax的通解为]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
１．已知函数
y=f（x）在任意点x处的增量y=
yx
且当x
o时，
是比
x更高
1
x2
阶的无穷小量，y（o）=
，则y
（1）等于
（A）2
（B）
（C）e4
（D）e4
2y=y（x）是微分方程y
yesinx
0的解，且
f（x0）0，则f（x）在
（A）
x
的某个邻域内单调增加
（B）x
的某个邻域内单调减少
０
０
（C）x０处的取极小值
（D）x０处取极大值
3．一曲线通过点m（4.3）,且该曲线上任意一点
p处的切线在y轴上的截距等于原点到
离，则此曲线方程为
（A）x2
y2
25（B）y2
x2
（C）（x9）2
（y9）2
25（D）y4
10
p的距
x2
16
4．下列方程中可利用
py,p
y
降为p的一阶微分方程的是
（Ａ）（y）2
xy
x
0
（Ｂ）y
yy
y2
0
（C）yy2y
y2x
0
（D）y
yy
x
0
三、求解下列微分方程
1.求ydx+（x2y-x）dy=0，满足yx1
1
的特解，
2.求yy
1
的通解
ex
1
专业班级学号姓名成绩时间187
四、求yyxsinx的通解。
五、已知y1
xex
e2x，y2
xex
ex，y3
xex
e2x
ex是某二阶线性非齐次微分
方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f（x）可微，且对任意实数x,y满足：
f（x+y）=exf（y）eyf（x）,求此函数f（x）.
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为
a+bv,其中
a,b为常
数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律
s=s（t）.
专业班级学号姓名成绩时间188
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设y=f（x）是方程y2y4y0的解，若f（x0）0,则f（x）在x0点
（A）取得极大值；（B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；
２．函数y3e2x是方程y4y0的
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对
３．微分方程2y5ycos2x的特解应具有形式（其中，a,b,c为常数）
（A）x（acos2xbsin2x）;（B）axbcos2xcsin2x
（C）a+bcos2x;（D）ax2+bcos2x+csin2x
4.微分方程y6y9yxe3x特解应具有形式
（A）（Ax+Bx）e3x（B）x（Ax+B）e3x（C）x2（Ax+B）e3x（D）Ax3e3x
5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s0，则此质点规律是
（A）s=v0+s0;（B）s1at2v0ts0（C）sv0t2s0;（D）sat2v0ts0
2
6函数f（x）满足关系式f（x）
2x
0
t
则f（x）
f（）dt1n2,
2
（A）1n2·ex;
（B）1n2·e2x;
（C）ex+ln2;
（D）e2x+ln2.
二、填空题
1.微分方程y
y
2y
0的通解y=
2.以1
22为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以ex,exsinx,excosx为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程y
2y
3通解y
三、判断下列方程的类型并求其解
１．求ydx
（3x
2
y5）dy
0满足yx
02的特解
２．求（xey+1）dx+（
1
x2ey
y）dy=0的通解
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