湖北省六校联合体届高三联考数学文试题 Word版含答案.docx
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湖北省六校联合体届高三联考数学文试题Word版含答案
2017年春季湖北省六校联合体四月联考
高三数学文科试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，集合
，则集合
中元素的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2.下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：
分），已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则
的值分别为（）
A．4，4B．5，4C．4，5D．5，5
3.设复数
满足
，
为虚数单位，则复数
的虚部是（）
A．2B．-2C．
D．
4.已知双曲线
上有一点
到右焦点
的距离为18，则点
到左焦点
的距离是（）
A．8B．28C．12D．8或28
5.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）
A．
B．
C．
D．
6.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是（）
A．
…
B．
…
…
C．
…
D．
…
…
7.若变量
满足约束条件
，且
的最大值和最小值分别为
和
，则
（）
A．-2B．-1C．0D．1
8.如图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是（）
A．
B．
C．
D．
9.某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）
A．18B．20C．24D．12
10.在数列
中，
，
，
…
等于（）
A．
B．
C．
D．
11.过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则实数
的值为（）
A．0B．
C．0或
D．
12.已知
，若
在区间
上有且只有一个极值点，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知
，
，则
与
的夹角为．
14.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为30秒，小明来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为．
15.已知等差数列
的前
项和为
，且
，则数列
的公差为．
16.如图，在
中，已知点
在边
上，
，
，
，
，则
的长为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量
，
，函数
（1）求函数
的最大值及最小正周期；
（2）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求
在
上的值域.
18.2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与
的数据如表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
车流量
（万辆）
1
2
3
4
5
6
7
的浓度
（微克/立方米）
28
30
35
41
49
56
62
（1）由散点图知
与
具有线性相关关系，求
关于
的线性回归方程；（提示数据：
）
（2）（I）利用
（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时
的浓度；（II）规定：
当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为优；当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？
（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：
回归直线的方程是
，其中
，
.
19.在四棱锥
中，底面是边长为2的菱形，
，
，
，
.
（1）设平面
平面
，证明：
；
（2）若
是
的中点，求三棱锥
的体积
.
20.如图，已知圆
经过椭圆
的左右焦点
，与椭圆
在第一象限的交点为
，且
，
，
三点共线.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设与直线
（
为原点）平行的直线交椭圆
于
两点，当
的面积取取最大值时，求直线
的方程.
21.设函数
，
的图象在点
处的切线与直线
平行.
（1）求
的值；
（2）若函数
（
），且
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知直线
的参数方程为
（
为参数），以
为极点，
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，（
）
（1）写出直线
经过的定点的直角坐标，并求曲线
的普通方程；
（2）若
，求直线
的极坐标方程，以及直线
与曲线
的交点的极坐标.
23.设函数
.
（1）若
，求函数
的值域；
（2）若
，求不等式
的解集.
2017年春季湖北省六校联合体四月联考
高三数学文科试卷试卷答案
一、选择题
1-5:
ACBDA6-10:
DCDBB11、12：
CB
二、填空题
13.
14.
15.416.
三、解答题
17.解：
（1）
.
所以
的最大值为1，最小正周期为
.
（2）由
（1）得
.将函数
的图象向左平移
个单位后得到
的图象.
因此
，又
，所以
，
.故
在
上的值域为
.
18.解：
（1）由数据可得：
，
，（注:
用另一个公式求运算量小些）
故
关于
的线性回归方程为
.
（2）（ⅰ）当车流量为12万辆时，即
时，
.
故车流量为
万辆时，
的浓度为
微克/立方米.
（ⅱ）根据题意信息得：
，即
，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.……12分
19.解：
（1）因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
又平面
平面
，且
平面
，所以
.
（2）因为底面是菱形，所以
.因为
，且
是
中点，所以
.
又
，所以
面
.所以
是三棱锥
的高.
因为
为边长为2的等边
的中线，所以
.
因为
为等腰
的高线，
所以
.
在
中，
，
，
，
所以
，所以
.
所以
，
因为
是线段
的中点，所以
.
所以
.
20.解：
（1）∵
，
，
三点共线，
∴
为圆
的直径，且
，
∴
.由
，得
，
∴
，∵
，
∴
，∴
，
.
∵
，∴
，∴椭圆
的方程为
.
（2）由
（1）知，点
的坐标为
，
∴直线
的斜率为
，故设直线
的方程为
，将
方程代入
消去
得：
，
设
∴
，
，
，
∴
，
又：
，
∵点
到直线
的距离
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时直线
的方程为
.
21.解：
（1）由题意知，曲线
在点
处的切线斜率为3，
所以
，又
，
即
，所以
.
（2）由
（1）知
，
所以
，
若
在
上为单调递减函数，则
在
上恒成立，
即
，所以
.
令
，则
，
由
，得
，
，得
，
故
在
上是减函数，在
上是增函数，
则
，
无最大值，
在
上不恒成立，
故
在
不可能是单调减函数.
若
在
上为单调递增函数，则
在
上恒成立，
即
，所以
，
由前面推理知，
的最小值为
，
∴
，故
的取值范围是
.
22.解：
（1）直线
经过定点
，
由
得
，
得曲线
的普通方程为
，化简得
.
（2）若
，得
，的普通方程为
，
则直线
的极坐标方程为
，
联立曲线
.得
，取
，得
，
所以直线
与曲线
的交点为
.
23.解：
（1）当
时，
，
∵
，
∴
，函数
的值域为
.
（2）当
时，不等式
即
①当
时，得
，解得
，∴
，
②当
时，得
，解得
，∴
，
③当
时，得
，解得
，所以无解，
综上所述，原不等式的解集为
.
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