完整word版圆周运动中的临界问题专题.docx
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完整word版圆周运动中的临界问题专题
4当v>.Rg时，Fn为拉力，Fn随v的增大而增大（此时Fn为拉力，方向指向圆心）
典例讨论
1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴0O旋转，现将轻质弹簧的一端固定
课题28圆周运动中的临界问题
一、竖直面内圆周运动的临界问题
（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
特点：
绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力
1临界条件：
绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg=mv2/R宀v临界=.Rg（可理解为恰好转过或
恰好转不过的速度）
即此时小球所受重力全部提供向心力注意：
如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力
的合力提供向心力，此时临界速度V临工Rg
②能过最高点的条件：
v>Rg，当v>Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.
③不能过最高点的条件：
vvV临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）
【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球
在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A,设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。
将
物块置于离圆心R处，R>L,圆盘不动，物块保持静止。
现使圆盘从静止开始转动，并使转速3逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。
当3增大到J5kR1时，物块A是否受
V4mR
到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。
【解析]对物块A,设其所受静摩擦力为零时的临界角度为3°,此时向心力仅为弹簧弹力；
若3>3°,则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若3<3°，则需要较小
的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。
依向心力公式有m3o2R=k（R—L），所以°]kR1，故J5kR1时，得3>3°。
\mR\4mR
可见物块所受静摩擦力指向圆心。
【例3】如图所示，细绳长为L,一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面
内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？
解析：
小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无
拉力，则M叶Eq=mv°2/L,得v°Jmg―EqL/m，故小球在竖直平面内能
够做圆周运动时，小球至最高点的速度v.mgEqL/m
Z
/
m,q
:
L
I
X
A
S
•O
1
1
1
*
✓
E
尸9-;
r*
拓展：
该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右•如图,
为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）.
思考：
物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少?
【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），
圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。
A球的质量为mi,B球的质量为
m2。
它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v°。
设A球运动到最
低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么mi,
m2,R与v°应满足怎样的关系式？
解析：
首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。
A球在圆管
最低点必受向上弹力N,此时两球对圆管的合力为零，m必受圆管向下的弹力Nb,且N=N2。
2
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有2m1gmi—°①
R
1212
m球由最高点到最低点机械能守恒口讣严12m2V0③又心……④
由式①一④解得％二屈叫+叫）现他_叫卜
【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。
找出其中的联系就能很好地解决问题。
—|
【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作90°转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为ri和
「2,车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是卩•试问：
竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？
在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？
分析:
赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为Vm。
转弯时，车做
圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小•为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小
到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到Vm。
车道的
选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定.对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为V2，则应
有m\22/r2=卩mg解得V2=.r2g
如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为V2,且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=y
mg/m=3g
222
此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为X2=—竺=出—旦
2a2g2
车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为X2的路程上加速，才能达
到速度Vm。
上述过程所用的总时间为
丄丄丄丄Vmv2r2
t2=t减速+t圆弧+t加速=++
a2v2
另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多
走了长度△L=r2—ri
同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度
△x=2xi—2x2=r2—rI
由于上述的△L和厶X刚好相等，可见车在直道上以Vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的•这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的tl和t2即可由于t2然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为
2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
【例6】如图，直杆上0102两点间距为L,细线OiA长为3L,O2A长为L,A端小球质量为m,要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度3转动？
解析：
当3较小时线OA拉直，OA松弛，而当3太大时OA拉直,OiA将松弛.
设O2A刚好拉直，但Fo2a仍为零时角速度为3i，此时/QOA=30°,对小球：
在竖直方向Fqia-cos30°=mg①
在水平方向：
Fqia-sin30°=m:
3Lsin30°……②
将11>12代入①式，得］丄———<丄arccos（a/L）解得3^—arccos（a/L）/4L2a2
\g'2
（2）当杆的转速3较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所
用的时间为t2/，杆要与B相碰，t2/和tl必须满足下列条件：
t1>t2/
//丨加|2o2
由2n+①=3t2，所以12=（2n+①）=（2n+arccos（a/L））/3代入得J仝丄———>（2}g
n+arccos（a/L））/3,解得3》garccos（a/L）/4L2a2V2
如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以
带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。
已知小球所受到电场力是其重力的3/4,圆滑半径为R,斜面倾角为0,Sbc=2R。
若使小
球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
F=1.25mg,方向与竖直方向左偏下37o,从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点
是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
2
由圆周运动知识得：
Fm^
R
2
Vd
即：
1.25mgm一
联立①、②可求出此时的高度ho
【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔0吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到0点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O
旋转的角速度3的取值范围.（取g=10m/s2）
解析：
要使B静止，A必须相对于转盘静止一一具有与转盘相同的角速度.A需要的向
心力由绳拉力和静摩擦力合成.角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心0;
角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心0.
对于B,T=mg
2
对于A,TfMr,
Mr
【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大
得多）.在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量为mi,B
球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为vo.设A球运动到
最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R
与V0应满足的关系式是.
解析：
这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题.
A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下•若
要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球
的压力--定是竖直向下的.
2
v对于B球，N2m2gm2-
R
又Ni=N2
2
解得Eg译（mi5m2）g0
针对练习:
1•如图所示，长为L的细线，一端固定在0点，另一端系一个球•把小球拉到与悬点0处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕0点在竖直平面内做圆周
运动。
要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为
若往返飞行时间相同,
2.由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机,
且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力
3•用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图
（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为3,线的张力为T,贝yT随32变化的图象是图
（2）中的
6.如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过0点的水平轴自由转动现给小球一初速度,
使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与
静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在
一起飞出轨道，落地点距N为2R。
重力加速度为g,忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦
均不计，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t;
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。
解析：
（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有
122Rgt①
2
解得t2R②
（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为vi，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为
1212
0，由机械能守恒定律知mvmv12mgR③
22
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为V2，由动量守恒定律知mvt2mv2④
飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有2Rv2t⑤
综合②③④⑤式得V222gR
某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆
管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），
底端与水平地面相切。
弹射装置将一个小物体（可视为质点）以Va=5m/s的水平初速度由a
点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。
小物体与地面ab段间的
动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失。
已知ab段长L=1.5m,数字“0”的半径R=0.2m,
小物体质量m=0.01kg,g=10m/s2。
求：
（1）小物体从p点抛出后的水平射程。
（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
解析：
（1）设小物体运动到p点时的速度大小为v,对小物体由a运动到p过程应用动
由①②③式联立代入数据解得：
s=0.8m④
（2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，由牛顿第二定律得:
2
lmv
Fmg
R
由①⑤两式联立代入数据解得：
F=0.3N，方向竖直向下。
答案：
⑴0.8m⑵0.3N方向竖直向下
mg
2
V1
mv2MV0
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
121212mv2MVmgLmv0⑥
由⑤⑥式，得V2=2m/s⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为si,滑块向左移动的距
离为邑，任意时刻小球的水平速度大小为V3，滑块的速度大小为V，。
由系统水平方向的动量守恒，得
mv3MV0⑦
将⑧式两边同乘以t，得
mv3tMVt0
10
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔t都成立，累积相加后，有
mS|Ms20
11
线00-。
在2|=角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵,
到m之间变化，且均能落到水面。
持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S
是多少？
解析：
此题考查平抛运动规律、牛顿运动定律、竖直面内的圆周运动、机械能守恒定律等知
识点
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则
（1）
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有
1-
••⑶
Ep二观目（1.予应H■氏）+—曲v；
-Li
由
（2）（3）得
•（4）
（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为动，设经过t时间落到水面上，
离00的水平距离为
xi.
m的鱼饵离开管口C后做平抛运由平抛规律有
由（5）（6）两式得'11'
••⑺
2
—m
当鱼饵的质量为］时，设其到达管口C时速度大小为
••（8）
由（4）（8）两式解得：
一’上•’
••（9）
2
—m
质量为二的鱼饵落到水面时上时，设离
••（10）
由（5）（9）（10）解得：
■-'■
鱼饵能够落到水面的最大面积s,s=-
（旅22-衩12）=-n2（或8.25R）。
参考答案：
1.C
2.C
3.C
4.B
5.D
6．AB
7．5R/2
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