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应力强度因子
第二章应力强度因子的计算
K--应力、位移场的度量=K的计算很重要,计算K值的几种方法：
1.数学分析法：
复变函数法、积分变换；
2.近似计算法：
边界配置法、有限元法；
3.实验标定法：
柔度标定法；
4.实验应力分析法：
光弹性法.
§2-1三种基本裂纹应力强度因子的计算
一、无限大板I型裂纹应力强度因子的计算
Ki=lim,Zi'计算K的基本公式，适用于型裂纹.
1.在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离X=_b处各作用一对集中力p.
；「x二ReZi-yImZi
；「y二ReZiyImZi
xy=_yReZi
选取复变解析函数:
2pza2b2
二（z2_b2）
边界条件:
b.zva,出去z=±b处裂纹为自由表面上=0,ixy=0。
c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p
以新坐标表示:
2p（匕+a）Ja2+孑
二[（a）2-b2]；（2a）
Ki
2p、、a
二（a2-b2）
2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离x=_印的范围内受均布载荷q作用.
y
b.
11
0
y
qn
r~
K
q1
旺
x
►J
2a1
利用叠加原理：
微段>集中力qdx>dKi二2q」a=dx
金（a2_x2）
a2q\a
i.dx
o-"22、
二（a-x）
令x=acos：
=a2-x2=acosv,dx=acos
当整个表面受均布载荷时，c—a.
=Ki=2q｛：
sin，（%）=qV^a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板，在x轴上有一系列长度为2a，间距为2b的裂纹.
4.
边界条件是周期的：
a.门=；丁.
b.在所有裂纹内部应力为零.y=0,-a:
:
:
x:
:
:
a,-a_2b：
：
：
x：
：
：
a_2b在区间内
-y=0^xy=0
采用新坐标：
=z-a
当©t0时,sin——匕=——Jcos——©=1
2b2b2b
JL迟JL乜JLJL乜JL
=sin——（a）=sin——cos一acos一sin—a2b2b2b2b2b
2a1
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（兰乞丄）可不考虑相互作用，按单个裂纹
2b5
计算•
二、无限大平板n>m型裂纹问题应力强度因子的计算
1.u型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）：
K^limZ（}
2.无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.
心=帆J2兀©Z（©）=iV^aJ^tan舒
3.川型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:
K皿叫、厂Z（）
4.周期性裂纹：
2b■■■-a
K=•■.a—tan—-
\na2b
§2-2深埋裂纹的应力强度因子的计算
y卓x
2C
1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点，沿y方向的张开位移为：
221
xz.2
y=y0（122）
ac
2（1-」2）；「a
其中：
yo=（丘丿.
-为第二类椭圆积分•有
Ji|22
=°2、1-C；asin2d「（于仁东书丿
匹a^2
二2[sin2「（-）2cos2]d（王铎书丿
0c
1962年,lrwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子
原裂纹面
又
N二Qcos:
x,-『sin:
22Xi乙
-2~~2
ac
c2片2a2zj二a2c2
ac
csin2「a2cos2
假设：
椭圆形裂纹扩展时，其失径「的增值r与「成正比.
边缘上任一点p（x,z）,有:
xj（「r）sin炉=（1f^?
sin》=（1f）xi
z=r）cos即=（1f）z1
=■p（x；z）,p（M,Zi）均在y=0的平面内.
—,:
2・2-22422・2・2
=cxaz（if）acac
=新的裂纹面仍为椭圆•长轴c=（i•f）c,短轴a'=（i•f）a.
=y向位移
22
原有裂纹面：
二二,上）2=i
acyo
222222
二1一（1—2门笃一（1—2f）%=1_笃一刍2f（笃刍）
acacac
=2f
二y'2=2fyf=2f（1+f）2y。
2E2fy。
2
又f=二Jc2sin2®+a2cos2申ac'
2
cos2:
「Jc2sin2®+a2ac
设各边缘的法向平面为平面应变，有:
=KiJ厂昱）2y2,c2sin2:
a2cos2「
41—4ac
yo
2（1「二2）；「a
E
二K]=（a）2（c2sin2「a2cos2
$c
在椭圆的短轴方向上，即，J',有K二KImax二亠1危险部位
20
＞椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子
当a=c时r圆片状裂纹，二—：
K|2”八旳.a
2兀
§2-3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算
、表面浅裂纹的应力强度因子
半椭圆片状表面线裂纹Ki与深埋椭圆裂纹的Ki之比等于边裂纹平板与中
心裂纹平板的KI值之比
Ki表—Ki边
Ki埋Ki中
又有:
O.lsin
丄兀A
tan——
W
仏=（1W
K冲
其中：
A----裂纹长度；W---板宽度
A—2兀A2兀A兀A
当一1时sin:
，tan—:
WWWWW
―
Ki1.1
Ki中
Ki表
—-1.1
Ki埋
1.16a
—Ki表一1.Ki埋一
＞椭圆片状表面裂纹A处的Ki值
、表面深裂纹的应力强度因子
深裂纹：
引入前后二个自由表面=使裂纹尖端的弹性约束减少=裂纹容易
扩展=Ki增大
=KI（表面）=MeK（埋藏）
其中：
Me—弹性修正系数，应大于1,由实验确定
一般情况下Me=M“M2
其中：
Mi—前自由表面的修正系数
M2—后自由表面的修正系数
关于Me表达式两种形式的论述
1.巴里斯和薛
a.0时二接近于单边切口试样M1=1.12
b.ac》1时=接近于半圆形的表面裂纹M1=1
利用线性内插法M1=1•0.12（1-空）
c
利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数
1
2B兀a?
=M2=（tan）2
兀a2B
B—板厚
a—裂纹深度
c—裂纹长度
当aB时M2:
"1=浅裂纹不考后自由表面的影响
2.柯巴亚希.沙.莫斯
a2
M1=10.12
（1）2
2c
2B兀a3
M2=（tan）2
兀a2B
—
二•表面裂纹的应力强度因子（应为最深点处）：
Ki=Me—a
§2-4其他问题应力强度因子的计算
一、I.u型复合问题应力强度因子的计算
复变数：
z=x・iy，z=x-iy
取复变解析函数：
x（z）二p•iq,⑵=p1iq1
取应力函数：
2丨■■!
⑵呼⑵•zx（z）zx（z）或=Ref-：
（z）-zx（z）]=满足双调和方程
分析第一应力不变量:
（推导过程略）
JF二匕—=4Re[x'（z）]excy
对于I.U型复合裂纹
I型：
二x二ReZ|「yImZ；,；「y二ReZ,yImZ,
k
（二x二y）uL0二2ImZuI—=2Im—〔7
=I、U型复合裂纹在裂纹前端处的不变量
kk
（Jr）,[十2Re—2；丨”加一2"“。
（Ki-iKu）]|[Q
取复数形式的应力强度因子.K二Ki-iKu
—k
二（JC|广2Re（）|飞
又（J二）=4Re[x（Z）]
-K=吧2.、云-x（Z）
若米用z坐标：
=Z-a=K=2-.2二limZ-ax（Z）
选择x（z）满足具体问题的应力边界条件•
=这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子•
f=Fi（Z）Fi（Z）ZF4（Z）ZF4（Z）（Fi（Z）,F4（Z）为解析函数）
---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式（或复变应力函数为普遍形式）.利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题•
二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算
实际情况：
应看成有限宽计算•，必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响•＞在理论上得不到完全解•》通过近似的简化或数值计算方法＞数值解.
方法:
边界配置法，有限单元法等.
针对有限宽板问题：
寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.
边界配置法：
将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件，但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K值.
边界配置法：
计算平面问题的单边裂纹问题，只限于讨论直边界问题.以三点弯曲试样为例进行说明.
（1）威廉氏（Williams）应力函数和应力公式
Williams应力函数：
ji.（~1）-
（r,巧八Cjr2[—cos（j-1户七cos（.1）可
2t
满足双调和方程I4（rj）=O.
HT
边界条件：
裂纹上、下表面（V=_…），^和^y均为零.=上式满足.
2
在边界上的边界条件的满足如下确定：
在有限宽板的边界上选取足够的点,如图,使这一点的边界条件满足=Cj
1
P
F
j
LW
I
_P
2
4
4I
_P
2
kJ
■-P
§
2
_s
2
其中：
B-试件厚度,W-试件宽度.
（2）K的计算
‘卫「DjBj（r,R
BWj^jj
qQ
又因为当二=0时,cost=1,当j=1时在乘.2二r后与r无关,而当
j=2,3,4…：
:
时在乘.、2二r后与r有关,当r>0时都为零.
「，二（为切向）
应利用边界条件确定Di,边界条件只个边界各点的应力，可利用不同的边界
条件,a.应力.b.',—（n为法向）.c.dn
（3）借用无裂纹体内的边界条件求系数Dj
取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是样的.取m个点分析，以2m有限级数代替无限级数精度足够.
对于不同的点有：
2m
•xyiDjE1j=[xy]1其中E1j已知，[xy]1由材料力学计算.
B^vj』
=Ki—F（旦）
BWW
13579
aa；a；a：
a：
F（）=11.6（）2-18.4（）287.2（）2-150.4（）2154.8（）2
WWWWWW
其中s=4W标准试件，此式为美国SEM-E399规范
§2-5确定应力强度因子的有限元法
不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的.一些实验方法、解
析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与K密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算•
一、位移法求应力强度因子
I型：
u（rp）=0J丄［（2k—1）cos?
—cos岂］
4GY2兀22
Ki
4G
、应力法求应力强度因子
有限元法=；「y（r,0）=Ki-；「y.2二r
Ki>r的关系曲线外推=Ki的准确值.
应力法与位移法比较：
利用刚度法求应力时，应力场比位移场的精度低（因应力是位移对坐标的偏导数）•
三、间接法求应力强度因子（应变能释放率法）
利用有限兀法确定G=Ki.
四、J积分法
-:
围绕裂纹尖端的闭合曲线•
T:
积分边界上的力•
u:
边界上的位移.
--hj
J积分为：
J二[Wdy-Tds]
p■x
1
其中W=Gy；iy为应变能密度.
2
线弹性问题：
J二G=0.
E
利用有限样方法计算回路积分二K.
§2-6叠加原理及其应用
Ki的叠加原理及其应用1.&的叠加
线弹性叠加原理：
当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和•
叠加原理适用于K]
证明：
：
©二lim、、2二r；「y|些
设在Ti载荷作用下,有：
巧⑴|世,Ki（1^lim）^/^^
（1）y^0设在T2载荷作用下，有：
6⑵|曲，Ki⑵=四72^⑵y£
由叠加原理有：
；「yl：
_o=；「y⑴•二
（2）y|甘
=Ki二Ki
（1）-Ki⑵>满足叠加原理
计算复杂载荷下应力强度因子的方法：
将复杂载荷分解成简单载荷，简单载荷可查©手册.
2.实例:
铆钉孔边双耳裂纹的©值
叠加原理：
Ki（a）=Ki（b）-Ki©-Ki（d）=Ki⑻二丄（心（5•Ki（c））
2
其中：
Ki（b^■（昔）D为圆孔直径,可查应力强度因子手册
2
板有宽度：
F（a）「sec£---板宽的修正.
WVW
这里：
af=Da即有效裂纹长度.
二（a°）
2
2
=K®滿（詈）
~2
确定Kz（c）:
无限板宽中心贯穿裂纹受集中力p作用.
a）
、应力场叠加原理及其应用
1.
应力场叠加原理
To:
无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场
叠加原理：
Ki（a）=Ki（b）-Ki（c）=Ki（c）
-应力场叠加原理：
在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应
力To所致的应力强度因子
如图
2.实例：
旋转叶轮（或轴）内孔端裂纹的©
以等角速度••运转的叶轮，在内孔面有一长为2a的贯穿裂纹，求裂纹前段的应力强度因子•
（1）求解无裂纹时，旋转体在无裂纹部位的内应力•
有弹性力学有：
R22
其中：
f为叶轮密度，••为角速度，R1为叶轮内径，R2为叶轮外径，r为计算点
-■'（平面应力）
「口（平面应变）
一般情况下：
旦11=（旦）2—
R21050R,
a比较小：
（匸）2二1.
R2
二T。
f‘直（1R2）
8r
⑵根据类比原则：
比较（d）与（b）:
内孔半径一致，裂纹大小及组态一样，裂纹面上下受力一致，外
边界无约束，唯一不同的是一个是有限体，一个是无限体，由于边界是自由的
二宀K（d）
II
（3）•根据叠加原理
（注意无裂纹时）,由弹性力学知:
二.K©十（d）
二K⑶二K:
（c）：
af（旦）
§2.7实际裂纹的近似处理
利用断裂力学进行安全评价时，首先确定缺陷的大小，部位和形状，偏于安全考虑：
夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹=裂纹应针对实际问题进行分析.
一、缺陷群的相互作用
1.垂直外应力的并列裂纹
并列裂纹的作用使©下降=工程上偏安全考虑
（1）并列裂纹作为单个裂纹考虑；
⑵对于密集的缺陷群，假定它们在空间规则排列，并可把空间裂纹简化成平面裂纹.
2.与外应力垂直的面内共线裂纹
如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上，可做为单个裂纹处理，否则必须考
虑修正：
MW.
二、裂纹形状的影响
通过探伤手段=缺陷的”当量尺寸”及其部位，而缺陷的具体形状及实际尺寸难以确定二裂纹形状的影响.
1.探伤结果是面积
当缺陷的面积相同时，？
=丄的椭圆裂纹心最大=以旦二丄的椭圆裂纹分析
c2c2
是偏于安全的.
2.探伤的结果是最大线尺寸
（1）当最大直径相同时，圆裂纹的K比椭圆裂纹大=以圆裂纹估算偏于安全.
（2）当缺陷长度一样时,贯穿裂纹K比其它裂纹的K大=以贯穿裂纹估算偏于安全.
§2.8塑性区及其修正
小范围屈服：
屈服区较小时（远远小于裂纹尺寸）.=线弹性断裂力学仍可用一、塑性区的形状和大小
1.屈服条件的一般形式
屈服条件:
材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件.
a.简单情况：
薄壁圆筒扭转：
.一s•
b.复杂情况：
f（二x,；「y»z,xy,・xz,yz）=C用主应力表示f（G,6,6）=C
有：
最大正应力条件，最大切应力条件，VOn.Mises屈服条件（变形能条
件）,Tresca屈服（切应力条件）.
2.根据屈服条件确定塑性区形状大小
a.利用米塞斯（von.mises）屈服条件.
当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服，即：
222
（二1-匚2）（匚2-6）匸3-匚1）
—
对于I型裂纹的应力公式
ee
cos—[1_sin]
22
6=0（平面应力,薄板或厚板表面）
Ki22820
=r2cos[1二3sin]
s2
-平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方程.
当八0时,r0二丄
Ki2
（1）2
2二-s
平面应变（厚板中心）二3二J^cos2三[（1-2」）23sin2三]
22
--平面应变下，I型裂纹前端屈服区的边界方程
1k
当V-0时，r=0.16—（」）2（」=0.3）
2兀6
b.利用Tresca（屈雷斯加）屈服条件.
在复杂受力下，当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力，材料即屈服.
比较发现：
平面应变塑性区尺寸小，平面应变处于三向拉伸状态不易屈服.
平面应变的有效屈服应力匚yS比二S高，
塑性区中的最大应力
3.应力松弛的影响
由于塑性变形引起应力松弛（应力松弛:
应变量不变，应力随时间降低）
应力松弛>塑性区尺寸增大，依据:
单位厚含裂纹平板，在外力作用下发生局部屈服后，其净截面的内力应当与外界平衡•
虚线表示发生塑性变形前，v-0的平面内法向应力的分布规律.
打―二K］（图中虚线所示）
J2兀r
此曲线下的面积为
R=c.-y（x）dx=外力
应力松弛后：
F2二Cydx=外力
屈服区内的最大应力称为有效屈服应力二ys,二ys=、2◎匚$（平面应变）
Bs（平面应力）
rys为二yl7=：
；ys时的r值,rys）2
-2-y.
二：
「y（X）dX=；「ydX
又BD与CE下的面积应相等.
=FB下的面积与ABC下的面积相等.即：
又“*（竺）2沙（平面应力）
ys
1K]2KI2
-R=—（—）=2「0二；
（一）兀S8J
=在平面应力条件下，考虑应力松弛，X轴的屈服区扩大1倍.
Ki
Cs
注意:
上述分析没有考虑材料强化。
材料强化裂纹尖端塑性区的尺寸变小对于设计是偏于安全的•
、有效裂纹尺寸（讨论塑性区尺寸对应力强度因子的影响）理论:
线弹性理论.修正:
有效裂纹尺寸.
基本原理：
设想裂纹的计算边界由o向右移到0^（00、ry）以便使弹性区域
内（即xR的区域）按线弹性理论所获得的应力甘和实际应力曲线、二y基本符合•
=有效裂纹尺寸a有效=ary
根据上述基本原理有：
Qy也,z仝
心2
2=ys
心
2（R-ry）
平面应力：
1Ki21Ki2
R（）fys"「s=ry（）
兀S2兀%
平面应变：
屮1KI2~尸1KI2
R』—（）,—=226=ry（）
2^^S4/2兀S
R
=ry
2
裂纹的计算边界正好在塑性区的中心•
、应力强度因子的计算
用a有效代替a,进行K的计算
1.K】表达式简单的可用解析式
a.无限宽板中心穿透裂纹
线弹性：
Ki-匚•、、-a
小范围屈服：
K「-匚\-（a■ry）
平面应力：
厂盘巴2
二KJ二MpK其中Mp
b.深埋裂纹（椭圆片状）
c.表面浅裂纹
二KJ二
平面应变：
ry=—（-Ki）2
Ki、2
—.2心
-KJT「：
（a—）]
--增大因子（塑性区修正因子）.
二：
二2
1-（）
acr
平面应变：
ry
线弹性：
K
小范围屈服：
$
二K]
1U）2
CF
二、、二a
31
—[（a4\2二J
K]、2
[2-0.18（）2]2
Ki二
1.1；a
[（a
1（K
1
）2]2
1.1a
令Q二2-0.212
[2-0.212（）2]2
---形状因子
-s
二KI二
1.1a
d.表面深裂纹
匚Ki二MiM—[（a4；（?
）2]2
M1M^.na
二Ki2T
冲2（M1M2）（▽）2『
4.2-s
诗2很小,令辔=0.212
M1M2r
[2_0.212
（二）2]2
2.K】表达式复杂一般用图解法
实际有限尺寸的裂纹试样.
其中：
丫（a）,F（a）—般是3的复杂函数.
WWW
可用逐次逼近法，以a代入求K^a有效'修正的Ki“
当K「n-1）与Ki（n）之差满足一定的要求为止.
可用图解法（参考清华大学.断裂损伤理论与应用）.
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