二次函数综合练习题1.docx

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二次函数综合练习题1

二次函数综合练习题

（1）

1.如图,二次函数

的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.

（1）试判断⊿ABC的形状；

（2）在该二次函数的图像上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？

若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由。

2.已知抛物线y=x2和直线y=（m2-1）x+m2.

（1）求证：

无论m为何实数，抛物线与直线总有两个交点；

（2）如图,设抛物线与直线的交点从左到右分别为A、B,当抛物线与直线的两个交点的横坐标之差为3时,求点A到OB的距离.

3.如图所示,在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C（-1,0）,抛物线

经过点B.

（1）求点B的坐标;

（2）求抛物线的解析式;

（3）在抛物线上是否存在点P（点B除外）,使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?

若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.

4（2009长沙）.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与ｘ轴交于A、B两点，与ｙ轴交于点C。

连接AC、BC，Ａ、Ｃ两点的坐标分别为Ａ（-３，０）、Ｃ（０，

），且当ｘ＝－４和ｘ＝２时二次函数的函数值相等。

（１）求实数ａ、ｂ、ｃ的值；

（２）若点Ｍ、Ｎ同时从Ｂ点出发，均以每秒１个单位长度的速度分别沿ＢＡ、ＢＣ边运动，其中一个点到达终点时，另一点也停止运动。

当运动时间为ｔ秒时，连接ＭＮ，将⊿ＢＭＮ沿ＭＮ翻折，Ｂ点恰好落在ＡＣ边上的Ｐ处，求ｔ的值及点Ｐ的坐标；

（３）在（２）的条件下，二次函数图像的对称轴上是否存在点Ｑ，使得以Ｂ、Ｎ、Ｑ为顶点的三角形与⊿ＡＢＣ相似？

如果存在，请求出点Ｑ的坐标；如果不存在，请说明理由。

5．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．

（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标；

（2）求折痕CM所在直线的解析式；

（3）作BG//AB交CM于G，若抛物线

过点G，求抛物线解析式，并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？

若有，请直接写出交点坐标.

6．已知：

如图，抛物线y=－

x2+3与x轴交于点A、点B，与直线y=－

x+b相交于点B，点C，直线y=－

x+b与y轴相交于点E．

（1）写出直线BC的解析式；

（2）求⊿ABC的面积；

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动。

设运动时间为t秒，请写出⊿MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，⊿MNB的面积最大，最大面积是多少？

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A,D的坐标分别为（5，0）和（3，0）。

⑴求点C的坐标；

⑵求DE所在直线的解析式；

⑶设过点C的抛物线y=2x2+

bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形。

如存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

8抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线y=x-5上。

（1）求抛物线的顶点A的坐标；

（2）抛物线与y轴的交点为B，与x轴的交点为C、D两点（点C在点D的左边），判断⊿ABD的形状；

（3）在直线y=x-5上是否存在点p，使以P、A、B、D为顶点的四边形为平行四边形？

若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由。

9、（2012长沙）如图半径分别为m,n

的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H。

（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；

（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；

（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,

四边形RMO1O2的面积为S2.

试探究：

是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为

的抛物线？

若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

10、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B,且其顶点P在⊙C上。

（1）求∠ACB的度数；

（2）直接写出A、B两点的坐标；

（3）试确定抛物线的解析式；

（4）在抛物线上是否存在一点D，使线段OP与线段CD互相平分？

若存在求出D点坐标；若不存在说明理由。

11、如图，一次函数

分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线

过A、B两点。

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。

求当t取何值时，MN有最大值？

最大值是多少？

（3）在

（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标。

12、已知抛物线

（m＞0）与x轴交与A、B两点。

（1）求证：

抛物线的对称轴在y轴的左侧;

（2）若

（O是坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与y轴交与点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积。

13、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。

（1）求经过A、B、O三点的抛物线的解析式；

（2）若

（1）中的抛物线的顶点为C,求⊿BOC的面积？

（3）探究：

如果点P是

（1）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么⊿PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及⊿PAB的最大面积；若没有，请说明理由。

14、如图，抛物线

与双曲线

相交于A、B两点，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（－2，2），点B在第四象限内，作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC到x轴的距离是点B到y轴的距离的4倍，抛物线的顶点为E。

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算⊿ABC与⊿ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使⊿ABD的面积是⊿ABE的面积的8倍。

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

15、如图，抛物线经过点A（－1,0）,B（3,0），C（0,3）三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段BC上的点（不与B,C重合），过M作NM∥Y轴交抛物线于N。

若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

（3）在

（2）的条件下，连接NB，NC,是否存在点M，使⊿BNC的面积最大？

若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由。

16、已知抛物线

经过A（2,0）。

设顶点为P，与x轴的另一交点为B。

（1）求b的值，并求出点P、B的坐标；

（2）如图，在直线

上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使⊿AMP≌⊿AMB?

若存在，试举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由。

17、如图，抛物线

的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，已知点B的坐标为（4,0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究⊿ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上的一点，求⊿MBC的面积的最大值，并求出此时M点坐标。

18、如图，抛物线的解析式是

，点C的坐标为（-4,0），平行四边形OABC的顶点A、B在抛物线上，AB与y轴交于点M,已知点Q（x,y）在抛物线上，点P（t,0）在x轴上。

（1）写出点M的坐标；

（2）当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时；

①求t关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：

2时，求t的值

19、已知：

直线

与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线

与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上运动，当⊿PAE是直角三角形时，求P点的坐标。

（3）在抛物线的对称轴上找一点，使︱AM－MC︱的值最大，求出点M的坐标。

20、如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的。

O‘点在轴的正半轴上，B点的坐标是（1,3）.

（1）如果二次函数

的图像经过点O、O’两点，且顶点M的纵坐标为－1，求这个二次函数的解析式。

（2）在

（1）中的二次函数图像的对称轴的右边上，是否存点P,使得⊿POM为直角三角形（其中OM为直角边）？

若存在，请求出P点坐标和⊿POM的面积；若不存在，请说明理由。

（3）求边O’C’所在直线的解析式.