全国硕士研究生入学统一考试数学一真题.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
（总分：
150.00，做题时间：
180分钟）
一、选择题（总题数：
10，分数：
50.00）
1.函数
，在x=0处（ ）。
（分数：
5.00）
A.连续且取极大值
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为0 （正确答案）
解析：
因为
，故f（x）在x=0处连续；
正确答案为D。
2.设函数f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x，x2）=2x2lnx，则df（1，1）=（ ）。
（分数：
5.00）
A.dx+dy
B.dx1dy
C.dy （正确答案）
D.-dy
解析：
3.设函数
在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则（ ）。
（分数：
5.00）
A.
（正确答案）
B.
C.
D.
解析：
根据麦克劳林公式有
故
，本题选A。
4.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则
（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
（正确答案）
C.
D.
解析：
由定积分的定义知，将（0,1）分成n份，取中间点的函数值，则
故选B。
5.二次型f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。
（分数：
5.00）
A.2,0
B.1,1 （正确答案）
C.2,1
D.1,2
解析：
f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x1x3
令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1。
故应选B。
6.已知
，记β1=α1，β2=α2-kβ1，β3=α3-l1β1-l2β2，若β1，β2，β3两两正交，则l1，l2依次为（ ）。
（分数：
5.00）
A.
（正确答案）
B.
C.
D.
解析：
利用斯密特正交化方法知
7.设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
C.
（正确答案）
D.
解析：
8.设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
C.
D.
（正确答案）
解析：
故正确答案为D。
9.设（X1,Y1）,（X2,Y2）,...,（Xn,Yn）为来自总体N
的简单随机样本，令
则（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
C.
（正确答案）
D.
解析：
因为X,Y是二维正态分布，所以
也服从二维正态分布，即
故正确答案为C。
10.设X1,X2...,X16是来自总体N（μ,4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：
H:
μ≤10,H:
μ＞10。
Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为
，其中
，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）。
（分数：
5.00）
A.1-Φ（0.5）
B.1-Φ
（1） （正确答案）
C.1-Φ（1.5）
D.1-Φ
（2）
解析：
所求概率为
故本题选B。
二、填空题（总题数：
6，分数：
30.00）
11.
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
12.设函数y=y（x）由参数方程
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
13.欧拉方程x2y" +xy'-4y=0满足条件y
（1）=1,y'
（1）=2得解为y=________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
x2
）
解析：
14.设Σ为空间区域{（x，y，z）|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
4π
）
解析：
由高斯公式得原式=
15.设A=aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A| =3，A11+A21+A31=________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
三、解答题（总题数：
6，分数：
70.00）
17.求极限
（分数：
10.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
18.设
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
19.已知曲线
，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
设D⊂R是有界单连通闭区域，
取得最大值的积分区域记为D1。
（分数：
12）
（1）.求 I（D1）的值.
（分数：
5）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
由二重积分的几何意义知：
大于0时，I（D）达到最大，
）
解析：
（2）.
（分数：
7）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
补D2:
x2+4y2=r2（r很小），取D2的方向为顺时针方向，
）
解析：
已知
（分数：
12）
（1）.求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵。
（分数：
6）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
（2）.求正定矩阵C，使得C2=（a+3）E-A。
（分数：
6）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令
（分数：
12）
（1）.求X的概率密度。
（分数：
3）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
（2）.求Z的概率密度。
（分数：
6）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
（3）.
（分数：
3）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
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