最新全等三角形难题集锦整理.docx

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最新全等三角形难题集锦整理

1、

（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

图1图2

2、

（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有

（2）中的数量关系？

如果有，请说明

3、

、

分别是正方形

的边

、

上的点，且

，

，

为垂足，求证：

．

4、C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边

和等边

，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②

；③AP=BQ；

④DE=DP；⑤

⑥CP=CQ⑦△CPQ为等边三角形．

⑧共有2对全等三角形⑨CO平分

⑩CO平分

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

5、D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。

（1）当

绕点D转动时，求证：

DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

6、如图，

是正三角形，△BDC是顶角

的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

7、点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，线段AN，MC交于点E，BM，CN交于点F。

求证：

（1）AN=MB.

（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，

（1）中的结论是否依然成立？

（3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

图①图②

8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知在

中，AB=AC，P是

内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使

，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片

和

．且

≌

。

将这两张三角形胶片的顶点

与顶点

重合，把

绕点

顺时针方向旋转，这时

与

相交于点

．

①当

旋转至如图②位置，点

，

，

在同一直线上时，

与

的数量关系是．

②当

继续旋转至如图③位置时，

（1）中的结论还成立吗？

与

存在怎样的数量关系？

请说明理由．

10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DC⊥BE．

11、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，

，

，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

12、如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE=AD，AF=AB，求证：

AC=EF

13、如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，求证：

（1）BD=CE；

（2）BD⊥CE．

14、如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD。

求证：

（1）△BDE≌△CDF；

（2）点D在∠A的平分线上

15、如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，

（1）若AB=CD，试说明BD平分EF；

（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。

16、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在

中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在

中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

17、如图1，点M为锐角

内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边

，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为

的费尔马点．若点M为

的费尔马点，试求此时

、

、

的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图2，分别以

的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为

的费尔马点．试说明这种作法的依据．

18、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.

（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想.

（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

图1图2

19、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：

①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）

（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

20、如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？

请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？

为什么？

（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？

还具有上问中的位置关系吗？

为什么？

21、如图1，在

中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

22、如图①所示，在

和

中，

，

，

，且点

，

，

在一条直线上，连接

，

，

，

分别为

的中点．

（1）求证：

①

；②

；

（2）在图①的基础上，将

绕点

按顺时针方向旋转

，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立.

23、数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平分线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

≌

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

24、问题背景，如下命题：

①如图1，在正三角形ABC中，N为BC边上任一点，CM为正三角形外角∠ACK的平分线，若

，则AN=NM。

②如图2，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若

，则AN=NM。

③如图3，在正五边形ABCDE中，N为BC边上任一点，CM为正五边形外角∠DCK的平分线，若

，则AN=NM。

任务要求：

（1）请你证明以上三个命题；

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图4，在正

（

≥3）边形ABCDEF…中，N为BC边上任一点，CM为正

边形外角∠DCK的平分线，问当∠ANM等于多少度时，结论AN=NM成立（不要求证明）.

②如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，N为BC延长线上一点，CM为∠DCN的平分线，若∠ANM=∠ABC，请问AN=NM是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

25、已知∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。

（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：

CD=CE

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

27、已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

28、已知BE，CF是

的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。

求证：

30、已知PA=

，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长;

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.

31、已知点

是正方形

的边

上一点，点

是

的延长线上一点，且

．求证：

．

32、以

的边

、

为边分别向外作正方形

和正方形

，连结

，试判断

与

面积之间的关系，并说明理由．

33、用两个全等的等边

和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60