最新分平面的递推计数六年级.docx
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最新分平面的递推计数六年级
知识图谱
计数第01讲_分平面的递推计数-一、分平面的递推计数直线或角分平面封闭图形分平面组合图形分平面
一：
分平面的递推计数
知识精讲
分平面（无边界）问题的总体思路是增量分析，即先求出新画图形与已有图形的交点数，进而推出它使平面增加了几部分．其中，求交点数是最关键的一步．为了使平面被划分成的部分尽量多，显然应让交点也尽量多．
一．直线或角分平面
1．直线：
第
条直线与前n条直线最多有n个交点，被截为
段，可使平面增加
部分．
2．角：
第
个角与前n个角最多有
个交点，被截为
段（拐弯处视为一段），可使平面增加
部分．
二．封闭图形分平面
1．n边形：
与直线类似，先数每条边与之前图形的交点数，再乘n即为n边形与之前图形的交点数，进而求出平面增加的部分数．
2．圆：
任意两个不同的圆最多有2个交点．
三．组合图形分平面
1．封闭图形间的组合：
与单种封闭图形分平面类似，建议先画圆．
2．直线与封闭图形间的组合：
建议先画直线．
三点剖析
重难点：
本类型题目的关键是不同图形之间交点数的求法．此外，对于组合图形分平面，若最后画直线，容易多算一部分．因此，建议先画直线．
题模精讲
题模一 直线或角分平面
例1.1.1、
5条直线最多把平面划分为多少部分？
n条直线呢？
答案：
16；
解析：
1条直线，把平面分成
部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成
部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成
部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成
部分；5条直线，直线间增加4个交点，把平面分成
部分．
第n条直线与前
条直线最多有
个交点，故其最多被分成n段．每段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分．开始时平面只有一部分，故n条直线最多将平面分成
部分．
例1.1.2、
用直线把一个平面分成50部分，至少要在平面上画_______条直线．
答案：
10
解析：
1条直线，把平面分成
部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成
部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成
部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成
部分……设n条直线把一个平面分成50部分，则有
，可得
，即至少要在平面上画10条直线．
例1.1.3、
五个角最多可以把平面分成多少部分？
答案：
43
解析：
显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有
个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四、五个角可使平面增加12、16部分．综上，五个角最多可以把平面分成
部分．
题模二 封闭图形分平面
例1.2.1、
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆最多能把平面分成四个区域，那么四个圆最多能把平面分成________个区域．
答案：
14
解析：
时，第
个圆与前n个圆最多有2n个交点，使得自身被分为2n段，每段使原来的一个区域一分为二，故第
个圆最多可使平面增加2n部分，四个圆最多能把平面分成
部分．
例1.2.2、
如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成几个部分？
答案：
170
解析：
1个三角形可以把平面分成2部分；
画第2个三角形时，它与前面的三角形最多有6个交点，这6个交点会把新画的三角形分成6段，每一段都会使整个平面多分出一个部分，因此2个三角形可以把平面分成
个部分；
画第3个三角形，它与前面的图形有12个交点，同理可知，平面增加了12个部分，因此2个三角形可以把平面分成
个部分；……
第n个三角形与前面的图形有
个交点，平面增加了
个部分，
综上，n个三角形最多把平面分成
个部分．
因此8个三角形最多可以把平面分成
个部分．
例1.2.3、
如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成________个部分．
答案：
62
解析：
增量分析．每画一个凸五边形，最多可与之前的n个凸五边形有
个交点，可使平面增加
部分．因此，画4个凸五边形最多可以把平面分成
个部分．
题模三 组合图形分平面
例1.3.1、
有10条直线和2个圆，最多可以把平面分成________个部分．
答案：
98
解析：
增量分析．先画直线，画完第1条直线后平面被分为2部分．
时，第n条直线与之前图形最多有
个交点，可使平面增加n部分；第1个圆与直线最多有
个交点，可使平面增加20部分；第2个圆与之前的图形最多有
个交点，可使平面增加22部分．因此，10条直线和2个圆最多可以把平面分成
部分．
例1.3.2、
在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？
答案：
78
解析：
依次画3个长方形、2个三角形和1条直线，通过增量分析可得最多可把这个平面分成
个部分．
随堂练习
随练1.1、
如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？
如果画8个圆，最多可以分成几个部分？
答案：
37个；58个
解析：
根据上面第4题的解答可知：
新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将8条直线的情况写为如下的一张数表：
8个圆也是同样的道理：
随练1.2、
用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画_______条直线．
答案：
14
解析：
1条直线，把平面分成
部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成
部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成
部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成
部分……设n条直线把一个平面分成100部分，则有
，可得
，即至少要在平面上画14条直线．
随练1.3、
在一个平面上画出20个圆，最多可以把平面分成_______个部分．
答案：
382
解析：
一个圆最多能把平面分成2个部分；
2个圆最多能把平面分成
个部分；
3个圆最多能把平面分成
个部分；
现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成
个部分；
同理，5个圆最多将平面分成
个部分
……
那么20个圆，最多可以把平面分成
部分．
随练1.4、
在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？
答案：
122
解析：
第1个正方形将平面分为2部分，第2个正方形与第1个最多有8个交点，即被分为8段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加8部分．同理，第
个正方形与之前的n个正方形最多有
个交点，将使平面增加
部分．因此，6个正方形最多可以把平面分成
部分．
随练1.5、
在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？
答案：
68
解析：
第1个三角形将平面分为2部分，第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点，即被分为6段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加6部分，同理第3个三角形使平面增加
个部分，至此共
部分；每个圆与1个三角形最多有6个交点，两圆间还可有2个交点，故画完圆可再增加
部分；直线与之前的5个图形最多有10个交点，故还能增加10部分．综上，共
部分．
课后作业
作业1、
12条直线最多把平面划分为多少部分？
答案：
79
解析：
1条直线，把平面分成
部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成
部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成
部分；……12条直线可把平面分成
部分．
作业2、
在一个平面上画出50条直线，最多可以把平面分成_______个部分．
答案：
1276
解析：
1条直线，把平面分成
部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成
部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成
部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成
部分……50条直线，直线间增加49个交点，把平面分成
部分．
作业3、
八个角最多可以把平面分成多少部分？
答案：
115
解析：
显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有
个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四至八个角可使平面增加12、16、20、24、28部分．综上，八个角最多可以把平面分成
部分．
作业4、
在一个平面上画出10个圆，最多可以把平面分成多少部分？
答案：
92
解析：
一个圆最多能把平面分成2个部分；
2个圆最多能把平面分成
个部分；
3个圆最多能把平面分成
个部分；
现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成
个部分；
二、大学生DIY手工艺制品消费分析同理，5个圆最多将平面分成
个部分
（四）DIY手工艺品的“个性化”……
那么10个圆，最多可以把平面分成
部分．
图1-4大学生购买手工艺制品目的
2、传统文化对大学生饰品消费的影响作业5、
（1）政策优势在一个平面上画出4个正六边形，最多可以把平面分成几个部分？
（一）大学生的消费购买能力分析答案：
74
解析：
第1个正六边形将平面分为2部分，第2个正六边形与第1个最多有
个交点，即被分为12段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加12部分．同理，第3、4个正六边形将使平面增加24、36部分．因此，4个正六边形最多可以把平面分成
部分．
“碧芝”隶属于加拿大的ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司。
这家公司原先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。
１９９６年'碧芝自制饰品店'在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四八达，由于是市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量问题。
迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进看一下。
经常光顾□偶尔会去□不会去□作业6、
大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。
除食品外，很大一部分开支都用于。
服饰，娱乐，小饰品等。
女生都比较偏爱小饰品之类的消费。
女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。
据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。
因此也为饰品业创造了无限的商机。
据调查统计，有50%的同学曾经购买过DIY饰品，有90%的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。
我们认为：
我校区的女生就占了80%。
相信开饰品店也是个不错的创业方针。
在一个平面上画出4个三角形、2条直线，最多可以把平面分成几个部分？
答案：
64
年轻有活力是我们最大的本钱。
我们这个自己动手做的小店，就应该与时尚打交道，要有独特的新颖性，这正是我们年轻女孩的优势。
解析：
2条直线最多把平面分成4部分．第1个三角形与2条直线最多有
个交点，可使平面增加6部分；第2、3、4个三角形分别能使平面增加12、18、24部分．因此，4个三角形、2条直线最多可以把平面分成
个部分
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