探索三角形相似的条件2射影定理.docx

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探索三角形相似的条件2射影定理

4.4探索三角形相似的条件

（2）射影定理

1.点在直线上的射影：

由一点向已知直线作垂线，所得的垂足，叫做这点在已知直线上的射影。

2.线段在直线上的射影：

是指这条线段的两个端点在已知直线上的射影间的线段。

如：

线段

在直线

上的射影分别为：

3.直角三角形中的比例线段定理——射影定理

定理：

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

∵∠

90°，AD⊥BC（已知）

∴①

②

③

（）

应用:

例1.已知：

∠

90°，CD⊥AB，AD=2，DB=6

则CD=，BC=，AC=

练习：

1.在Rt△ABC中，直角边AC与直角边BC之比为1:

2，CD⊥AB，

求AD:

DB的值？

2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB

①若AC:

BC=4：

3，则AD:

DB=

②若AD:

DB=5:

6，则AC:

BC=

例2.已知：

AD为△ABC的高，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：

AE:

AC=AF:

AB

练习：

1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E

求证：

2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，若AC:

BC=3：

4，则BF:

AE=

作业：

1、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，AD=3，DE=2，求AC？

2、已知：

CE为Rt△ABC的斜边上的高，在CE延长线上任取一点P，连接AP.过B点作BG⊥AP于G，交CE于D

求证：

3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F。

求证：

4、△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，求证：

5、△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，求证：

作业：

1、正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点，且

，EG⊥CF于G。

求证：

.

2、已知：

AD、BE是∆ABC的两条高，DF⊥AB于F，直线FD交BE于G，交AC的延长线于H。

求证：

.

3、在正方形ABCD中，AP⊥BD于P,PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，

求证：

.

4、四边形ABCD中，AC与BD交于O，过O作EF∥BC交AB于F,交CD于E，交AD延长线于G。

求证：

.