数学相似三角形提高题及其答案解析.docx
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数学相似三角形提高题及其答案解析
作业1
1.如图,在
中,
,
是
边上一点,且
,点
是线段
的中点,连结
.
(1)求证:
;
(2)若
,求证:
是等腰直角三角形.
2.如图8,在
中,
,
,BC=8,
是
边的中点,
为
边上的一个动点,作
,
交射线
于点
.设
,
的面积为
.
(1)求
关于
的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(3)如果以
、
、
为顶点的三角形与
相似,求
的面积.
3、如图,正方形ABCD的边长为8厘米,动点
从点A出发沿AB边由A
向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿折线BC-CD
以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q同时出发,当点
停止运动,点Q也随之停止.联结
AQ,交BD于点E.设点P运动时间为
秒.
(1)当点Q在线段BC上运动时,点P出发多少时间后,∠BEP和∠BEQ相等;
(2)当点Q在线段BC上运动时,求证:
BQE的面积是
APE的面积的2倍;
D
C
B
A
备用图
D
C
B
A
备用图
P
D
C
B
A
E
Q
(3)设
的面积为
,试求出
关于
的函数解析式,并写出函数的定义域.
4、已知:
等腰△ABC中,AB=AC=5cm。
BC=6cm,动点P、Q分别从A、B两点同时出发,沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/秒。
当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(秒).
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)设四边形APQC的面积为
cm2。
写出
与t的函数关系式及定义域;
(4)在P、Q运动中,△BPQ与△ABC能否相似?
若能,请求出AP的长;若不能,请说明理由.
5、如图,正方形
的边长为
,
是
边的中点,点
在射线
上,过
作
于
,设
.
(1)求证:
;
(2)若以
为顶点的三角形也与
相似,试求
的值;
6、已知:
在△ABC中,AB=AC,∠B=30º,BC=6,点D在边BC上,点E在线段DC上,DE=3,△DEF是等边三角形,边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N.
(1)求证:
△BDM∽△CEN;
(2)当点M、N分别在边BA、CA上时,设BD=
,△ABC与△DEF重叠部分的面积为
,求
关于
的函数解析式,并写出定义域.
7、如图①,在锐角⊿ABC中,BC>AB>AC,D和E分别是BC和AB上的动点,联结AD,DE.
(1)当D、E运动时,在图②中画出仅有一组三角形相似的图形;在图③中画出仅有两组三角形相似的图形;在图④中画出仅有三组三角形相似的图形.(要求在图中标出相等的角,并写出相似的三角形)
(2)设BC=9,AB=8,AC=6,就图③求出DE的长.(直接应用相似结论)
8、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.
(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:
△BEP∽△CPD;
(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么
①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=
,DF=
,求
关于
的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当
时,求BP的长.
9、如图九,△ABC中,AB=5,AC=3,BC=5.D为射线BA上的点(点D不与点B重合),作DE//BC交射线CA于点E..
(1)若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)当点D在AB边上时,BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?
若存在,请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由.
(备用图二)
(图九)
(备用图一)
答案
第2题①当
为锐角时,
由已知以
、
、
为顶点的三角形与
相似,又知
,
,所以
.
过点
作
于
可证得:
∴可证:
.
又
,由
(1)知:
∴
,………………………………………………………………………(1分)
∴
…………………………………………………………………………………(1分)
∴
.……………………………………………………………………(1分)
②当
为钝角时,同理可求得:
,………………………………(1分)
∴
∴
………………………………………………………………………(1分)
所以,
的面积的面积是
或
.
第三题
解:
(1)由正方形ABCD得∠ABD=∠DBC.当∠BEP=∠BEQ时,因为∠PBE=∠QBE,BE=BE,所以,
≌
,得PB=QB,即
,解得
,即点P出发
秒后,∠BEP=∠BEQ(
).
(2)当点Q在线段BC上运动时,如图1,过点E作MN
BC,垂足为M,交AD于点N,作EH
AB,垂足为H.因为∠ABD=∠DBC,EH
AB,EM
BC,得EH=EM.又因为BQ=
,AP=
,得BQ=2AP(
)而
,
所以
(
).
(3)①当
时,点Q在BC边上运动.由正方形ABCD得AD∥BC,可得MN
AD.由AD∥BC得
∽
,得
,即
,解得
,即EH=
(
),所以
,即
(
)
②当
时,点Q与点C重合.此时
(
);
③当
时,点Q在CD边上运动.如图2,过点E作MH
AB,垂足为H,可知MH
CD,
设垂足为M,由AB∥DC得,
∽
,得
即
解得EH=
(
),所以,
,即
(
),综上所述,
关于
的函数解析式为
(
);
(
);
(
).
第四题
解:
(1)过A作AH⊥BC,垂足为H
∵AB=AC,AH⊥BC
∴BH=
BC=3…………………………………1分
又∵PQ⊥AB
∴cos∠B=
…………………………1分
∴
∴t=
…………………………………………1分
(2)过P作PM⊥BC,垂足为M
∵PM⊥BCAH⊥BC
∴PM∥AH
∴
………………………………………………1分
∴
∴PM=
………………………………………………1分
∴S△PBQ=
∴
…………………1分
定义域0<t<5……………………………………………1分
(4)能,有二种情况:
①∵△BPQ∽△BAC
∴
……………………………………1分
∴
∴t=
…………………………………………1分
②∵△BPQ∽△BAC
∴
……………………………………1分
∴
∴t=
…………………………………………1分
所以,当t=
或t=
秒时,两个三角形相似。
第五题
(1)证明:
∵正方形
,∴
,------------------------1分
且∠ABE=900
-----------------------------------------1分
又∵
,∴
----------------------------1分
(2)解:
情况1,当
,且
时,
则有
------------------------------------------------------------------1分
四边形
为矩形,------------------------------------------------------1分
,即
-----------------------------------------------------2分
情况2,当
,且
时,∵
,
,
点
为
的中点,----------------------------------------1分
----------------------------------------------------------------1分
由
,即
得
,即
-------------------------2分
满足条件的
的值为2或5.
第六题
证明:
(1)∵△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C----------------------------------------------------(1分)
∵△DEF是等边三角形∴∠FDE=∠FED,∴∠MDB=∠AEC-------------------------(1分)
∴△BDM∽△CEN------------------------------------------------------------------------------(1分)
(2)过A作AH⊥BC垂足为H,
∵∠B=30°,BC=6
∴BH=3,AH=
AB=
∴
---------------------------------------------------------------(2分)
∵∠B=∠B,∠BMD=∠C
∴△BDM∽△BCA-------------------------------------------------------------------------(1分)
∴
∴
------------------------------------------------------------------------------(1分)
同理求得
----------------------------------------------------------------------(2分)
(1≤
≤2)---------------(2分)
第七题
.解
(1)
图②中仅有⊿ABC∽⊿DAC;
图③中仅有⊿ABC∽⊿DAC,⊿ABD∽⊿DBE;
图④中仅有⊿ABD∽⊿ADE∽⊿DBE;
作图正确且表述也正确各2分,作图正确,表述有错误扣1分.
(2)在图③中,由⊿ABC∽⊿DAC,得
-----------3分
∴BD=BC-CD=5.-----------1分
由⊿ABD∽⊿DBE,得DE=
-----------2分
第八题
证明:
(1)∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠C……………(1分)
BE=2,BP=2,CP=4,CD=4,∴
,∴△BEP∽△CPD………………(2分)
(2)①
又∠EPF=∠C=∠B,∴
…………………………………………(1分)
∴△BEP∽△CPF,∴
…………………………………………………(1分)
∴
………………………………………………………………………(1分)
∴
(
)………………………………………………(2分)
②当点F在线段CD的延长线上时
∠FDM=∠C=∠B,
,∴△BEP∽△DMF……(1分)
,∴
………………………………………………(1分)
又
,∴
,Δ<0,∴此方程无实数根,
故当点F在线段CD的延长线上时,不存在点P使
.……………(1分)
当点F在线段CD上时,同理△BEP∽△DMF
,∴
,又∴△BEP∽△CPF
∴
,∴
……………………………………………………(1分)
∴
,∴
,解得
,