元二次方程复习教案.docx
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元二次方程复习教案
一、知识结构：
解与解法
一元二次方程根的判另I」
韦达定理
二、考点讲解「
考点一、概念.
（1）定义:
「只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是.2,这样的③整式方程就是一元次方程。
（2）—般表达式：
ax2bxc0（a0）
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
1该项系数不为“0”；
2未知数指数为“2”；
3若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例题分析
例1、
下列方程中是关于
x
的一兀—
1次方程的是（
）
A
3x
12
2
x
1
B
1
2
1
20
x
x
C
2ax
bx
c
0
D
2x
2x
x21
变式：
:
当k
时，
关于x
的方程kx2
2xx
2
3是一元二次方程。
例2、方程m23mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为
巩固练习
★1、方程8x2
7的一次项系数是
，常数项是。
★2、若方程m
2x
m10是关于
x的一元二
-次方程，
⑴求m的值；
⑵写出关于x的
元
'次方程。
★★3、若方程
m
1x2\m?
x
1是关于
x的一元二次方程，则
m的取值范围
是_。
★★★4、若方程
mn—2i=r—
nx+x-2x=0是一兀
二次方程，
则下列不可能的是（
）
七、m=n=2=2,n=1
=2,m=1
=n=1
点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用二利用根的概念求代数式的值；
例题分析
例1已知2y2y3的值为2,则4y22y1的值为。
例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0,则a的值为
例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为。
例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，b,c是方程y28y5m0的两个根，则m的值为。
巩固练习
★1、已知方程x2kx100的一根是2,则k为，另一根是。
2x1
★2、已知关于x的方程xkx20的一个解与方程3的解相同。
x1
⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m。
★★4、已知a是x23x10的根，则2a26a。
★★5、方程abx2bcxca0的一个根为（）
A1B1CbeDa
★★★6、若2x5y30,则4x?
32y。
考点三、一元二次方程的常见解法
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
x2mm0,x
注意：
对于xa2
2.
m，axmbxn
2
等形式均适用直接开方法
例题分析
例1、解方程：
12x2
80
225
2
16x=0
22
例2、若9x116x2，则x的值为
巩固练习
1、下列方程无解的是（）
A.x232x21B.x220C.2x31xD.x290
B.
2、解方程:
例题分析
4、解方程:
例5、已知2x23xy2y20,则——-的值为。
xy
变式：
已知2x23xy2y20,且x0,y0,则X—y的值为
xy
巩固练习
★1、下列说法中：
1方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq（xx1）（xx2）
2x26x8（x2）（x4）.③a25ab6b2（a2）（a3）
⑤方程（3x1）270可变形为（3x1.7）（3x1.7）0
正确的是（填写序号）
★2、以1.7与1、7为根的一元二次方程是（）
A•x22x60B.x22x60C.y22y60
D.y22y60
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数：
20，则x+y的值为（）
、1或-2D、1或2
小2xJ6y砧轴
0,y0，求的值。
v3xy
2
0的较大根为r，方程2007x2008x10
b24ac
4a2
★★4、若实数x、y满足xy3xy
A、-1或-2B、-1或2C
21
5、方程：
x-22的解是。
x
★★★6、已知、6x2xy6y20，且x
★★★7、方程1999x219982000x1
的较小根为s，则s-r的值为。
类型三、配方法
2
2a
axbxc0a0
配方法的一般步骤是：
牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”
（1）方程两边同除以二次项系数，？
将二次项系数化为1；
（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；
（3）配方，？
方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；
（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程.
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例题分析
A、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。
B、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。
C、已知x2y24x6y130,x、y为实数，求xy的值。
D、分解因式：
4x212x3
巩固练习
★★1、试用配方法说明10x27x4的值恒小于0。
★★2、已知x2」yX丄40，则x—.
xxx
★★★3、若t2■3x212x9，贝yt的最大值为，最小值
为。
★★★4、如果ab*4ja22寸亍^4,那么a2b3c的值
为。
类型四、公式法
⑴条件：
a0,且b24ac0
⑵公式：
x―b,a0,且b24ac0
2a
说明：
①对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc=0,求出两根，再写成
2
axbxc=a（xx*）（xx2）.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去
例题分析
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴31x26.⑵x3x68.⑶x24x10
⑷3x24x10⑸3x13x1x12x5
例2、在实数范围内分解因式：
（1）x22'2x3;
（2）4x28x1.⑶2x24xy5y2
类型五、“降次思想”的应用:
⑴求代数式的值;
⑵解二元二次
方程组。
例题分析
例1、
已知x
3x20，求代数式
32
X—1一x一1的值。
x1
2、
3、
如果x2
已知a是
x10，那么代数式
兀二次方程x23x
2
2x7的值。
0的一根，求a32a225a1的值。
a1
用两种不同的方法解方程组
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；②先降次，再消元。
化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题
例
说明：
但都体现了一种共同的数学思想
4、
考点四、根的判别式：
b24ac
根的判别式的作用:
1定根的个数；
2求待定系数的值;
3应用于其它。
例题分析
A.
1、若关于x的方程x
2、
3、
2kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
关于x的方程m
0且m1B.
已知关于x的方程
x2
2mxm0有实数根，则
m的取值范围是（）
0C.m1D.
k2x2k0
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根;⑵若等腰ABC的一边长为
1，另两边长恰好是方程的两个根,
ABC的周长。
2
例4、已知二次三项式9x2
例5、m为何值时，方程组
巩固练习
★1、当k
（m
mx
6）x
2y2
m2是一个完全平方式，试求m的值.
a
有两个不同的实数解？
有两个相同的实数解?
3.
时，关于x的二次三项式
x2kx9是完全平方式。
★2、当k取何值时，多项式3x24x2k是
个完全平方式？
这个完全平方式是什么?
★3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是
ykx2,
★★4、k为何值时，方程组2y4x2y10.
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
★★★5、当k取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数?
例1、关于x的方程m1x22mx30
⑴有两个实数根，则m为，
⑵只有一个根，则m为。
22
例2、不解方程，判断关于x的方程x2xkk3根的情况。
例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、一元二次方程与实际应用
⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问
题
例题分析
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
1
市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少'，第三年比第二年减少
3
1
1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，
2
1一
还要盈利-，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结果精确到，
3
133.61）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,
一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说
明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：
对于axbxc0，当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。
「,,bc
⑵主要内容:
捲x2—,乂瘁2
aa
⑶应用：
整体代入求值。
D.
例题分析
例2、已知关于x的方程k2x2
2k1x1
0有两个不相等的实数根X1,X2，
（1）求k的取值范围；
k的值；若不存在，请
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出说明理由。
1）时，小明因看错-9和-1。
你知道原来的
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例4、
已知a
b,a2
2a1
2
0,b2b1
变式:
若a2
2a1
b2
a
2b10，则b
—的值为
a
例5、
已知
是方程
0的两个根，那么
巩固练习
y3,
2
y
2.已知a2
7a
b2
7b
4（ab），求#£
3、已知x-i,x2是方程x2
0的两实数根，求
2
7x23x266的值。
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