司洛克台球比赛中进球得分的最优策略2.docx
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司洛克台球比赛中进球得分的最优策略2
Snooker台球比赛中进球得分的最优策略
蔡小兵
（湖南科技学院数学与计算科学系，中国永州425006）
摘要:
本文研究司洛克台球比赛中得分的最优策略.首先基于决策论的理论和方法建立了台球比赛中得分的最优策略的数学模型.其次通过对模型的分析研究分别给出了最大概率准则和最大期望准则下的最优得分方式.本文所得到的结果对台球队员的训练和比赛有一定的指导意义.
关键词:
司洛克概率期望决策
OptimalSettingStrategiesintheSnookerCompetition
CaiXiaobing
（DepartmentofMathematicsandComputationalScience,HunanUniversity
ofScienceandEngineering,YongZhou425006China）
Abstract:
Thepaperinvestigatestheoptimalsettingstrategiesinthesnookermatch.First,byvirtueofthedecision-makingtheory,amathematicalmodelforthesnookermatchisestablished.Secondly,byanalyzingthemodel,theoptimalsettingstrategiesinthemeansofthemaximumprobabilityandthemaximumexpectationarederivedrespectively.Theresultsobtainedinthispaperareexpectedtobeofsomeuseforacoachtoguidehisorherteammemberinthecompetition.
Keywords:
snookerprobabilityexpectationdecision-making
1绪论
台球运动起源于欧洲，至今已有六七百年的历史.最早的台球是用木材或黄铜做的，后来以象牙为材料，由于价格昂贵，为降低成本后改用赛璐珞为原料.由于司洛克台球运动以技巧和智慧的运用为主，非常适合中国人参与角逐.它不受年龄和性别的限制，入门容易，又深不可测，备受大众喜爱.近年来，随着人们物质生活水平的显著提高，司洛克台球运动在中国已成为最受群众欢迎的体育项目之一.
然而作为一个司洛克老手，在打每一个球之前，必定要考虑好下一个球该怎么打，该如何留 位.即是说，一要选择好目标球，不是说哪个最容易进就进哪个；二要让白球在进了目标球后，能够回到预先计划的位置上，为边疆进球创造机会.一杆连续进球得分记录可 以说是司洛克比赛中的比赛.一个司洛克老手，不仅会以赢下全局而开心，也会以不断 刷新自己一杆得分最高记录而兴奋.当然，要做到这些，首先要看自己击球技巧和控制白球的能力如何.所以说，要想赢司洛克，不仅是手上功夫问题，还要看自己是否拥有 一个司洛克头脑.台面上球的布局千变万化，该打哪个球，该如何留位，全靠自己凭经验和头脑去当机立断.下边是一些典型实例，希望通过分析其中的一些常用策略，有助 于启发、培养司洛克头脑.
要赢司洛克，或刷新一杆得分最高记录，进黑球的次数是关键.围着黑球打的时候，要留意两点：
一要清理黑球进入两个顶袋的通道；二是让白球始终同黑球保持一定的角度； 要想赢司洛克比赛，不仅要靠扎实的基本功，娴熟的击球技巧争取多进球得分；同时， 必须会运用打安全球，使接下去打的对手无法进球；甚至会运用做司洛克，通过让对手 失误罚分而得分.所以说，司洛克比赛，不仅比试技巧，同时还要斗智.正因为如此， 司洛克斯比赛乐趣无穷.
因此，司洛克选手在赛场上的选择是非常重要，是成败的关键.那么，怎样才能更好地进球得分呢？
本文假设选手都以进黑球为最好的选择，重复进红、黑球只看成是一个回合.且选手水平发挥稳定，击球是相互独立.那么通过对台球的规则和选手在场上的各种选择建立起相应的九种策略，然后在最大概率准则下和最大期望准则下算出进球得分的最优策略.通过分析比较、计算这不同选择所造成的九种策略,选出进球得分的最有可能的策略，即，最大概率准则下的最优策略.又决策树是分析决策问题的一种图解工具，它能鲜明的表示出各种可能的选择和结果，所以用决策树得出在最大期望准则下的最优策略.所得到的结果与实际情况相符，且对选手和教练有一定的指导意义.当然，所得到的模型及其结果都是在理想状态下的.
2基本规则及其胜负决定
2.1基本规则
司洛克比赛,不仅比试技巧，同时还要斗智.斗智就是要结合台球比赛规则和实际情况做出最优策略.为了对规则有所了解,下面简单介绍一下比赛规则.
（1）司洛克台球球台内沿长350厘米，内沿宽175厘米，高85厘米.22个彩球共分8种颜色，红色球15个（1分），黄色球1个（2分），绿色球1个（3分），棕色球1个（4分），蓝色球1个（5分），粉色球1个（6分），黑色球一个（7分），白色球1个（主球）.
（2）开球前主球可在开球区（D型区）内任选一点位置.开球必须首先直接或间接击中红球.按照击落一个红球再击落一个彩球的顺序直至红球全部落袋.其中彩球落袋后放回原置球点.然后按照彩色球的分值从低到高依次为黄、绿、棕、蓝、粉、黑色球击落袋中.
（3）当台面上只剩下黑球时，击球入袋或犯规都会使比赛结束，这时如果双方比分相等则重新放置黑球，进行决胜局比赛，此时无论谁击球入袋或犯规都使比赛结束.
（4）遇有下列犯规行为，应判罚分（分值小于4分按4分罚分，大于4分按自身的分值罚分）：
球未停稳就击球；击球时杆头触击主球一次以上；击成空杆；主球击目标球后自落；击球时双脚离地，开球时主球未放入开球区（D型区）；击成跳球；击球出界；主球首先撞击非活球；击球时，球员的衣服、身体、球杆及佩戴物等触动台面上的球.
（5）下列犯规判罚7分：
击红球入袋后，尚未指定球就开始击球；击进红球后，未报彩球又击打红球；不使用白球而使用其他任何一个球作主球.
2.2司洛克基本玩法和胜负决定：
（1）司洛克共用球22个，其中15个红球,6个彩球（黑、粉、蓝、棕、绿、黄各1个）和1个白球.红球和彩球用来得分，白球用来击打红球和彩球.每次开始之前，将球摆如图1的形式.开球前，双方可以通过抛硬币来决定谁先开球.在开球时，开球一方，可将白球摆在开球区的任何位置，去打击红球.其后，白球停在什么位置，就必须接着由什么位置打起.每一方必须先打入一个红球，然后任选一个有利的彩球打.打入彩球后，需将彩球取出重新摆回其自己的原位点上（即开球前，其所在的位置上）.接着，再打红球，打彩球，如此反复，直到所有红球入袋.之后，就必须按照一定顺序打彩球.就是说，先打黄球，再打绿球、棕球、蓝球、粉球和黑球.此时，进一个彩球，台面上就少一个彩球（不再需要将入袋彩球取出摆回自己的原位点上），直至所有彩球入袋，台面上只剩下白球，就宣告结束.
（2）每局的胜负是由双方积分多寡决定，得分多者为胜方.得分有两种途径：
一是靠进球得分，二是通过对方失误罚分而得分.打入一个红球得1分（又可称“1度”），打入一次黄球得2分，绿球得3分，棕球得4分，蓝球得5分，粉球得6分，黑球得7分.因此,双方都会尽最大努力，多将黑球打入袋内.在打红球时，如果白球未能碰到任何红球，则要罚4分；如果误碰了彩球，则按照该彩球的分
图1
数罚分，但是最少都要罚4分.就是说，如果碰到了黑球罚7分，碰到了黄球罚4分.同样，在打彩球时，如果未能打到要打的彩球，则按照此彩球的分数罚分；如果误撞了更高分的彩球，按照高分罚分，最少都要罚4分.因此在进了红球后，打彩球前，理论上，打球方都要先声明他将要打哪个彩球.而实际上，如果要打的彩球很明显看得出，则无须声明，但是如果不明显，则一定要声明，否则自动罚7分.如图2，打球方一定要事先声明，他要打哪个彩球（棕球、蓝球或粉球）.如果误将白球击入袋，最少罚4分，或者按照白球进袋前最先碰到的最高分数球罚分.如果白球入袋，接着打的一方可将白球摆在开球区的任何位置击球.罚分不从受罚方的分中扣减，而是加入对方的得分中.正因为还可以通过双方的失误而得分，所以场上一方如果觉得自己没有进球机会，则会试图制作“司洛克”.所谓“司洛克”，就是造成这样的一个局面，使接着打的一方无法直接打到要打的球，而不得不采取反弹或弧线等高难度球，因而很容易失误而导致罚分.
图2
3问题的提出及模型假设
3.1问题的提出
随着竞技台球的发展,数学中的组合优化,决策论和概率统计等数学学科在台球比赛中越来越受到人们重视.一个好的台球队员在比赛中合理应用决策论并借助组合优化和概率统计的有关结果,可以选择使自己进球和得分的概率最大，或不进球的同时制作司洛克致使对方失误而得分.球员在选择时会依据自己对进球的把握程度做出相应的决策.然而，决策的好坏直接影响到两个水平相当的对手胜负情况.那么，必须要依据实际情况采取进球得分的最优化组合.而本文应用最大概率准则和最大期望准则讨论在台球比赛中进球得分的最优策略并通过对模型的分析研究导出在特定情况下如何选择进球得分和制作司洛克.
3.2模型假设
a）每一攻防是相互独立的.
b）运动员的水平发挥稳定且实力相当.
4模型建立
在司洛克台球比赛中，由于分值1分的红球有10个，分值不同的色球有6个，依比赛规则，比赛双方都会利用击打红球的机会定位去击打黑球（分值为6分），或者造成司洛克致使对方失误而得分.假设在一场台球比赛中，击进红球入袋后都以击入黑球为准.则在一场比赛中，比赛一方会面对三个选择，分别为：
击进红球入袋从而击打黑球入袋而得分的概率为PZ；击进黑球入袋的同时造成司洛克致使对方失误而得分的概率为PF；击中红球未入袋且制作司洛克，造成司洛克致使对方失误得分的概率为PH.相应地，对方同样会面对三种情况，即QZ，QF，QH.由于要比赛中，比赛双方都是训练有素的球员，而且球台上红球占10个，那么利用击进红球的机会击进黑球的概率大于击进红球造成司洛克，而击中红球未入袋且制作司洛克的概率最小，即PZ>PF>PH.同样，对方也有相应地选择，即QZ>QF>QH.我们假设所有这些选择都是未击打完红球的情况下,且每一次得分最多只有两个回合.那么，双方选择击球的方式有下列几种方式，分别为:
ZZ、FF、HH、ZF、ZH、FZ、FH、HZ、HF.
其中可选择的策略为:
4.1最大概率准则下的最优策略;
4.2 最大期望准则下的最优策略.
注：
ZZ策略表示比赛一方进红,黑球,对方未能击进红,黑球,得分则已.否则,第二次还是击进红,黑球.
4.1最大概率准则下的最优策略.
策略1ZZ策略比赛一方击进红、黑球，得分则已;否则第二次还是击进红、黑球.
PZZ=PZ（1-QZ）+PZQZPZ（1-QZ）=PZ（1-QZ）（1+PZQZ）.
策略2FF策略比赛一方击打黑球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次还是击打黑球且制作司洛克.
PFF=PF（1-QF）+PFQFPF（1-QF）=PF（1-QF）（1+PFQF）.
策略3HH策略比赛一方击打红球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次还是击打红球且制作司洛克.
PHH=PH（1-QH）+PHQHPH（1-QH）=PH（1-QH）（1+PHQH）.
策略4ZF策略比赛一方进球红、黑，得分则已;否则第二次击打黑球且制作司洛克.
PZF=PZ（1-QZ）+PZQZPF（1-QF）.
策略5ZH策略比赛一方进球红、黑球，得分则已;否则第二次还是击打红球且制作司洛克.
PZH=PZ（1-QZ）+PZQZPH（1-QH）.
策略6FZ策略比赛一方击打黑球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次击进红、黑球.
PFZ=PF（1-QF）+PFQFPZ（1-QZ）.
策略7FH策略比赛一方击打黑球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次击打红球且制作司洛克.
PFH=PF（1-QF）+PFQFPH（1-QH）.
策略8HZ策略比赛一方击打红球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次击进红,黑球.
PHZ=PH（1-QH）+PHQHPZ（1-QZ）.
策略9HF策略比赛一方击打红球且制作司洛克致使对方失误而得分，得分则已;否则第二次击打黑球且制作司洛克.
PHF=PH（1-QH）+PHQHPF（1-QF）.
定理4.1.1如果PZ（1-QZ）>PF（1-QF）>PH（1-QH）,则选择ZZ策略进球得分为最大概率准则下的最优策略.
证明：
先证PZZ>PZF,PZZ>PZH,
PZZ-PZF=PZQZ[PZ（1-QZ）-PF（1-QF）]>0
PZZ-PZH=PZQZ[PZ（1-QZ）-PH（1-QH）]>0
所以PZZ>PZF,PZZ>PZH.
再证PZF>PFZ,PZH>PHZ,
PZF-PFZ=PZ（1-QZ）（1-PFQF）-PF（1-QF）（1-PZQZ）
因为PZ>PF,QZ>QF,1-PFQF>1-PZQZ,
所以PZZ-PZF>0,PZZ>PZH.
同理可证PZH>PHZ.
然后证明PFZ>PFF,PFZ>PFH,PHZ>PHH,PHZ>PHF,
PFZ-PFF=PFQF[PZ（1-QZ）-PF（1-QF）]>0
故PFZ>PFF.
PFZ-PFH=PFQF[PZ（1-QZ）-PH（1-QH）]>0
故PFZ>PFH.
同理可证PHZ>PHH,PHZ>PHF.
综合上述可知ZZ的概率最大.定理得证.
定理4.1.2如果PF（1-QF）[1-（PZQZ-PFQF）]>Pz（1-QZ）>PH（1-QH）则选择FF击打黑球且制作司洛克致使对方失误而得分为最大概率准则下的最优策略.
证明：
先证PFF>PZF>PZZ>PZH,
因为PFF-PZF=PF（1-QF）[1-（PZQZ-PFQF）]-PZ（1-QZ）>0
PZF-PZZ=PZQZ[PF（1-QF）-PZ（1-PZ）]>0
PZZ-PZH=PZQZ[PZ（1-QZ）-PH（1-PH）]>0
所以PFF>PZF>PZZ>PZH.
再证PFF>PFZ>PFH,
因为PFF-PFZ=PFQF[PF（1-QF）-PZ（1-PZ）]>0
PFZ-PFH=PFQF[PZ（1-QZ）-PH（1-PH）]>0
所以PFF>PFZ>PFH.
然后证PFF>PHF>PHZ>PHH,
因为PFF-PHF=[PF（1-QF）-PH（1-QH）]+（PFQF–PHQH）PF（1-QF）>0
PHF-PHZ=PHQH[PF（1-QF）-PZ（1-PZ）]>0
PHZ-PHH=PHQH[PZ（1-QZ）-PH（1-PH）]>0
所以PFF>PHF>PHZ>PHH.
综上所述可知FF的概率最大.证毕.
4.2最大期望准则下的最优策略.
决策树又称“决策图”.它是由直线连接而成的一种像树枝形状的结构.结点叫做决策点.由决策点引出若干条树枝（直线）.每条树枝代表一个方案，故叫方案枝.在每个方案枝的末端的结点叫做机会点.由机会点引出若干条树枝（直线），每条树枝为概率枝.在概率枝的末端列出不同状态下的收益值或损失值.一般决策问题具有多个方案，每个方案下面又常会出现多种状态.因此,决策图形都由左向右、由简入繁组成树形的网状图.利用决策树进行决策的过程是：
由右向左，逐步后退，根据右端的损益值和概率枝上的概率，计算出同一方案不同自然状态下的期望收益值或损失值，然后根据不同方案的期望收益值或损失值的大小进行选择.选择最后决策点只留下一条树枝，即为决策中的最优方案.利用决策树进行决策，按其只需要进行一次决策活动便可选出最优方案，还是需要多次决策活动才能选出最优方案，分为单级决策和多级决策.
因此依照本文各种选择做出的决策树见附录.得
E8=8PZ（1-QZ）-8（1-QZ）
E9=8PF（1-QF）-8（1-QF）
E10=8PH（1-QH）-8（1-QH）
E11=E14=E8,E12=E15=E9,E13=E16=E10.
在决策点（5）处PZ>PF>PH,QZ>QF>QH从而选择决策点（8）处选择进红、黑球.
在决策点（6）处同决策点（5）选择进红、黑球.
在决策点（7）处同决策点（5）选择进红、黑球.
E2=8PZ（1-QZ）-8（1-QZ）+8PZQZ[PZ（1-QZ）-（1-QZ）]
=8[PZ（1-QZ）-（1-QZ）]（PZQZ+1）
E3=8PF（1-QF）-8（1-QF）+8PFQF[PZ（1-QZ）-（1-QZ）]
E4=8PH（1-QH）-8（1-QH）+8PHQH[PZ（1-QZ）-（1-QZ）].
定理4.2.1如果PZ（1-QZ）>PF（1-QF）>PH（1-QH）且PZ（1-QZ）>（1-QZ）则选择ZZ进球得分为最大期望准则下的最优策略.
证明:
E2-E3=[PZ（1-QZ）-PF（1-QF）+（PZ-PH）]+[PZ（1-QZ）-（1-QZ）]（PZQZ-PFQF）
因为PZ（1-QZ）>（1-QZ）PZQZ>PFQF故E2>E3.
同理可证E2>E4.
所以选择ZZ进球得分为期望最大.证毕.
5结束语
模型应用最大概率准则和最大期望准则下的最优策略,从而给出了相应的最优进球得分方式.这种方法比较合理,与实际情况比较相符.若能够考虑比赛两方都是高智商的都选择最优策略并且考虑到比赛的双方的进球得分情况,并应用对策论来建立模型会更加合理.
文本所的结论是在概率和期望下得出的，但并不是只有在这两种情况才可以.如果可以考虑在最小方差下的各种策略,也就是比较各种进球得分的稳定性的大小,那么也就可以在最小方差准则下给出最优策略.
参考文献
[1]朱辰,徐伟宣.数学模型引论[M].上海:
科学普及出版社,1982.
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高等教育出版社,1991.
[3]邱莞华.管理决策与应用熵学[M].北京:
机械工业出版社,2002.
[4]陈珽.决策分析[M].北京:
科学出版社,1987.
[5]易昆南.网球发球最优策略[J].数学认识与实践,2001,31
（2）:
12-14.
附录：
进红、黑球得分PZ（1-QZ）8
未进球失分1-PZ-8
PZ（1-QZ）8
（8）1-PZ-8
PF（1-QF）8
（2）PZQZ（5）（9）1-PF-8
PH（1-QH）8
（10）1-PH-8
进红球制作司洛克得分PF（1-QF）8
未制作司洛克失分1-PF-8
PZ（1-QZ）8
（11）1-PZ-8
PF（1-QF）8
[1]（3）PFQF（6）（12）1-PF-8
PH（1-QH）8
（13）1-PH-8
击中红球制作司洛克得分PH（1-QH）8
未制作司洛克失分1-PH-8
PZ（1-QZ）8
（14）1-PZ-8
PF（1-QF）8
（4）PHPH（7）（15）1-PF-8
PH（1-QH）8
（16）1-PH-8
致谢：
本论文是在我的指导老师杨建奇的精心指导和亲切关怀下完成的。
在本科毕业论文的选题、大纲讨论以及研究，开发和完善课题内容的全过程中，杨老师都给予了非常具体和十分有效的关怀、指导和帮助，并对我论文许多不成熟的地方，给予多了次修改，可以说本论文凝聚了杨老师的大量心血.在此，向尊敬的杨老师致以崇高的敬意和诚挚的谢意.
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