高中数学平面向量专题doc.docx
《高中数学平面向量专题doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学平面向量专题doc.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学平面向量专题doc
v1.0可编辑可修改
第一部分：
平面向量的概念及线性运算
一.基础知识
自主学习
1．向量的有关概念
名称
定义
既有
又有
的量；向量的大小叫做向量
向量
的（
）
或称
零向量
长度为
的向量；其方向是任意的
长度等于
的
单位向量
向量
平行向量
方向
或
的非零向量
共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度
且方向
的向量
相反向量长度且方向的向量
2.向量的线性运算
法则（或几何
向量运算定义
意义）
加法求两个向量和的运算
备注
平面向量是自由向量
记作0
a
非零向量a的单位向量为±|a|
0与任一向量或共线
两向量只有相等或不等，不能比
较大小
0的相反向量为0
运算律
（1）交换律：
a＋b＝b＋a.
（2）结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
求a与b的相反向量－b
减法
的和的运算叫做
a与b
a－b＝a＋（－b）
的差
法则
（1）|
λa
λ
||
a
λ
μa
）＝
λμa
；
|＝|
|.
（
求实数λ与向量a的积
λa
a
a
λa
数乘
（2）
当
λ
>0时，
的方向与
的方
（
λ
＋
）
＝
＋
；
的运算
μ
μa
向
；
λ（a＋b）＝λa＋λb.
1-1
v1.0可编辑可修改
当λ<0时，λa的方向与a的方向；
当λ＝0时，λa＝0.
3.共线向量定理
向量
（
a
≠0）与
b
共线的
条件是存在唯一一个实数
λ
，使得
＝.
a
bλa
二.难点正本疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，
即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线（或重合）的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线
平行，必须说明这两条直线不重合．
三．基础自测
→→→→
1．化简OP－QP＋MS－MQ的结果等于________．
2．下列命题：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．
→→→→→
3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________（用b、c表示）．
4．如图，向量a－b等于（）
A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2
C．e1－3e2D．3e1－e2
→→→
5．已知向量
a
，，且
＝＋2，＝－5
a
＋6，＝7－2，则一定共线的三点是
（
）
b
ABabBC
bCDab
A．A、B、DB．A、B、C
C．B、C、DD．A、C、D
2-2
v1.0可编辑可修改
四．题型分类深度剖析
题型一平面向量的有关概念
例1给出下列命题：
→→
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③
若
＝，＝
，则
a
＝
；④
＝
b
的充要条件是|
a
|＝|
|且
∥；⑤若
a
∥，∥
，则
a
∥
.其中正确的序号是________．
abbc
c
a
b
ab
bbc
c
变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
（1）若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；
（2）若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
（4）由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
（5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
→→
（6）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
（7）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
（8）任一向量与它的相反向量不相等
题型二平面向量的线性运算
→→→1→→1→→→→
例2如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作?
OADB，BM＝3BC，CN＝3CD，用a、b表示OM、ON、MN.
→2→→→
变式训练2△ABC中，AD＝3AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向
→→→→→→
量AE、BC、DE、DN、AM、AN.
题型三平面向量的共线问题
3-3
v1.0可编辑可修改
→→→
例3设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.
（1）求证：
A、B、D三点共线；
→
（2）若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．
变式训练3设两个非零向量a与b不共线，
→→→
（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）．求证：
A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
五．思想与方法
5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题
试题：
如图所示，在△
中，
→＝
1→，
→＝
1→，与
相交于点
，设
→＝
，
→＝
.试用
a
和
b
表示向量
ABO
OC
4OA
OD
2OBAD
BC
M
OAa
OBb
→
OM.
六．思想方法感悟提高
方法与技巧
1．将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如
→→
→→
AB∥CD且AB与CD不共线，则
AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、
C三点共线．
失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：
一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量
是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
4-4
v1.0可编辑可修改
七．课后练习
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0（λ为实数），则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：
→
→
→
→
AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD=BC
AD；③AC－BD＝
→
）
DC+AB.其中正确的有（
A．0个
B．1个
C．2个D
．3个
3.
已知O、A、B是平面上的三个点，直线
AB上有一点C，满足2AC
CB=0，则OC等于（
）
A.2OA
→
B.
→
－OB
OA＋2OB
2
1→
D.
1
OA＋
2→
C.
OA－3OB
3
3OB
3
1→→→
→
4.如图所示，在△ABC中，BD＝2DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE等于（
）
1
1
1
a＋3b
B．－2a＋4b
1
1
1
a＋b
D．－a＋b
4
3
3
5.
→
）
在四边形ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（
A．矩形
B
．平行四边形
C．梯形
D
．以上都不对
6.AB＝8，AC＝5，则BC的取值范围是__________．
7．给出下列命题：
→→
①向量AB的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
5-5
v1.0
可编辑可修改
→
→
⑤向量AB与向量CD与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为
____________．
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点
M、
N.
→
若AB＝mAM，
→，则m＋n的值为________．
AC＝nAN
9．设a与b是两个不共线向量，且向量
a＋λb与－（b－2a）共线，则λ＝________.
10.
在正六边形ABCDEF中，
AB
a
→
AC,AD
→
b
.
＝，AF＝，求
，AE
11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点
N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
→→
（1）求GA＋GB＋GO；
（2）若PQ过△ABO的重心G,且AO＝a,
→→
→
11
＝3.
OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：
＋
mn
第二部分：
平面向量的基本定理及坐标表示
一．基础知识自主学习
1．两个向量的夹角
定义范围
6-6
v1.0可编辑可修改
→→
已知两个
向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝
向量夹角θ的范围是
θ叫做向量a与b的夹角（如图）
时,两向量共线，
当θ＝
当θ＝
时，两向量垂直，记作a⊥b.
2.平面向量基本定理及坐标表示
（1）平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，
使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．
（2）平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．
（3）平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
，作为基底，对于平面内的一个向量
a
，
i
j
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数
x
，
，使
＝
xi
＋
yj
，这样，平面内的任一向量
a
都可由
x
，
y
唯一确
y
a
定，把有序数对
叫做向量
a
的坐标，记作
＝
，其中
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
叫做
a
在
y
轴上的坐
a
标．
→
→
→
②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标（x，y）就是
的坐标，即若OA＝（x，y），则A点坐标为
，反之亦成
立．（O是坐标原点）
3．平面向量坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝，a－b＝，
λa＝，|a|＝.
（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→
→
.
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝
，|AB|＝
4．平面向量共线的坐标表示：
设a＝（x，y
），b＝（x，y），其中b≠∥b?
.
1
1
2
2
二．难点正本疑点清源
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的
7-7
v1.0可编辑可修改
一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标的区别
→
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标
→
统一为（x，y），但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y），向量a＝OA＝（x，y）．
→→→→→
当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA＝（x，y）,但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
三．基础自测
1．已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1,2），若（a＋b）∥c，则m＝________.
2．已知向量a＝（1,2），b＝（－3,2），若ka＋b与b平行，则k＝________.
3．设向量a＝（1，－3），b＝（－2,4），c＝（－1，－2）．若表示向量4a、4b－2c、2（a－c）、d的有向线段首尾相接
能构成四边形，则向量d＝____________.
→→
4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0,2），B（－1，－2），C（3,1），且BC＝2AD，则顶点D的坐标为（）
C．（3,2）D．（1,3）
5．已知平面向量a＝（x,1），b＝（－x，x2），则向量a＋b（）
A．平行于y轴B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于x轴D．平行于第二、四象限的角平分线
四．题型分类
深度剖析
题型一
平面向量基本定理的应用
例1
→→
→→
如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.
1如图，
P
→
→
＋3
→
Q
AB
→
变式训练
是△
内一点，且满足条件
＋2
＝0，设
为
的延长线与
的交点，令
＝，试
ABC
AP
BP
CP
CP
CPp
8-8
v1.0可编辑可修改
→
用p表示CQ.
题型二向量坐标的基本运算
→→→→→
例2已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，
→
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）求M、N的坐标及向量MN的坐标．
→→1→
变式训练2
（1）已知点A、B、C的坐标分别为A（2，－4）、B（0，6）、C（－8,10），求向量AB＋2BC－2AC的坐标；
（2）已知a＝（2,1），b＝（－3,4），求：
①3a＋4b；②a－3b；③1a－1b.24
题型三平行向量的坐标运算
例3平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1），请解答下列问题：
（1）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；
（3）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝5，求d.
变式训练3已知a＝（1,0），b＝（2,1）．
（1）求|a＋3b|；
（2）当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向
9-9
v1.0可编辑可修改
五．易错警示
8．忽视平行四边形的多样性致误
试题：
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1,0），（3,0），（1，－5），求第四个顶点的坐标．
六．思想方法感悟提高
方法与技巧
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转
化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
失误与防范
1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大
小的信息．
2．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成
x1
y1
0，所以应表示为x1y2
x
＝
，因为x2，y2有可能等于
2
y2
－21＝0.同时，
的充要条件也不能错记为
12－12＝0，1
1－22＝0等．
xy
a∥b
xxyy
xy
xy
七．课后练习
1．已知向量a＝（1，－2），b＝（1＋m,1－m），若a∥b，则实数m的值为（）
A．3B．－3C．2D．－2
2．已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b等于（）
A．（－2，－4）B．（－3，－6）
C．（－4，－8）D．（－5，－10）
3.设向量a＝（3，3），b为单位向量，且a∥b，则b等于（）
10-10
v1.0可编辑可修改
31
或－2，2
31
或－2，－2
2
4.已知向量a＝（1，－m），b＝（m，m），则向量a＋b所在的直线可能为（）
A．x轴B．第一、三象限的角平分线
C．y轴D．第二、四象限的角平分线
5．已知A（7,1）
、B（1,4）,
直线y
1
ax与线段
AB交于C
且
→
AC
CB，则实数a等于（）
升级会员 